第一部分 高等数学 3
第一章 函数 极限 连续 3
大纲解读 3
考试内容 3
考试要求 3
大纲知识点精解 3
1 函数 3
考点梳理 3
一、基本概念 3
二、重要性质、公式与结论 6
例题解析 7
题型一 求函数的定义域与函数表达式 7
题型二 函数的性质 8
2 极限 9
考点梳理 9
一、基本概念 9
二、重要性质、公式与结论 11
例题解析 14
题型一 求函数极限 14
题型二 求数列极限 19
题型三 无穷小的比较 22
题型四 已知极限或无穷小求待定参数 24
3 函数的连续与间断 25
考点梳理 25
一、基本概念 25
二、重要性质、公式与结论 26
例题解析 27
题型一 初等函数和抽象函数的连续与间断 27
题型二 分段函数的连续性 28
题型三 由极限定义的函数的连续性 29
题型四 连续函数的零点问题 30
题型五 综合题 31
习题精选与预测 32
第二章 一元函数微分学 36
大纲解读 36
考试内容 36
考试要求 36
大纲知识点精解 37
1 导数与微分 37
考点梳理 37
一、基本概念 37
二、重要性质、公式与结论 38
例题解析 38
题型一 利用导数与微分的定义解题 38
题型二 可微、可导、连续与极限的关系 41
题型三 导数的物理、几何应用 41
2 导数的计算 42
考点梳理 42
重要性质、公式与结论 42
例题解析 44
题型一 利用导数公式与运算法则求导 44
题型二 求分段函数导数或微分 45
题型三 幂指函数的导数或微分 46
题型四 由参数方程确定的函数的导数 47
题型五 隐函数求导 47
题型六 求n阶导数 47
3 利用导数研究函数性态 49
考点梳理 49
一、基本概念 49
二、重要定理、性质与公式 50
例题解析 51
题型一 求曲率与曲率半径 51
题型二 利用导数讨论函数单调性、极值与最值 52
题型三 函数的凹凸性与拐点 53
题型四 求曲线的切线、法线和渐近线 55
题型五 综合题 56
4 微分中值定理、零点问题与不等式证明 58
考点梳理 58
重要性质、公式与结论 58
例题解析 60
题型一 函数零点的存在性与个数问题 60
题型二 证明项中包含ξ，f（ξ），f′（ξ），…的问题 62
题型三 拉格朗日中值定理与带拉格朗日余项的泰勒公式及其应用 64
题型四 证明项中包含ξ，η，f（ξ），f（η），f′（ξ），f′（η）的问题 65
题型五 不等式证明 66
习题精选与预测 68
第三章 一元函数积分学 73
大纲解读 73
考试内容 73
考试要求 73
大纲知识点精解 73
1 不定积分和定积分的概念与性质 73
考点梳理 73
一、基本概念 73
二、重要性质、公式与结论 74
例题解析 76
2 不定积分与定积分的计算 78
考点梳理 78
重要性质、公式与结论 78
例题解析 80
题型一 有理函数的积分 80
题型二 无理函数的积分 80
题型三 三角函数的积分 81
题型四 乘积的混合式积分 83
题型五 分段函数与绝对值函数的积分 85
题型六 变限积分问题 86
3 反常积分 88
考点梳理 88
一、基本概念 88
二、重要性质、公式与结论 89
例题解析 91
题型一 反常积分的计算 91
题型二 判定反常积分的敛散性 92
4 定积分的应用 93
考点梳理 93
重要性质、公式与结论 93
例题解析 95
题型一 几何应用 95
题型二 物理应用 98
5 定积分的证明题 99
例题解析 99
题型一 等式的证明 99
题型二 不等式的证明 100
习题精选与预测 102
第四章 向量代数和空间解析几何 113
大纲解读 113
考试内容 113
考试要求 113
大纲知识点精解 113
1 向量代数 113
考点梳理 113
一、基本概念 113
二、重要性质、公式与结论 115
例题解析 115
2 空间平面方程与空间直线方程 116
考点梳理 116
一、基本概念 116
二、重要性质、公式与结论 117
例题解析 119
题型一 求空间的平面方程 119
题型二 求空间的直线方程 120
题型三 点、直线、平面间的关系 121
3 空间曲面方程与空间曲线方程 122
考点梳理 122
一、基本概念 122
二、重要性质、公式与结论 123
例题解析 123
题型一 旋转面与柱面方程 123
题型二 投影方程 124
习题精选与预测 125
第五章 多元函数微分学 128
大纲解读 128
考试内容 128
考试要求 128
大纲知识点精解 128
1 多元函数的极限与连续性 128
考点梳理 128
一、基本概念 128
二、重要性质、公式与结论 129
例题解析 130
题型一 二元函数的概念 130
题型二 二元函数的极限 130
2 偏导数与全微分 131
考点梳理 131
一、基本概念 131
二、重要性质、公式与结论 132
例题解析 132
题型一 简单的二元函数偏导数与微分计算 132
