第一篇 复变函数论 2
第1章 复数与复变函数 2
1.1 复数概念及其运算 3
1.1.1 复数概念 3
1.1.2 复数的基本代数运算 4
1.2 复数的表示 4
1.2.1 复数的几何表示 4
1.2.2 复数的三角表示 5
1.2.3 复数的指数表示 6
1.2.4 共轭复数 6
1.2.5 复球面、无穷远点 7
1.3 复数的乘幂与方根 8
1.3.1 复数的乘幂 8
1.3.2 复数的方根 9
1.3.3 实践编程：正17边形的几何作图法 10
1.4 区域 11
1.4.1 基本概念 11
1.4.2 区域的判断方法及实例分析 13
1.5 复变函数 14
1.5.1 复变函数概念 14
1.5.2 复变函数的几何意义——映射 15
1.6 复变函数的极限 16
1.6.1 复变函数极限概念 16
1.6.2 复变函数极限的基本定理 16
1.7 复变函数的连续 17
1.7.1 复变函数连续的概念 17
1.7.2 复变函数连续的基本定理 18
1.8 典型综合实例 18
小结 23
习题 24
计算机仿真编程实践 25
第2章 解析函数 27
2.1 复变函数导数与微分 27
2.1.1 复变函数的导数 27
2.1.2 复变函数的微分概念 29
2.1.3 可导的必要条件 29
2.1.4 可导的充分必要条件 31
2.1.5 求导法则 32
2.1.6 复变函数导数的几何意义 33
2.2 解析函数 34
2.2.1 解析函数的概念 34
2.2.2 解析函数的法则 35
2.2.3 函数解析的充分必要条件 35
2.2.4 解析函数的几何意义（映射的保角性） 38
2.3 初等解析函数 39
2.3.1 指数函数（单值函数） 39
2.3.2 对数函数——指数函数的反函数（多值函数） 40
2.3.3 三角函数（单值函数） 42
2.3.4 反三角函数（多值函数） 44
2.3.5 双曲函数（单值函数） 44
2.3.6 反双曲函数（多值函数） 45
2.3.7 整幂函数zn（单值函数） 46
2.3.8 一般幂函数与根式函数w=？（多值函数） 46
2.3.9 多值函数的基本概念 48
2.4 解析函数与调和函数的关系 49
2.4.1 调和函数与共轭调和函数的概念 49
2.4.2 解析函数与调和函数之间的关系 50
2.4.3 解析函数的构建方法 50
2.5 解析函数的物理意义——平面矢量场 52
2.5.1 用解析函数表述平面矢量场 52
2.5.2 静电场的复势 52
2.6 典型综合实例 54
小结 57
习题 57
计算机仿真编程实践 58
第3章 复变函数的积分 59
3.1 复变函数的积分 59
3.1.1 复变函数积分的概念 59
3.1.2 复积分存在的条件及计算方法 60
3.1.3 复积分的基本性质 60
3.1.4 复积分的计算典型实例 61
3.1.5 复变函数环路积分的物理意义 62
3.2 柯西积分定理及其应用 63
3.2.1 柯西积分定理 63
3.2.2 不定积分 64
3.2.3 典型应用实例 66
3.2.4 柯西积分定理（柯西-古萨定理）的物理意义 66
3.3 基本定理的推广——复合闭路定理 67
3.4 柯西积分公式 70
3.4.1 有界区域的单连通柯西积分公式 70
3.4.2 有界区域的复连通柯西积分公式 71
3.4.3 无界区域的柯西积分公式 72
3.5 柯西积分公式的几个重要推论 74
3.5.1 解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 74
3.5.2 解析函数的平均值公式 76
3.5.3 柯西不等式 76
3.5.4 刘维尔定理 76
3.5.5 莫勒纳定理 77
3.5.6 最大模原理 77
3.5.7 代数基本定理 77
3.6 典型综合实例 78
小结 82
习题 84
计算机仿真编程实践 85
第4章 解析函数的幂级数表示 86
4.1 复数项级数的基本概念 86
4.1.1 复数项级数概念 86
4.1.2 复数项级数的判断准则和定理 86
4.2 复变函数项级数 88
4.3 幂级数 90
4.3.1 幂级数概念 90
4.3.2 收敛圆与收敛半径 91
4.3.3 收敛半径的求法 92
4.4 解析函数的泰勒级数展开式 94
4.4.1 泰勒级数 95
4.4.2 将函数展开成泰勒级数的方法 96
4.5 罗朗级数及展开方法 97
4.5.1 罗朗级数 97
4.5.2 罗朗级数展开方法实例 99
4.5.3 用级数展开法计算闭合环路积分 101
4.6 典型综合实例 102
小结 105
