第1章 函数 极限 连续 1
1.1函数 1
1.1.1函数的概念 1
1.1.2分段函数 5
1.1.3函数的几种特性 5
1.1.4复合函数和初等函数 7
1.1.5函数模型的建立 13
思考题 14
习题1.1 14
1.2极限 15
1.2.1数列的极限 15
1.2.2函数的极限 16
1.2.3无穷小量与无穷大量 19
思考题 20
习题1.2 20
1.3极限的运算 21
1.3.1极限的四则运算法则 21
1.3.2两个重要极限 24
1.3.3无穷小量的比较 27
思考题 29
习题1.3 29
1.4函数的连续性 30
1.4.1函数连续性的定义 30
1.4.2初等函数的连续性 34
1.4.3闭区间上连续函数的性质 34
思考题 35
习题1.4 35
阅读材料 36
第2章 导数与微分 39
2.1导数的概念 39
2.1.1变化率问题举例 39
2.1.2导数的定义及几何意义 41
2.1.3函数的可导性与连续性 43
2.1.4导数基本公式 43
习题2.1 45
2.2导数的运算 46
2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 46
2.2.2反函数的求导法则 48
2.2.3复合函数的求导法则 50
2.2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则 52
2.2.5高阶导数 55
习题2.2 58
2.3函数的微分及其应用 59
2.3.1微分的定义 59
2.3.2微分的几何意义 61
2.3.3微分的运算 61
2.3.4微分在近似计算中的应用 62
习题2.3 63
第3章 导数的应用 64
3.1微分中值定理 64
3.1.1罗尔定理 64
3.1.2拉格朗日定理 65
3.1.3柯西定理 66
习题3.1 66
3.2罗必达法则 67
3.2.1 “0/0”型未定式 67
3.2.2 “∞/∞”型未定式 68
3.2.3其他类型未定式 69
习题3.2 71
3.3函数的单调性及其极值 71
3.3.1函数单调性的判定 72
3.3.2函数的极值 74
习题3.3 77
3.4曲线的凹向和拐点 函数图形的描绘 77
3.4.1曲线的凹向及其判定 78
3.4.2曲线的拐点 79
3.4.3曲线的渐近线 80
3.4.4函数图形的描绘 80
习题3.4 83
3.5函数的最大值和最小值 83
3.5.1函数在闭区间上的最大值与最小值 83
3.5.2应用问题举例 84
习题3.5 86
3.6导数在经济分析中的应用 87
3.6.1边际分析 87
3.6.2弹性分析 88
习题3.6 89
第4章 积分学及其应用 91
4.1不定积分的概念与性质 91
4.1.1原函数的概念 91
4.1.2不定积分的定义 92
4.1.3不定积分的几何意义 93
4.1.4不定积分的性质 93
4.1.5不定积分的基本公式 94
习题4.1 97
4.2定积分的概念与性质 97
4.2.1引例 97
4.2.2定积分的概念 100
4.2.3定积分的几何意义 101
4.2.4定积分的性质 102
习题4.2 104
4.3微积分基本定理 104
4.3.1积分上限函数 104
4.3.2微积分基本定理 106
习题4.3 108
阅读材料 109
4.4积分法 110
4.4.1换元积分法 110
4.4.2分部积分法 118
4.4.3有理函数的积分 122
习题4.4 124
4.5广义积分 125
4.5.1无限区间上的广义积分 125
4.5.2无界函数的广义积分 127
习题4.5 129
4.6定积分在几何上的应用 129
4.6.1定积分的微元法 129
4.6.2平面图形的面积 130
4.6.3体积 133
习题4.6 136
4.7定积分在经济上的应用 136
习题4.7 138
4.8定积分在物理方面的应用 138
4.8.1变力沿直线所做的功 139
4.8.2液体的压力 140
习题4.8 140
第5章 常微分方程 141
5.1微分方程的基本概念 141
5.1.1引例 141
5.1.2微分方程的基本概念 142
5.1.3微分方程解的几何意义 143
习题5.1 143
5.2可分离变量的微分方程 齐次微分方程 144
5.2.1可分离变量的微分方程 144
5.2.2齐次微分方程 145
习题5.2 147
5.3一阶线性微分方程 148
5.3.1一阶线性微分方程的概念 148
5.3.2一阶齐次线性微分方程的解法 148
5.3.3一阶非齐次线性微分方程的解法 149
习题5.3 152
5.4二阶常系数齐次线性微分方程 152
5.4.1二阶常系数齐次线性微分方程的概念 152