题型二 二元函数连续、可偏导、可微的关系 134
3 多元函数求导法则 137
考点梳理 137
重要性质、定理与公式 137
例题解析 138
题型一 求复合函数的偏导数与全微分 138
题型二 求隐函数的偏导数与全微分 142
4 多元函数微分学的几何应用 146
考点梳理 146
一、基本概念 146
二、重要性质、定理与公式 147
例题解析 148
题型一 空间曲线与空间曲面 148
题型二 求方向导数与梯度 149
5 多元函数的极值与最值 150
考点梳理 150
一、基本概念 150
二、重要性质、定理与公式 150
例题解析 151
题型一 求解多元函数的无条件极值 151
题型二 求解多元函数的条件极值 154
题型三 求解多元函数的最值 155
习题精选与预测 160
第六章 多元函数积分学 165
大纲解读 165
考试内容 165
考试要求 165
大纲知识点精解 165
1 二重积分 165
考点梳理 165
一、基本概念 165
二、重要性质、公式与结论 166
例题解析 169
题型一 二重积分的概念和性质 169
题型二 直角坐标和极坐标下二重积分的计算 169
题型三 二次积分交换积分次序 175
题型四 利用对称性计算二重积分 177
2 三重积分 180
考点梳理 180
一、基本概念 180
二、重要性质、公式与结论 180
例题解析 183
题型一 直角坐标系下三重积分的计算 183
题型二 柱坐标系下三重积分的计算 183
题型三 球坐标系下三重积分的计算 184
3 曲线积分 185
考点梳理 185
一、基本概念 185
二、重要性质、公式与结论 186
例题解析 188
题型一 第一类曲线积分 188
题型二 第二类曲线积分与格林公式的应用 190
4 曲面积分 193
考点梳理 193
一、基本概念 193
二、重要性质、公式与结论 194
例题解析 196
题型一 第一类曲面积分 196
题型二 第二类曲面积分与高斯公式的应用 198
题型三 斯托克斯公式的应用 201
5 散度与旋度 202
考点梳理 202
基本概念 202
例题解析 203
6 多元函数积分学的几何、物理应用 203
考点梳理 203
重要定理、公式与性质 203
例题解析 204
题型一 几何应用 204
题型二 物理应用 205
习题精选与预测 209
第七章 无穷级数 214
大纲解读 214
考试内容 214
考试要求 214
大纲知识点精解 215
1 常数项级数及其敛散性 215
考点梳理 215
一、基本概念 215
二、重要性质、公式与结论 216
例题解析 218
题型一 级数的概念与敛散性 218
题型二 正向级数的敛散性判定 219
题型三 交错级数的敛散性判定 221
题型四 任意项级数的敛散性判定 222
2 幂级数 223
考点梳理 223
一、基本概念 223
二、重要性质、公式与结论 223
例题解析 225
题型一 幂级数的收敛区间与收敛域 225
题型二 幂级数与常数项级数求和 228
题型三 函数的幂级数展开式 231
3 傅里叶级数 234
考点梳理 234
一、基本概念 234
二、重要性质、公式与结论 235
例题解析 236
题型一 函数的傅里叶级数展开 236
题型二 傅里叶级数的收敛性 237
习题精选与预测 239
第八章 微分方程 244
大纲解读 244
考试内容 244
考试要求 244
大纲知识点精解 244
1 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程的解法 244
考点梳理 244
一、基本概念 244
二、重要定理、性质与公式 245
例题解析 247
题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解 247
题型二 一阶线性方程与伯努利方程的求解 248
题型三 全微分的求解 250
题型四 可降解的高阶微分方程的求解 252
2 高阶线性微分方程 254
考点梳理 254
一、基本概念 254
二、重要定理、性质与公式 254
例题解析 256
题型一 高阶线性微分方程解的结构、性质与判定 256
题型二 求解二阶线性微分方程 257
题型三 求解欧拉方程 258
3 微分方程的应用 259
考点梳理 259
重要定理、性质与公式 259
例题解析 259
习题精选与预测 265
第二部分 线性代数 271
第一章 行列式 271
大纲解读 271
考试内容 271
考试要求 271
大纲知识点精解 271
考点梳理 271
一、基本概念 271
二、重要性质、公式与结论 272
例题解析 274
题型一 行列式的概念及性质 274
题型二 数字型行列式的计算 276
题型三 抽象行列式的计算 280
题型四 有关｜A｜＝0的证明 281
习题精选与预测 282
第二章 矩阵 285
大纲解读 285
