第一章 多项式的根 1
1 对根的不等式 1
1.1 代数基本定理 1
1.2 Cauchy定理 3
1.3 Lagurre定理 6
1.4 配极多项式 10
1.5 Routh-Hurwitz问题 16
2 多项式及其导数的根 17
2.1 Gauss-Lucas定理 17
2.2 导数的根与椭圆的焦点 18
2.3 导数的根的局部性 22
2.4 冼多夫-伊列耶夫猜想 25
2.5 本身的根与其导数的根相同的两多项式 27
3 结式与判别式 27
3.1 结式 27
3.2 判别式 31
3.3 某些结式与判别式的计算 32
4 根的分离 36
4.1 Fourier-Budan定理 36
4.2 Sturm定理 40
4.3 Sylvester定理 41
4.4 复根的分离 43
5 Lagrange级数与多项式的根的估值 46
5.1 Lagrange-布尔曼级数 46
5.2 Lagrange级数与多项式根的估值 48
第一章 习题 49
第二章 不可约多项式 56
6 不可约多项式的基本性质 56
6.1 分解多项式为不可约因式 56
6.2 Eisenstein准则 59
6.3 按模p的不可约性 60
7 不可约性准则 62
7.1 Dumas准则 62
7.2 带控制系数的多项式 66
7.3 取小值的多项式的不可约性 68
8 三项式与四项式的不可约性 70
8.1 多项式xn±xm±xp±1的不可约性 70
8.2 某些三项式的不可约性 74
9 Hilbert不可约性定理 76
10 分解为不可约因式的算法 80
10.1 Berlecamp算法 80
10.2 借助Hensel引理因式化 85
第二章 习题 91
第三章 特殊类型多项式 95
11 对称多项式 95
11.1 对称多项式的例子 95
11.2 关于对称多项式的基本定理 98
11.3 Muirhead不等式 99
11.4 Schur函数 101
12 整值多项式 104
12.1 整值多项式的基 104
12.2 多变量整值多项式 108
12.3 整值多项式的q-模拟 108
13 分圆多项式 110
13.1 分圆多项式的基本特性 110
13.2 M？bius反演公式 110
13.3 分圆多项式的不可约性 112
13.4 φmn用φn的表示式 114
13.5 分圆多项式的判别式 116
13.6 一对分圆多项式的结式 117
13.7 分圆多项式的系数 120
13.8 按模p不可约的多项式 123
14 切比雪夫多项式 126
14.1 定义与基本特性 126
14.2 正交多项式 130
14.3 对切比雪夫多项式的不等式 132
14.4 母函数 134
15 Bernoulli多项式 138
15.1 Bernoulli多项式的定义 138
15.2 取余，自变量相加与乘法定理 140
15.3 Euler公式 142
15.4 Faulhaber-Jacobi定理 143
15.5 Bernoulli数与多项式的算术性质 145
第三章 习题 153
第四章 多项式的某些性质 161
16 带预给值的多项式 161
16.1 Lagrange插值多项式 161
16.2 Hermite插值多项式 164
17 多项式的高与其他范数 166
17.1 Gauss引理 166
17.2 单变量多项式 169
17.3 极大模与Bernstein不等式 172
17.4 多变量多项式 174
17.5 关于一对互素多项式的不等式 178
17.6 米涅奥特不等式 179
18 对多项式的方程 183
18.1 对多项式的Diophantus方程 183
18.2 对多项式的泛函方程 190
19 多项式的变换 196
19.1 齐尔恩高兹变换 196
19.2 五次方程的勃凌格形式 199
19.3 把多项式表示为线性函数之幂的和的形式 200
20 代数数 204
20.1 定义与基本性质 204
20.2 Kronecker定理 206
20.3 Liouville定理 209
第四章 习题 212
附录 214
附录Ⅰ 数论预备知识 214
附录Ⅱ 多项式恒等同余 220
附录Ⅲ 矩阵的直积 224
附录Ⅳ 凸函数 227
附录Ⅴ 有限群 233
文献 238