习题 107
计算机仿真编程实践 108
第5章 留数定理 109
5.1 解析函数的孤立奇点 109
5.1.1 孤立奇点概念 109
5.1.2 孤立奇点的分类及其判断定理 109
5.2 解析函数在无穷远点的性质 113
5.3 留数概念 114
5.4 留数定理与留数和定理 116
5.5 留数的计算方法 117
5.5.1 有限远点留数的计算方法 117
5.5.2 无穷远点的留数计算方法 119
5.6 用留数定理计算实积分 120
5.6.1 ？πR(cosθ,sinθ)dθ型积分 121
5.6.2 ？P(X)/Q(x)dx型积分 122
5.6.3 ？f(x)eiaxdx(a＞0)型积分 124
5.6.4 其他类型（积分路径上有奇点）的积分计算举例 126
5.7 典型综合实例 128
小结 131
习题 133
计算机仿真编程实践 134
第6章 保角映射 135
6.1 保角映射的概念 135
6.2 分式线性映射 136
6.2.1 分式线性映射的概念 136
6.2.2 两种基本映射 137
6.2.3 分式线性映射的性质 138
6.2.4 分式线性映射的确定及应用 139
6.2.5 三类典型的分式线性映射 142
6.3 几个初等函数所构成的映射 145
6.3.1 幂函数映射 145
6.3.2 指数函数w=ez映射 146
6.3.3 儒可夫斯基函数映射 147
6.4 典型综合实例 148
小结 150
习题 152
计算机仿真编程实践 153
第一篇复变函数论全篇总结框图 153
第一篇综合测试题 153
第二篇 数学物理方程 156
第7章 数学建模——数学物理定解问题 156
7.1 数学建模——波动方程类型的建立 158
7.1.1 波动方程的建立 158
7.1.2 波动方程的定解条件 164
7.2 数学建模——热传导方程类型的建立 165
7.2.1 数学物理方程——热传导类型方程的建立 165
7.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件 168
7.3 数学建模——稳定场方程类型的建立 169
7.3.1 稳定场方程类型的建立 169
7.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件 170
7.4 数学物理定解理论 171
7.4.1 定解条件和定解问题的提法 171
7.4.2 数学物理定解问题的适定性 172
7.4.3 数学物理定解问题的求解方法 172
7.5 典型综合实例 172
小结 175
习题 175
计算机仿真编程实践 176
第8章 二阶线性偏微分方程的分类 177
8.1 基本概念 177
8.2 数学物理方程的分类 178
8.3 二阶线性偏微分方程标准化 181
8.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 183
8.5 线性偏微分方程解的特征 185
8.6 典型综合实例 185
小结 186
习题 187
计算机仿真编程实践 187
第9章 行波法与达朗贝尔公式 188
9.1 二阶线性偏微分方程的通解 188
9.2 二阶线性偏微分方程的行波解 189
9.3 达朗贝尔公式 190
9.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 190
9.3.2 达朗贝尔公式的物理意义 191
9.4 达朗贝尔公式的应用 191
9.4.1 齐次偏微分方程求解 191
9.4.2 非齐次偏微分方程的求解 194
9.5 定解问题的适定性验证 195
9.6 典型综合实例 196
小结 198
习题 199
计算机仿真编程实践 200
第10章 分离变量法 201
10.1 分离变量理论 201
10.1.1 偏微分方程变量分离及条件 201
10.1.2 边界条件可实施变量分离的条件 202
10.2 直角坐标系下的分离变量法 202
10.2.1 分离变量法介绍 202
10.2.2 解的物理意义 205
10.2.3 三维形式的直角坐标分离变量 206
10.2.4 直角坐标系分离变量例题分析 207
10.3 二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法 210
10.4 球坐标系下的分离变量法 213
10.4.1 拉普拉斯方程△u=0的分离变量（与时间无关） 213
10.4.2 与时间有关的方程的分离变量 215
10.4.3 亥姆霍兹方程的分离变量 216