考试内容 285
考试要求 285
大纲知识点精解 285
1 矩阵的概念及运算 285
考点梳理 285
一、基本概念 285
二、重要性质、公式与结论 287
2 可逆矩阵与伴随矩阵 288
考点梳理 288
一、基本概念 288
二、重要性质、公式与结论 288
3 矩阵的初等变换 290
考点梳理 290
一、基本概念 290
二、重要性质、公式与结论 290
4 分块矩阵 291
考点梳理 291
一、基本概念 291
二、重要性质、公式与结论 291
例题解析 292
题型一 矩阵的概念及运算 292
题型二 求方阵的幂 293
题型三 矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算 296
题型四 伴随矩阵 298
题型五 矩阵的初等变换 300
题型六 分块矩阵 301
题型七 求解矩阵方程 303
习题精选与预测 307
第三章 向量 311
大纲解读 311
考试内容 311
考试要求 311
大纲知识点精解 311
1 向量与向量组的线性相关性 311
考点梳理 311
一、基本概念 311
二、重要定理、性质与公式 312
例题解析 313
题型一 线性相关性的判别与证明 313
题型二 向量与向量组的线性表出 316
2 极大线性无关组与向量组的秩 320
考点梳理 320
一、基本概念 320
二、重要定理、性质与公式 320
例题解析 321
题型一 矩阵的秩 321
题型二 向量组的秩与极大线性无关组 322
题型三 向量组的等价 324
3 向量空间 326
考点梳理 326
一、基本概念 326
二、重要定理、性质与公式 327
例题解析 328
题型一 向量空间的基本概念 328
题型二 过渡矩阵与坐标变换 329
题型三 正交矩阵与正交化 331
习题精选与预测 332
第四章 线性方程组 337
大纲解读 337
考试内容 337
考试要求 337
大纲知识点精解 337
1 齐次线性方程组 337
考点梳理 337
一、基本概念 337
二、重要性质、公式与结论 338
2 非齐次线性方程组 340
考点梳理 340
一、基本概念 340
二、重要性质、公式与结论 340
例题解析 341
题型一 线性方程组解的判定、性质及结构 341
题型二 求解齐次线性方程组 345
题型三 求解非齐次线性方程组 348
题型四 两方程组的公共解与同解问题 357
习题精选与预测 361
第五章 矩阵的特征值和特征向量 365
大纲解读 365
考试内容 365
考试要求 365
大纲知识点精解 365
1 特征值与特征向量 365
考点梳理 365
一、基本概念 365
二、重要性质、公式与结论 366
例题解析 367
题型一 求数字型矩阵的特征值与特征向量 367
题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量 370
题型三 特征值与特征向量的逆问题 372
题型四 有关特征值与特征向量的证明题 374
2 相似矩阵及矩阵的相似对角化 376
考点梳理 376
一、基本概念 376
二、重要性质、公式与结论 376
例题解析 377
题型一 相似矩阵的性质及其判定 377
题型二 方阵的对角化问题 380
3 实对称矩阵及其相似对角化 384
考点梳理 384
一、基本概念 384
二、重要性质、公式与结论 384
例题解析 385
题型一 实对称矩阵的性质 385
题型二 实对称矩阵的对角化 390
习题精选与预测 393
第六章 二次型 397
大纲解读 397
考试内容 397
考试要求 397
大纲知识点精解 397
1 二次型的定义、矩阵表示 397
考点梳理 397
基本概念 397
2 化二次型为标准形和规范形 398
考点梳理 398
一、基本概念 398
二、重要性质、公式与结论 399
3 合同矩阵 400
考点梳理 400
一、基本概念 400
二、重要性质、公式与结论 400
4 正定二次型与正定矩阵 400
考点梳理 400
一、基本概念 400
二、重要性质、公式与结论 400
例题解析 401
题型一 二次型的基本概念 401
题型二 线性变换 403
题型三 化二次型为标准形和规范形 404
题型四 矩阵的合同 410
题型五 正定二次型与正定矩阵的判定与证明 412
习题精选与预测 416
第三部分 概率论与数理统计 421
第一章 随机事件和概率 421
大纲解读 421
考试内容 421
考试要求 421
大纲知识点精解 421
1 随机事件的关系与运算 421
考点梳理 421
一、基本概念 421
二、重要定理、性质与公式 422
例题解析 423
2 随机事件的概率 425
考点梳理 425
一、基本概念 425
二、重要定理、性质与公式 426
例题解析 426
题型一 概率的基本性质 426
