第1章 行列式 1
1.1 行列式的定义 1
1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 1
1.1.2 三元线性方程组与三阶行列式 2
1.1.3 n阶行列式的定义 4
1.2 行列式的性质 6
1.3 行列式的按行展开 12
1.3.1 余子式与代数余子式 12
1.3.2 行列式的按行展开定理 13
习题一 20
习题一参考答案 23
第2章 矩阵 28
2.1 矩阵的概念 28
2.2 矩阵的运算 29
2.2.1 矩阵的相等 29
2.2.2 矩阵的加法 29
2.2.3 矩阵的数乘 30
2.2.4 矩阵的乘法 31
2.2.5 矩阵的转置 34
2.2.6 方阵 35
2.3 逆矩阵 37
2.4 矩阵的分块 40
2.4.1 矩阵的分块 40
2.4.2 分块矩阵的运算 41
2.5 初等变换与初等矩阵 43
2.5.1 初等变换 43
2.5.2 初等矩阵 45
2.6 矩阵的秩 48
2.6.1 矩阵的子式 48
2.6.2 矩阵的秩 49
2.6.3 矩阵秩的性质 50
习题二 55
习题二参考答案 58
第3章 向量组及其线性相关性 61
3.1 向量及其运算 61
3.1.1 向量的概念 61
3.1.2 向量的线性运算 62
3.1.3 向量的线性组合与线性表示 63
3.2 向量组的线性相关性 65
3.2.1 概念 64
3.2.2 性质 66
3.3 向量组的秩 68
3.4 向量空间 71
3.4.1 向量空间的概念 71
3.4.2 向量空间的基、维数、向量的坐标 73
3.4.3 过渡矩阵、基变换公式、坐标变换公式 74
习题三 77
习题三参考答案 81
第4章 线性方程组 83
4.1 线性方程组有解的判定定理 83
4.2 线性方程组解的结构 88
4.2.1 齐次线性方程组 88
4.2.2 非齐次线性方程组 91
4.3 Cramer法则 93
4.4 线性方程组的应用 95
4.4.1 线性方程组与空间解析几何 95
4.4.2 线性方程组与矩阵方程 96
4.4.3 线性方程组与向量组的相关性 97
4.4.4 线性方程组求解简述 98
习题四 101
习题四参考答案 105
第5章 相似矩阵与二次型 108
5.1 方阵的特征值与特征向量 108
5.1.1 特征值与特征向量的基本概念 108
5.1.2 特征值和特征向量的求法 109
5.1.3 特征值与特征向量的性质 111
5.2 相似矩阵 114
5.3 正交矩阵 116
5.3.1 实向量的内积与长度 116
5.3.2 正交向量组 117
5.3.3 正交矩阵与正交变换 119
5.4 实对称矩阵的对角化 120
5.5 二次型及其标准形 125
5.5.1 二次型及其矩阵 126
5.5.2 矩阵的合同 127
5.6 化二次型为标准形 128
5.6.1 用正交变换化二次型为标准形 128
5.6.2 用配方法化二次型成标准形 130
5.7 正定二次型 132
5.7.1 二次型的定性 132
5.7.2 正定二次型的判定 133
5.8 应用举例 134
5.8.1 化简二次曲线或二次曲面 134
5.8.2 二元函数的极值问题 135
习题五 140
习题五参考答案 141
第6章 线性空间与线性变换 143
6.1 线性空间与子空间 143
6.1.1 线性空间的定义及性质 144
6.1.2 线性子空间 145
6.2 维数、基与坐标 146
6.2.1 线性空间的基与维数 146
6.2.2 线性空间中向量的坐标 147
6.2.3 线性空间的同构 148
6.3 基变换与坐标变换 148
6.3.1 基变换 148
6.3.2 坐标变换 149
6.4 线性变换 150
6.4.1 映射 150
6.4.2 线性变换 151
6.4.3 线性变换的基本性质 151
6.4.4 线性变换的值域与核 152
6.5 线性变换的矩阵表示 152
6.5.1 线性变换的矩阵表示 152
6.5.2 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 154
习题六 160
习题六参考答案 162
参考文献 164