引言 1
第一章 矩阵和行列式 3
第1讲 矩阵的概念和运算 5
1.1矩阵的定义 5
1.2矩阵的加法 8
1.3矩阵的数乘 8
1.4矩阵的乘法 9
1.5矩阵的转置 13
思考练习题1 14
习题1 16
第2讲 行列式的概念 17
2.1二阶和三阶行列式 17
2.2排列与逆序 18
2.3n阶行列式的定义 21
思考练习题2 25
习题2 26
第3讲 行列式的性质 28
3.1行列式的性质 28
3.2方阵乘积的行列式 34
思考练习题3 37
习题3 37
第4讲 行列式展开定理 39
4.1行列式按一行展开的公式 39
4.2行列式计算的例 43
4.3按某几行展开定理——拉普拉斯定理 48
思考练习题4 50
习题4 51
第5讲 矩阵的逆和初等变换 54
5.1逆矩阵的概念 54
5.2矩阵的求逆公式 57
5.3矩阵的初等变换和初等矩阵 60
思考练习题5 64
习题5 65
第6讲 矩阵的相抵标准形和矩阵求逆的初等变换法 66
6.1矩阵的相抵与相抵标准形 66
6.2求逆矩阵的初等变换法 70
6.3分块矩阵的初等变换 72
思考练习题6 75
习题6 75
第7讲 解线性方程组的克拉默法则和高斯消元法 77
7.1解线性方程组的克拉默法则 77
7.2解线性方程组的消元法 81
7.3齐次线性方程组的解 86
思考练习题7 87
习题7 88
第8讲 第一章复习与补充 89
8.1矩阵乘积的可交换性 89
8.2矩阵乘积的行列式 91
8.3行列式的计算技巧总结 94
8.4伴随矩阵的公式 96
8.5矩阵的三角分解 97
习题8 99
复习题1 100
第二章 几何空间与线性空间 103
第9讲 几何空间和向量的线性运算 105
9.1几何空间的性质和向量的线性运算 105
9.2直角坐标系 107
9.3若干几何问题 108
9.4一般坐标系（仿射坐标系） 111
思考练习题9 112
习题9 113
第10讲 几何空间中向量的数量积和向量积 114
10.1向量的数量积（内积，点积） 114
10.2向量的数量积的计算方法 117
10.3向量的向量积（外积，叉积） 118
附录A向量积的分配律的证明 120
思考练习题10 121
习题10 121
第11讲 三维空间中的向量的混合积和平面方程 123
11.1向量的混合积 123
11.2平面方程 125
11.3几个平面的位置关系 128
附录B向量的复合积 130
思考练习题11 132
习题11 132
第12讲 三维空间中的直线方程 134
12.1直线方程 134
12.2直线与平面的位置关系 136
12.3两直线的位置关系 137
12.4点到直线的距离 140
思考练习题12 142
习题12 142
第13讲n维向量空间 144
13.1 n维向量和n维向量空间 144
13.2向量组的线性组合与线性表出 146
13.3向量组的线性相关性 147
13.4基与坐标，坐标变换与过渡矩阵 149
思考练习题13 153
习题13 154
第14讲 向量组的线性相关性和秩 155
14.1关于向量组的线性相关性的一些补充 155
14.2两个向量组的关系 156
14.3向量组的极大线性无关组和秩 158
14.4子空间的维数和基 162
思考练习题14 162
习题14 163
第15讲 矩阵的秩 164
15.1矩阵的秩的概念 164
15.2矩阵的秩和向量组的秩的关系 166
15.3矩阵的运算对秩的影响 168
思考练习题15 171
习题15 172
第16讲 线性空间 173
16.1线性空间的定义 173
16.2基与坐标，坐标变换与过渡矩阵 175
16.3线性空间与向量空间的同构 177
附录C关于多项式的概念 179
思考练习题16 180
习题16 180
第17讲 欧氏空间 181
17.1内积与欧氏空间 181
17.2内积的性质 182
17.3标准正交基和正交矩阵 184
17.4施密特标准正交化方法 185
17.5可逆矩阵的QR分解 187
思考练习题17 189
习题17 189
选讲Ⅰ 第二章复习与补充 191
Ⅰ.1空间概念及有关问题 191
Ⅰ.2几何空间中向量之间的乘积，平面与直线方程 193
Ⅰ.3向量组的线性相关性，秩 194
第二章复习题 198
第三章 线性方程组的解的结构 201
第18讲 齐次线性方程组的解的结构 203
18.1齐次线性方程组的解的性质 203
18.2齐次线性方程组的基础解系 204
思考练习题18 210
习题18 210
第19讲 非齐次线性方程组的解的结构 212
19.1非齐次线性方程组有解的条件 212
19.2非齐次线性方程组有解时解的结构 213
19.3矩阵方程的求解 219
思考练习题19 221
习题19 221
选讲Ⅱ矛盾线性方程组的近似解 223
Ⅱ.1近似解的标准——最小距离 223
Ⅱ.2最小二乘法的应用 226
附录D最小二乘法的分析推导 229
习题Ⅱ 230
第三章复习题 230
第四章 矩阵的特征值问题和相似对角化问题 233
第20讲 矩阵的特征值与特征向量 235
20.1方阵的特征值与特征向量 235
20.2方阵的特征多项式及其性质 238
20.3特征向量的性质与特征子空间 241
20.4特征多项式的哈密尔顿-凯莱定理 243
思考练习题20 244
习题20 245
第21讲 矩阵的相似与对角化 246
21.1矩阵的相似 246
21.2矩阵的对角化问题 247
21.3矩阵对角化的应用与例 251
思考练习题21 254
习题21 254
第22讲 实对称矩阵的对角化 256
22.1实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 256
22.2实对称矩阵的对角化 258
22.3实对称矩阵对角化的计算方法 259
思考练习题22 261
习题22 262
第23讲 线性变换 263
23.1线性变换的概念 263
23.2线性变换的矩阵 265
23.3线性变换在不同基下的矩阵 267
思考练习题23 268
习题23 269
第24讲 正交变换与正交矩阵 271
24.1正交变换 271
24.2正交变换的运算和分类 273
24.3正交变换（正交矩阵）的特征值 276
思考练习题24 278
习题24 278
选讲Ⅲ 第四章复习与补充 280
第四章复习题 284
第五章 二次型与二次曲面 287
第25讲 三维空间中的二次曲面 289
25.1空间曲面方程与平面截割法 289
25.2三维空间中的二次曲面 291
25.3三维空间中的曲线方程 294
思考练习题25 296
习题25 296
第26讲 二次型与它的标准形 297
26.1二次型及其矩阵表示 297
26.2二次型的线性替换和矩阵的合同 298
26.3二次型的标准形和化二次型为标准形的配方法 299
思考练习题26 303
习题26 303
第27讲 化简二次型的正交基变换法，惯性定理 305
27.1化简二次型的正交基变换法 305
27.2化简二次型的初等变换法 308
27.3二次型的规范形和惯性定理 309
思考练习题27 311
习题27 312
第28讲 二次型的正定性 313
28.1正定二次型的概念 313
28.2正定二次型的行列式判断方法 315
28.3正定矩阵的运算 317
思考练习题28 318
习题28 319
第29讲 二次型与二次曲面的分类 320
29.1二次型的分类 320
29.2几何空间中的二次曲面的分类 321
29.3二次型的若干应用 324
思考练习题29 326
习题29 326
第30讲 总复习 328
30.1矩阵与行列式 328
30.2线性方程组求解问题 330
30.3二次型与二次曲面 331
期末考试举例 332
参考文献 338