题型二 古典概型与几何概型 428
题型三 条件概率 429
题型四 全概率公式与贝叶斯公式 430
3 事件的独立性与独立重复试验 432
考点梳理 432
一、基本概念 432
二、重要定理、性质与公式 433
例题解析 433
题型一 事件的独立性 433
题型二 伯努利概型 435
习题精选与预测 436
第二章 随机变量及其分布 439
大纲解读 439
考试内容 439
考试要求 439
大纲知识点精解 439
1 随机变量及其分布函数 439
考点梳理 439
一、基本概念 439
二、重要定理、性质与公式 440
例题解析 440
2 离散型与连续型随机变量 443
考点梳理 443
一、基本概念 443
二、重要定理、性质与公式 443
例题解析 446
题型一 离散型随机变量及其分布律 446
题型二 连续型随机变量及其概率密度 447
题型三 随机变量的常见分布 449
3 随机变量函数的分布 451
考点梳理 451
例题解析 452
习题精选与预测 455
第三章 多维随机变量及其分布 459
大纲解读 459
考试内容 459
考试要求 459
大纲知识点精解 459
1 二维随机变量及其分布 459
考点梳理 459
一、基本概念 459
二、重要性质、公式与结论 461
例题解析 462
题型一 离散型随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布 462
题型二 连续型随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布 465
2 二维随机变量的独立性 468
考点梳理 468
一、基本概念 468
二、重要性质、公式与结论 469
例题解析 469
3 二维均匀分布与二维正态分布 472
考点梳理 472
一、基本概念 472
二、重要性质、公式与结论 472
例题解析 473
4 随机变量函数的分布 476
考点梳理 476
一、基本概念 476
二、重要性质、公式与结论 476
例题解析 478
习题精选与预测 488
第四章 随机变量的数字特征 491
大纲解读 491
考试内容 491
考试要求 491
大纲知识点精解 491
1 随机变量的数学期望和方差 491
考点梳理 491
一、基本概念 491
二、重要性质、公式与结论 492
例题解析 493
题型一 随机变量期望与方差的概念与计算 493
题型二 随机变量函数的期望与方差 497
题型三 几种常见分布的期望与方差 501
2 协方差与相关系数 503
考点梳理 503
一、基本概念 503
二、重要性质、公式与结论 504
例题解析 505
题型一 协方差与相关系数的计算 505
题型二 相关性与独立性的判定 508
3 随机变量的矩 511
考点梳理 511
基本概念 511
例题解析 511
习题精选与预测 512
第五章 大数定律与中心极限定理 515
大纲解读 515
考试内容 515
考试要求 515
大纲知识点精解 515
1 大数定律 515
考点梳理 515
重要性质、公式与结论 515
2 中心极限定理 516
考点梳理 516
重要性质、公式与结论 516
例题解析 517
题型一 切比雪夫不等式与大数定律 517
题型二 中心极限定理 519
习题精选与预测 522
第六章 数理统计的基本概念 525
大纲解读 525
考试内容 525
考试要求 525
大纲知识点精解 525
1 随机样本 525
考点梳理 525
一、基本概念 525
二、重要性质、公式与结论 526
2 统计量及其分布 526
考点梳理 526
一、基本概念 526
二、重要性质、公式与结论 526
例题解析 530
题型一 统计量及其数字特征 530
题型二 统计量的分布 535
习题精选与预测 538
第七章 参数估计 541
大纲解读 541
考试内容 541
考试要求 541
大纲知识点精解 541
1 点估计与估计量的评价标准 541
考点梳理 541
一、基本概念 541
二、重要定理、性质与公式 542
例题解析 543
题型一 矩估计和最大似然估计 543
题型二 估计量的评价标准 546
2 区间估计 551
考点梳理 551
一、基本概念 551
二、重要定理、性质与公式 551
例题解析 552
习题精选与预测 553
第八章 假设检验 556
大纲解读 556
考试内容 556
考试要求 556
大纲知识点精解 556
考点梳理 556
一、基本概念 556
二、重要性质、公式与结论 557
例题解析 557
习题精选与预测 558
附录 560
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题 560
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题解析 563
后记 577