5.4.2二阶常系数齐次线性微分方程解的结构 152
5.4.3二阶常系数齐次线性微分方程的解法 153
习题5.4 156
5.5二阶常系数非齐次线性微分方程 156
5.5.1二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 156
5.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 157
习题5.5 161
5.6常微分方程的应用举例 161
习题5.6 165
第6章 拉普拉斯变换 166
6.1拉普拉斯变换的基本概念 166
6.1.1拉氏变换的基本概念 166
6.1.2工程中常用的两个函数及其拉氏变换 168
习题6.1 170
6.2拉普拉斯变换的性质 171
习题6.2 174
6.3拉普拉斯变换的逆变换 174
习题6.3 177
6.4拉普拉斯变换应用举例 178
6.4.1解常系数线性微分方程 178
6.4.2线性系统的传递函数 180
习题6.4 182
第7章 无穷级数 184
7.1数项级数的概念和性质 184
7.1.1引例 184
7.1.2数项级数的基本概念 185
7.1.3数项级数的基本性质 188
7.1.4数项级数收敛的必要条件 189
习题7.1 190
7.2数项级数的审敛法 190
7.2.1正项级数及其审敛法 190
7.2.2交错级数及其审敛法 195
7.2.3绝对收敛与条件收敛 196
习题7.2 197
7.3幂级数 198
7.3.1函数项级数的概念 198
7.3.2幂级数及其敛散性 199
7.3.3幂级数在收敛区间上的性质 203
习题7.3 204
7.4函数的幂级数展开式 205
7.4.1泰勒级数 205
7.4.2函数展开成幂级数 206
7.4.3幂级数展开式在近似计算中的应用 210
习题7.4 211
7.5傅里叶级数 211
7.5.1三角级数 三角函数系的正交性 211
7.5.2周期为2π的函数展开成傅里叶级数 214
7.5.3正弦级数和余弦级数 219
7.5.4任意区间上的函数展开为傅里叶级数 222
习题7.5 224
第8章 线性代数初步 225
8.1行列式的定义 225
8.1.1二阶、三阶行列式 225
8.1.2 n阶行列式 229
习题8.1 231
8.2行列式的性质与计算 232
8.2.1行列式的性质 232
8.2.2行列式的计算 235
习题8.2 237
8.3克莱姆法则 237
习题8.3 242
8.4矩阵的概念与运算 243
8.4.1矩阵的概念 243
8.4.2矩阵的运算 246
习题8.4 252
8.5逆矩阵与初等变换 253
8.5.1逆矩阵 253
8.5.2矩阵的初等变换 256
习题8.5 263
8.6 矩阵的秩 263
8.6.1矩阵的秩的概念 263
8.6.2初等行变换求矩阵的秩 264
习题8.6 265
8.7线性方程组解的判定 265
8.7.1高斯消元法 265
8.7.2线性方程组解的判定 269
习题8.7 275
第9章 Mathematica教程初步 276
9.1 Mathematica基础 276
9.1.1 Mathematica的主要特点和功能 276
9.1.2 Mathematica入门 277
9.1.3算术运算 278
9.1.4代数运算 278
思考题 279
习题9.1 279
9.2用Mathematica进行函数运算 279
9.2.1常用函数 279
9.2.2变量 280
9.2.3自定义函数 281
思考题 282
习题9.2 282
9.3用Mathematica进行极限运算 282
思考题 284
习题9.3 284
9.4用Mathematica进行导数运算 284
9.4.1求一元函数导数 285
9.4.2求高阶导数 286
9.4.3求由参数方程确定的函数的导数 286
9.4.4求隐函数的导数 287
思考题 287
习题9.4 287
9.5用Mathematica进行导数应用运算 287
习题9 5 289
9.6用Mathematica进行一元函数的积分运算 289
思考题 291
习题9.6 291
9.7用Mathematica进行微分方程运算 291
思考题 292
习题9.7 292
9.8用Mathematica进行级数及拉普拉斯变换运算 293
思考题 296
习题9.8 296
9.9用Mathematica进行线性代数运算 296
9.9.1矩阵的生成 296
9.9.2矩阵基本运算 297
9.9.3矩阵的秩与线性方程组 298
习题9.9 299
习题参考答案 301
附录 316
附录一 几种常见曲线 316
附录二 积分表 318
附录三 拉氏变换表 321
参考文献 323