1 应用与方法概述 1
1.1 什么是偏微分方程 2
1.2 求解并解释偏微分方程 7
2 傅里叶级数 17
2.1 周期函数 18
2.2 傅里叶级数 26
2.3 以任意数为周期的函数的傅里叶级数 38
2.4 半幅展开：余弦级数和正弦级数 50
2.5 均方逼近和帕塞瓦尔恒等式 53
2.6 傅里叶级数的复数形式 60
2.7 受迫振动 69
收敛性的补充内容 77
2.8 傅里叶级数表示定理的证明 77
2.9 一致收敛性和傅里叶级数 85
2.10 狄利克雷判别法和傅里叶级数的收敛性 94
3 直角坐标中的偏微分方程 103
3.1 物理和工程中的偏微分方程 104
3.2 建模：弦振动和波动方程 109
3.3 一维波动方程的求解：分离变量法 114
3.4 达朗贝尔方法 126
3.5 一维热传导方程 135
3.6 棒中的热传导：各种边界条件 146
3.7 二维波动方程和热传导方程 155
3.8 直角坐标中的拉普拉斯方程 163
3.9 泊松方程：特征函数展开法 170
3.10 诺伊曼条件和罗宾条件 180
3.11 最大值原理 187
4 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程 193
4.1 各个坐标系中的拉普拉斯算子 194
4.2 圆膜的振动：对称情况 198
4.3 圆膜的振动：一般情况 207
4.4 圆域中的拉普拉斯方程 216
4.5 圆柱体中的拉普拉斯方程 228
4.6 亥姆霍兹方程和泊松方程 231
关于贝塞尔函数的补充内容4.7 贝塞尔方程和贝塞尔函数 237
4.8 贝塞尔级数展开 248
4.9 贝塞尔函数的积分公式和渐近式 261
5 球面坐标中的偏微分方程 269
5.1 问题和方法概述 270
5.2 对称狄利克雷问题 274
5.3 球面调和函数和一般狄利克雷问题 281
5.4 亥姆霍兹方程及其在泊松方程、热传导方程和波动方程中的应用 291
关于勒让德函数的补充内容5.5 勒让德微分方程 300
5.6 勒让德多项式和勒让德级数展开 308
5.7 连带勒让德函数和连带勒让德级数展开 319
6 施图姆-刘维尔理论及其在工程中的应用 325
6.1 正交函数 326
6.2 施图姆-刘维尔理论 333
6.3 悬链 346
6.4 四阶施图姆-刘维尔理论 353
6.5 梁的弹性振动和屈曲 360
6.6 双调和算子 371
6.7 圆板的振动 377
7 傅里叶变换及其应用 389
7.1 傅里叶积分表示 390
7.2 傅里叶变换 398
7.3 傅里叶变换法 411
7.4 热传导方程和高斯核 420
7.5 狄利克雷问题和泊松积分公式 429
7.6 傅里叶余弦变换和正弦变换 433
7.7 半无限区间上的问题 440
7.8 广义函数 445
7.9 非齐次热传导方程 461
7.10 杜阿梅尔原理 471
8 拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用 479
8.1 拉普拉斯变换 480
8.2 拉普拉斯变换的进一步性质 491
8.3 拉普拉斯变换法 502
8.4 汉克尔变换及其应用 508
9 有限差分数值方法 515
9.1 热传导方程的有限差分法 516
9.2 波动方程的有限差分法 525
9.3 拉普拉斯方程的有限差分法 533
9.4 拉普拉斯方程的迭代法 541
10 抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用 546
10.1 抽样定理 547
10.2 偏微分方程与抽样定理 555
10.3 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换 559
10.4 傅里叶变换与离散傅里叶变换 567
11 量子力学引论 573
11.1 薛定谔方程 574
11.2 氢原子 581
11.3 海森伯测不准原理 590
关于正交多项式的补充内容11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式 597
12 格林函数和共形映射 611
12.1 格林定理和恒等式 612
12.2 调和函数和格林恒等式 622
12.3 格林函数 629
12.4 圆域和上半平面的格林函数 638
12.5 解析函数 645
12.6 利用共形映射求解狄利克雷问题 663
12.7 格林函数与共形映射 674
12.8 诺伊曼函数和诺伊曼问题的解 684