第1篇 复变函数 1
第1章 复数和复变函数 1
1.1 复数及其表示 1
1.1.1 复数的定义 1
1.1.2 复数的表示 1
1.2 复数的运算及其几何意义 4
1.2.1 复数的四则运算 4
1.2.2 复数的乘方和方根 6
1.2.3 共轭复数及其性质 9
1.2.4 曲线的复数方程 10
1.3 平面点集和区域 11
1.3.1 复平面上的点集 11
1.3.2 区域与简单曲线 12
1.4 复变函数 14
1.4.1 复变函数的概念 14
1.4.2 曲线在映射下的像 16
1.5 复球面与无穷远点 18
1.5.1 复球面 18
1.5.2 扩充复平面上的几个概念 19
习题1 19
第2章 解析函数 23
2.1 复变函数的极限和连续 23
2.1.1 复变函数的极限 23
2.1.2 复变函数的连续性 25
2.2 解析函数的概念 26
2.2.1 复变函数的导数和微分 26
2.2.2 解析函数的概念 30
2.3 函数解析的充要条件 31
2.3.1 柯西-黎曼条件 31
2.3.2 可导的充要条件 33
2.4 调和函数 37
2.4.1 调和函数 37
2.4.2 解析函数与调和函数的关系 38
2.4.3 正交曲线族 42
2.5 初等解析函数 43
2.5.1 指数函数 43
2.5.2 对数函数 45
2.5.3 幂函数 47
2.5.4 三角函数与双曲函数 49
2.5.5 反三角函数与反双曲函数 52
习题2 53
第3章 复变函数的积分 57
3.1 复变函数的积分 57
3.1.1 复变函数积分的概念 57
3.1.2 复变函数积分的计算 58
3.1.3 积分的基本性质 62
3.2 柯西定理 64
3.2.1 单连通区域的柯西定理 65
3.2.2 原函数与不定积分 66
3.2.3 柯西定理的推广 68
3.3 柯西积分公式和高阶导数公式 70
3.3.1 柯西积分公式 71
3.3.2 解析函数的高阶导数公式 74
3.4 柯西积分公式的推论 77
3.4.1 莫累拉（Morera）定理 77
3.4.2 平均值公式 78
3.4.3 柯西不等式 79
3.4.4 刘维尔（Liouville）定理 79
3.4.5 最大模定理 80
习题3 80
第4章 解析函数的级数展开 84
4.1 复级数的概念 84
4.1.1 复数列的极限 84
4.1.2 复数项级数 85
4.1.3 复函数项级数 88
4.2 幂级数 89
4.2.1 幂级数的概念 89
4.2.2 收敛圆与收敛半径 90
4.2.3 幂级数的运算和性质 93
4.3 解析函数的泰勒级数展开 95
4.3.1 解析函数的泰勒展开式 95
4.3.2 初等函数的泰勒展开式 98
4.4 解析函数的罗朗级数展开 100
4.4.1 罗朗级数的概念 100
4.4.2 函数的罗朗展开式 102
4.5 解析函数的孤立奇点与分类 107
4.5.1 孤立奇点 107
4.5.2 可去奇点 109
4.5.3 极点 110
4.5.4 本性奇点 113
4.5.5 函数在无穷远点的性态 114
习题4 116
第5章 留数及其应用 120
5.1 留数及其计算 120
5.1.1 留数的概念 120
5.1.2 留数的计算 124
5.1.3 留数定理 128
5.2 留数在某些定积分计算中的应用 133
5.2.1 形如∫2π0R（cosθ, sinθ）dθ的积分 133
5.2.2 形如∫＋∞P（x）/-∞Q（x）dx的积分 136
5.2.3 形如∫+∞-∞f（x）eiλx dx的积分 138
5.2.4 实轴上有奇点的积分 141
习题5 143
第6章 保形映射 146
6.1 保形映射的概念 146
6.1.1 导数的几何意义 146
6.1.2 保形映射的概念 149
6.1.3 关于保形映射的几个一般性定理 150
6.2 分式线性映射 151
6.2.1 平移映射和相似映射 151
6.2.2 反演映射 152
6.2.3 分式线性映射及其性质 153