10.5 柱坐标系下的分离变量 216
10.5.1 与时间无关的拉普拉斯方程分离变量 216
10.5.2 与时间相关的方程的分离变量 218
10.6 非齐次二阶线性偏微分方程的解法 219
10.6.1 泊松方程非齐次方程的特解法 219
10.6.2 非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法 221
10.7 非齐次边界条件的处理 222
10.8 典型综合实例 224
小结 228
习题 230
计算机仿真编程实践 232
第11章 幂级数解法——本征值问题 233
11.1 二阶常微分方程的幂级数解法 233
11.1.1 幂级数解法理论概述 233
11.1.2 常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解） 234
11.1.3 奇点邻域的级数解法（贝塞尔方程的求解） 236
11.2 施图姆-刘维尔本征值 239
11.2.1 施图姆-刘维尔本征值问题 239
11.2.2 施图姆-刘维尔本征值问题的性质 240
11.2.3 广义傅里叶级数 241
11.2.4 复数的本征函数族 242
11.2.5 希尔伯特空间矢量分解 243
11.3 综合实例 243
小结 243
习题 245
计算机仿真编程实践 245
第12章 格林函数法 246
12.1 格林公式 246
12.2 解泊松方程的格林函数法 246
12.3 无界空间的格林函数基本解 249
12.3.1 三维球对称情形 250
12.3.2 二维轴对称情形 250
12.4 用电像法确定格林函数 251
12.4.1 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建方法 251
12.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 253
12.4.3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建 254
12.4.4 球形区域第一边值问题的格林函数构建 255
12.5 典型综合实例 256
小结 257
习题 259
计算机仿真编程实践 259
第13章 积分变换法求解定解问题 260
13.1 傅里叶变换 260
13.1.1 傅里叶变换 260
13.1.2 广义傅里叶变换 261
13.1.3 傅里叶变换的基本性质 263
13.2 拉普拉斯变换 268
13.2.1 拉普拉斯变换 268
13.2.2 拉普拉斯变换的性质 270
13.2.3 拉普拉斯变换的反演 273
13.3 傅里叶变换法解数学物理定解问题 275
13.3.1 弦振动问题 275
13.3.2 热传导问题 277
13.3.3 稳定场问题 278
13.4 拉普拉斯变换解数学物理定解问题 279
13.4.1 无界区域的问题 280
13.4.2 半无界区域的问题 280
小结 282
习题 284
第14章 保角变换法求解定解问题 285
14.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系 285
14.2 保角变换法求解定解问题典型实例 286
习题 290
计算机仿真编程 290
第15章 数学物理方程综述 291
15.1 线性偏微分方程解法综述 291
15.2 非线性偏微分方程 292
15.2.1 孤立波 292
15.2.2 冲击波 294
小结 295
第二篇综合测试题 296
第三篇 特殊函数 297
第16章 勒让德多项式——球函数 297
16.1 勒让德方程及其解的表示 297
16.1.1 勒让德方程、勒让德多项式 297
16.1.2 勒让德多项式的表示 298
16.2 勒让德多项式的性质及其应用 300
16.2.1 勒让德多项式的性质 300
16.2.2 勒让德多项式的应用（广义傅里叶级数展开） 303
16.3 勒让德多项式的生成函数（母函数） 305
16.3.1 勒让德多项式的生成函数的定义 305
16.3.2 勒让德多项式的递推公式 306
16.4 连带勒让德函数 307
16.4.1 连带勒让德函数的定义 307
16.4.2 连带勒让德函数的微分表示 309
16.4.3 连带勒让德函数的积分表示 309
16.4.4 连带勒让德函数的正交关系与模的公式 309
16.4.5 连带勒让德函数——广义傅里叶级数 309
16.4.6 连带勒让德函数的递推公式 310
