第1章 数学物理中的分数阶微分方程 1
1.1分数阶导数的由来 1
1.2反常扩散与分数阶扩散对流 4
1.2.1随机游走和分数阶方程 5
1.2.2分数阶扩散对流方程 8
1.2.3分数阶Fokker-Planck方程 9
1.2.4分数阶Klein-Kramers方程 12
1.3分数阶准地转方程（QGE） 12
1.4分数阶Schrodinger方程 16
1.5分数阶Ginzburg-Landau方程 18
1.6分数阶Landau-Lifshitz方程 22
1.7分数阶微分方程的一些应用 23
第2章 分数阶微积分与分数阶方程 28
2.1分数阶积分和求导 28
2.1.1 Riemann-Liouville分数阶积分 28
2.1.2 R-L分数阶导数 35
2.1.3 R-L分数阶导数的拉普拉斯变换 40
2.1.4其他的分数阶导数定义 42
2.2分数阶拉普拉斯算子 48
2.2.1定义与背景 48
2.2.2分数阶拉普拉斯算子的性质 52
2.2.3拟微分算子 56
2.2.4 Riesz位势与Bessel位势 62
2.2.5分数阶Sobolev空间 63
2.2.6交换子估计 68
2.3解的存在唯一性 74
2.3.1序列分数阶导数 74
2.3.2线性分数阶微分方程 75
2.3.3一般的分数阶常微分方程 77
2.3.4例子——Mittag-Leffier函数的应用 80
2.4附录A 傅里叶变换 82
2.5附录B 拉普拉斯变换 89
2.6附录C Mittag-Leffler函数 91
2.6.1 Gamma函数和Beta函数 91
2.6.2 Mittag-Leffler函数 93
第3章 分数阶偏微分方程 95
3.1分数阶扩散方程 95
3.2分数阶Schrodinger方程 98
3.2.1空间分数阶导数的Schrodinger方程 98
3.2.2时间分数阶导数的Schrodinger方程 109
3.2.3一维分数阶Schrodinger方程的整体适定性 113
3.3分数阶Ginzburg-Landau方程 120
3.3.1弱解的存在性 120
3.3.2强解的整体存在性 125
3.3.3吸引子的存在性 131
3.4分数阶Landau-Lifshitz方程 135
3.4.1黏性消去法 136
3.4.2 Ginzburg-Landau逼近与渐近极限 142
3.4.3高维情形——Galerkin逼近 148
3.5分数阶QG方程 160
3.5.1解的存在唯一性 161
3.5.2无黏极限 170
3.5.3长时间行为——衰减和逼近 174
3.5.4吸引子的存在性 181
3.6边值问题——调和延拓方法 189
第4章 分数阶微积分的数值逼近 198
4.1分数阶微积分定义及其相互关系 198
4.2 Riemann-Liouville分数阶微积分的G算法 201
4.3 Riemann-Liouville分数阶导数的D算法 204
4.4 Riemann-Liouville分数阶积分的R算法 207
4.5分数阶导数的L算法 209
4.6分数阶差商逼近的一般通式 210
4.7经典整数阶数值微分、积分公式的推广 212
4.7.1经典向后差商及中心差商格式的推广 212
4.7.2插值型数值积分公式的推广 214
4.7.3经典线性多步法的推广：Lubich分数阶线性多步法 215
4.8其他方法技巧的应用 218
4.8.1利用傅里叶级数计算周期函数的分数阶微积分 218
4.8.2短记忆原理 218
第5章 分数阶常微分方程数值求解方法 220
5.1分数阶线性微分方程的解法 220
5.2一般分数阶常微分方程的解法 221
5.2.1直接法 222
5.2.2间接法 225
5.2.3差分格式 226
5.2.4误差分析 227
第6章 分数阶偏微分方程数值解法 230
6.1空间分数阶对流-扩散方程 231
6.2时间分数阶偏微分方程 234
6.2.1差分格式 235
6.2.2稳定性分析：Fourier-Von Neumann方法 235
6.2.3误差分析 236
6.3时间-空间分数阶偏微分方程 238
6.3.1差分格式 238
6.3.2稳定性及收敛性分析 239
6.4非线性分数阶偏微分方程的数值计算 244
6.4.1 Adomian分解法 244
6.4.2变分迭代法 246
参考文献 248