6.3 几个典型的分式线性映射 158
6.3.1 把上半平面映射成上半平面的分式线性映射 158
6.3.2 把上半平面映射成单位内部的分式线性映射 159
6.3.3 把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射 161
6.4 几个初等函数所构成的映射 162
6.4.1 幂函数与根式函数 162
6.4.2 指数函数与对数函数 166
6.4.3 儒可夫斯基函数 169
习题6 170
第2篇 积分变换 173
第7章 傅里叶变换 173
7.1 傅里叶积分公式 173
7.1.1 傅里叶级数 173
7.1.2 傅里叶积分公式 176
7.2 傅里叶变换 180
7.2.1 傅里叶变换的定义 180
7.2.2 余弦与正弦傅里叶变换 183
7.3 广义傅里叶变换 185
7.3.1 δ函数 185
7.3.2 基本函数的广义傅里叶变换 188
7.4 傅里叶变换与逆变换的性质 190
7.4.1 傅里叶变换的基本性质 190
7.4.2 傅里叶变换的卷积与卷积定理 197
7.4.3 傅里叶变换的应用 200
习题7 203
第8章 拉普拉斯变换 206
8.1 拉普拉斯变换的概念 206
8.1.1 拉普拉斯变换的存在性 206
8.1.2 常用函数的拉普拉斯变换 209
8.1.3 拉普拉斯变换的积分下限 213
8.2 拉普拉斯变换的性质 214
8.2.1 拉普拉斯变换基本性质 214
8.2.2 拉普拉斯变换的卷积性质 223
8.3 拉普拉斯逆变换 225
8.3.1 复反演积分公式 225
8.3.2 利用留数定理求拉普拉斯逆变换 226
8.4 拉普拉斯变换的应用 228
8.4.1 利用拉普拉斯变换求线性微分（积分）方程 228
8.4.2 用拉普拉斯变换求广义积分 233
习题8 236
第3篇 数学物理方程 241
第9章 数学物理方程的导出及定解问题 241
9.1 数学物理方程的导出 241
9.1.1 弦振动方程 241
9.1.2 膜振动方程 243
9.1.3 热传导方程 244
9.1.4 静电场方程 246
9.2 定解条件及定解问题 247
9.2.1 初始条件 248
9.2.2 边界条件 248
9.2.3 定解问题及其适定性 250
9.3 线性问题的叠加原理与齐次化原理 252
9.3.1 线性偏微分方程的叠加原理 252
9.3.2 齐次化原理 254
习题9 255
第10章 求解数学物理方程的分离变量法 258
10.1 一维波动方程 258
10.1.1 第一类齐次边界条件 258
10.1.2 第二类齐次边界条件 262
10.1.3 解的物理意义 266
10.2 一维热传导方程 267
10.2.1 第一类齐次边界条件 267
10.2.2 第三类齐次边界条件 271
10.3 二维拉普拉斯方程 275
10.3.1 矩形域 275
10.3.2 圆域 278
10.4 非齐次方程的解法 282
10.4.1 固有函数法 282
10.4.2 特解法 285
10.5 非齐次边界条件的处理 289
习题10 292
第11章 行波法与积分变换法 296
11.1 行波法 296
11.1.1 无界弦的自由振动 达朗贝尔公式 296
11.1.2 解的物理意义 298
11.1.3 特征线及二阶线性偏微分方程的分类 300
11.1.4 非齐次方程求解 302
11.1.5 半无界弦的自由振动 304
11.2 积分变换法 307
11.2.1 傅里叶积分变换 308
11.2.2 拉普拉斯积分变换 313
习题11 316
习题答案 320
习题1 320
习题2 321
习题3 323
习题4 324
习题5 327
习题6 328
习题7 330
习题8 331
习题9 333
习题10 334
习题11 336
附录 338
附录1傅氏变换简表 338
附录2拉氏变换简表 345
参考文献 349