16.5 球函数 310
16.5.1 球函数的方程及其解 310
16.5.2 球函数的正交关系和模的公式 311
16.5.3 球面上函数的广义傅里叶级数 312
16.5.4 拉普拉斯方程的非轴对称定解问题 313
16.6 典型综合实例 314
小结 317
习题 320
计算机仿真编程实践 320
第17章 贝塞尔函数 321
17.1 贝塞尔方程及其解 321
17.1.1 贝塞尔方程 321
17.1.2 贝塞尔方程的解 321
17.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质 322
17.2.1 第一类贝塞尔函数 322
17.2.2 第二类贝塞尔函数 324
17.2.3 第三类贝塞尔函数 324
17.3 贝塞尔函数的基本性质 325
17.3.1 贝塞尔函数的递推公式 325
17.3.2 贝塞尔函数与本征值问题 327
17.3.3 贝塞尔函数的正交性和模 329
17.3.4 广义傅里叶-贝塞尔级数 330
17.3.5 贝塞尔函数的母函数（生成函数） 331
17.4 虚宗量贝塞尔方程 332
17.4.1 虚宗量贝塞尔方程的解 332
17.4.2 第一类虚宗量贝塞尔函数的性质 333
17.4.3 第二类虚宗量贝塞尔函数的性质 333
17.5 球贝塞尔方程 334
17.5.1 球贝塞尔方程 334
17.5.2 球贝塞尔方程的解 334
17.5.3 球贝塞尔函数的级数表示 335
17.5.4 球贝塞尔函数的递推公式 335
17.5.5 球贝塞尔函数的初等函数表示式 335
17.5.6 球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题 336
17.6 典型综合实例 336
小结 339
习题 341
计算机仿真编程实践 341
第三篇综合测试题 341
第四篇 计算机仿真 343
第18章 计算机仿真在复变函数中的应用 343
18.1 复数运算和复变函数的图形 343
18.1.1 复数的基本运算 343
18.1.2 复数的运算 344
18.1.3 复变函数的图形 346
18.2 复变函数的极限与导数、解析函数 348
18.2.1 复变函数的极限 348
18.2.2 复变函数的导数 349
18.2.3 解析函数 350
18.3 复变函数的积分与留数定理 350
18.3.1 非闭合路径的积分计算 350
18.3.2 闭合路径的积分计算 351
18.4 复变函数级数 352
18.4.1 复变函数级数的收敛及其收敛半径 352
18.4.2 单变量函数的泰勒级数展开 353
18.4.3 多变量函数的泰勒级数展开 354
18.5 傅里叶变换及其逆变换 355
18.5.1 傅里叶积分变换 355
18.5.2 傅里叶逆变换 356
18.6 拉普拉斯变换及其逆变换 356
18.6.1 拉普拉斯变换 357
18.6.2 拉普拉斯逆变换 357
计算机仿真编程实践 358
第19章 数学物理方程的计算机仿真求解 359
19.1 用偏微分方程工具箱求解偏微分方程 359
19.1.1 用GUI解PDE问题 359
19.1.2 计算结果的可视化 359
19.2 计算机仿真编程求解偏微分方程 362
19.2.1 双曲型：波动方程的求解 362
19.2.2 抛物型：热传导方程的求解 365
19.2.3 椭圆型：稳定场方程的求解 367
19.2.4 点源泊松方程的适应解 369
19.2.5 亥姆霍兹方程的求解 370
19.3 定解问题的计算机仿真显示 371
19.3.1 波动方程解的动态演示 372
19.3.2 热传导方程解的分布 373
19.3.3 泊松方程解的分布 374
19.3.4 格林函数解的分布 375
19.3.5 本征值问题中本征函数的分布 376
计算机仿真编程实践 377
第20章 特殊函数的计算机仿真应用 378
20.1 连带勒让德函数、勒让德函数、球函数 378
20.1.1 连带勒让德函数 378
20.1.2 勒让德多项式 378
20.1.3 球函数 379
20.1.4 勒让德多项式的母函数图形 379
20.2 贝塞尔函数（柱函数） 380
20.2.1 贝塞尔函数 380
20.2.2 虚宗量贝塞尔函数 382
20.2.3 球贝塞尔函数的图形 382
20.2.4 平面波用柱面波形式展开 383
20.2.5 定解问题的图形显示 384
20.3 其他特殊函数 385
计算机仿真编程实践 385
第四篇综合测试题 386
参考文献 387