第1章 随机事件及其概率 1
1.1 随机试验、随机事件及样本空间 1
1.1.1 随机现象与统计规律性 1
1.1.2 随机试验 2
1.1.3 样本空间与随机事件 2
1.1.4 事件间的关系及运算 3
1.2 概率的定义及性质 6
1.2.1 概率的统计定义 7
1.2.2 概率的古典定义 8
1.2.3 概率的几何定义 13
1.2.4 概率的公理化定义 17
1.3 条件概率 22
1.3.1 条件概率的定义及性质 22
1.3.2 概率乘法公式 24
1.3.3 全概率公式与贝叶斯公式 26
1.4 独立性 29
1.4.1 两事件的独立性 29
1.4.2 多个事件的独立性 30
1.4.3 独立性概念在概率计算中的应用 31
1.4.4 n重伯努利试验 33
1.5 历史注记：概率论的起源与发展概览 34
1.5.1 概率论前史（远古—1653） 34
1.5.2 概率论的创立及早期发展（1654—1811） 35
1.5.3 分析概率论的建立与发展（1812—1916） 37
1.5.4 公理化体系的构建及现代概率论的发展（1917年至今） 38
习题1 39
第2章 随机变量及其分布 43
2.1 随机变量及其分布函数 43
2.1.1 随机变量的概念 43
2.1.2 随机变量的分布函数 44
2.2 离散型随机变量及其分布律 47
2.2.1 离散型随机变量及其分布律 47
2.2.2 三种重要的离散型分布 49
2.2.3 二项分布的泊松近似 51
2.3 连续型随机变量及其概率密度 53
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度 53
2.3.2 三种重要的连续型分布 56
2.4 随机变量函数的分布 62
2.4.1 问题的提出 62
2.4.2 离散型随机变量函数的分布 62
2.4.3 连续型随机变量函数的分布 63
2.5 历史注记：二项分布大事记 65
2.5.1 雅各布·伯努利与二项分布公式 65
2.5.2 棣莫弗与二项概率的正态逼近 66
2.5.3 泊松逼近与泊松分布 69
习题2 70
第3章 多维随机变量及其分布 74
3.1 多维随机变量及其分布 74
3.1.1 多维随机变量及其分布函数 74
3.1.2 二维离散型随机变量及其分布律 76
3.1.3 二维连续型随机变量及其概率密度 78
3.2 边缘分布 81
3.2.1 边缘分布函数 81
3.2.2 边缘分布律 82
3.2.3 边缘概率密度 84
3.3 条件分布 86
3.3.1 条件分布函数 86
3.3.2 离散型随机变量的条件分布 88
3.3.3 连续型随机变量的条件分布 89
3.4 随机变量的独立性 92
3.4.1 两个随机变量的独立性 92
3.4.2 多个随机变量的独立性 95
3.4.3 多维随机变量的独立性 95
3.5 两个随机变量的函数的分布 96
3.5.1 两个离散型随机变量的函数的分布 96
3.5.2 两个连续型随机变量的函数的分布 97
3.5.3 二维随机变量变换的分布定理 104
3.6 历史注记：蒙蒂·霍尔问题及其他 106
3.6.1 蒙蒂·霍尔问题 106
3.6.2 监狱看守悖论 107
3.6.3 辛普森悖论 108
3.6.4 启示 108
习题3 109
第4章 随机变量的数字特征 113
4.1 数学期望 113
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 113
4.1.2 连续型随机变量的数学期望 118
4.1.3 随机变量函数的数学期望 119
4.1.4 数学期望的性质 122
4.2 方差 124
4.2.1 方差的定义及性质 124
4.2.2 切比雪夫不等式 129
4.3 协方差及相关系数 130
4.3.1 问题的提出 130
4.3.2 协方差及相关系数的定义 131
4.3.3 协方差的性质与计算 131
4.3.4 相关系数的性质及意义 133
4.4 矩、协方差矩阵 136
4.4.1 矩 136
4.4.2 协方差矩阵 137
4.5 历史注记：从“分赌本问题”到数字特征 139
4.5.1 早期分赌本问题 139
4.5.2 德·梅雷的问题及帕斯卡与费马的解答 140
4.5.3 “分赌本问题”与数学期望 142
4.5.4 其他数字特征的引入 143
习题4 143
第5章 大数定律与中心极限定理 148
5.1 大数定律 148
5.1.1 大数定律的概念 148
5.1.2 切比雪夫大数定律 148
5.1.3 伯努利大数定律 150
5.1.4 马尔可夫大数定律和辛钦大数定律 151
5.2 中心极限定理 153
5.2.1 中心极限定理的背景及研究思路 153
5.2.2 几个基本的中心极限定理 154
5.3 历史注记：彼得堡数学学派与极限定理研究的突破 158
5.3.1 切比雪夫与彼得堡学派的形成 159
5.3.2 切比雪夫关于极限定理的研究 159
5.3.3 李雅普诺夫关于极限定理的研究 160
习题5 161
第6章 随机过程的基本概念 163
6.1 随机过程的定义与分类 163
6.1.1 随机过程概念的引入 163
6.1.2 随机过程的定义 164
6.1.3 随机过程的分类 167
6.2 随机过程的概率分布与数字特征 167
6.2.1 一维随机过程的概率分布 167
6.2.2 随机过程的数字特征 170
6.2.3 二维随机过程的概率分布及数字特征 172
6.2.4 随机序列的数字特征 174
6.2.5 复随机过程及其数字特征 174
6.3 几类重要的随机过程 176
6.3.1 平稳过程 176
6.3.2 正态过程 178
6.3.3 正交增量过程 180
6.3.4 马尔可夫过程 181
6.3.5 独立增量过程 181
6.4 历史注记：玻尔兹曼与随机过程的滥觞 182
6.4.1 引子 182
6.4.2 玻尔兹曼与不可逆过程 182
6.4.3 玻尔兹曼与“遍历性” 183
习题6 184
第7章 维纳过程与泊松过程 186
7.1 独立增量过程的进一步讨论 186
7.1.1 独立增量过程的定义及例子 186
7.1.2 独立增量过程的基本性质 187
7.2 维纳过程 188
7.2.1 布朗运动与维纳过程的概念 188
7.2.2 维纳过程的基本性质 189
7.3 泊松过程 192
7.3.1 泊松过程的概念 192
7.3.2 泊松过程的基本性质 196
7.3.3 非齐次泊松过程与复合泊松过程简介 199
7.4 历史注记：爱因斯坦与布朗运动的数学理论 201
7.4.1 爱因斯坦以前的布朗运动 202
7.4.2 爱因斯坦对布朗运动的研究 202
7.4.3 爱因斯坦与布朗运动数学理论的建立 203
习题7 204
第8章 马尔可夫链 206
8.1 马尔可夫链的概念 206
8.1.1 马尔可夫过程的概念 206
8.1.2 马尔可夫链的定义 208
8.2 马尔可夫链的概率分布 208
8.2.1 马尔可夫链的转移概率 208
8.2.2 马尔可夫链的有限维分布 215
8.3 马尔可夫链的遍历性与平稳分布 217
8.3.1 马尔可夫链的遍历性与平稳分布的概念 217
8.3.2 马尔可夫链的遍历性条件与平稳分布的确定 219
8.4 历史注记：马尔可夫与马尔可夫过程 221
8.4.1 马尔可夫生平简介 221
8.4.2 从极限定理到马尔可夫链 222
8.4.3 后续研究及发展 223
习题8 223
第9章 平稳过程 227
9.1 平稳过程的概念及基本性质 227
9.1.1 平稳过程的定义 227
9.1.2 相关函数的性质 230
9.1.3 复平稳过程 230
9.2 联合平稳过程 232
9.3 随机分析的若干基本知识 234
9.3.1 均方收敛 234
9.3.2 均方连续 237
9.3.3 均方导数 238
9.3.4 均方积分 241
9.4 平稳过程的遍历性 244
9.4.1 问题及引例 244
9.4.2 平稳过程具有遍历性的定义 245
9.4.3 平稳过程具有遍历性的条件 246
9.5 历史注记：伊藤清与随机分析的建立 250
9.5.1 华尔街最有名的日本人 250
9.5.2 用逻辑法则构建美丽的随机理论 250
9.5.3 随机王国中的牛顿定律 251
习题9 252
第10章 平稳过程的谱分析 255
10.1 随机过程的功率谱密度的概念 255
10.1.1 预备知识——普通时间函数的频谱分析 255
10.1.2 随机过程的功率谱密度 257
10.2 平稳过程的功率谱密度 259
10.2.1 维纳-辛钦公式 259
10.2.2 白噪声过程及其功率谱密度 263
10.2.3 复平稳过程的功率谱密度 266
10.2.4 平稳序列的功率谱密度 266
10.3 联合平稳过程的互谱密度 267
10.3.1 互谱密度的概念 267
10.3.2 互谱密度的性质 267
10.4 平稳过程通过线性系统的分析 270
10.4.1 线性时不变系统的基本概念 270
10.4.2 线性时不变系统对输入的响应 271
10.4.3 线性时不变系统对平稳过程统计特征的响应 272
10.5 历史注记：辛钦与莫斯科概率论学派 278
10.5.1 莫斯科数学学派 278
10.5.2 辛钦：从函数论到平稳过程 279
习题10 280
附录A 284
习题答案 291
参考文献 304