第1章 函数概念与函数模型方法概述 1
本章概要 1
1.1 微积分的预备知识 1
1.1.1 集合 1
1.1.2 绝对值和邻域 3
1.2 变量之间依存关系的数学模型——函数 3
1.2.1 常量与变量 4
1.2.2 函数的概念 4
1.2.3 函数的四种特性 6
1.2.4 反函数——逆向思维的实例 8
1.3 微积分的主要研究对象——初等函数 9
1.3.1 基本初等函数 9
1.3.2 复合函数 11
1.3.3 初等函数 12
1.4 构建函数模型的步骤和方法的概述 12
1.4.1 数学模型 12
1.4.2 数学模型的构建过程 13
本章小结 13
【习题一】 13
习题参考答案 15
第2章 变量无限变化和连续变化的数学模型——极限·连续 16
本章概要 16
2.1 函数极限的概念 16
2.1.1 x→∞时，函数f（x）的极限 16
2.1.2 x→x0时，函数f（x）的极限 18
【练习2-1】 20
2.2 无穷小与无穷大 20
2.2.1 无穷小 20
2.2.2 无穷小的性质 21
2.2.3 无穷大 21
2.2.4 无穷大与无穷小的关系 22
【练习2-2】 23
2.3 求极限的方法——四则运算法则和两个重要极限公式 23
2.3.1 极限的四则运算法则 23
2.3.2 两个重要极限 25
【练习2-3】 27
2.4 函数的连续性 28
2.4.1 函数的增量 28
2.4.2 函数连续的概念 28
2.4.3 连续的另一个定义 29
2.4.4 初等函数的连续性 30
2.4.5 闭区间上连续函数的性质 31
【练习2-4】 31
2.5 无穷小的比较 31
2.5.1 无穷小的比较 31
2.5.2 常用等价无穷小关系 32
【练习2-5】 34
本章小结 34
学法建议 35
【习题二】 35
习题参考答案 35
第3章 函数的局部变化率和局部改变量的估值问题——导数·微分 37
本章概要 37
3.1 函数的局部变化率——导数 38
3.1.1 两个实例 38
3.1.2 导数的定义 39
3.1.3 曲线在已知点的切线斜率——导数的几何意义 40
3.1.4 函数y=f（x）在区间的导数 40
3.1.5 可导与连续的关系 41
【练习3-1】 42
3.2 求导数的方法——基本求导公式和运算法则 42
3.2.1 导数的基本公式 42
3.2.2 导数的四则运算法则 44
3.2.3 复合函数的导数法则 44
3.2.4 隐函数的求导法 45
【练习3-2】 47
3.3 高阶导数 48
3.3.1 二阶导数 48
3.3.2 n阶导数 48
【练习3-3】 49
3.4 函数局部改变量的估值问题——微分及其应用 50
3.4.1 微分概念 50
3.4.2 如何计算微分 50
3.4.3 微分的应用 51
【练习3-4】 52
本章小结 53
学法建议 54
【习题三】 54
习题参考答案 55
第4章 导数的应用问题——最值问题及函数的性质 57
本章概要 57
4.1 函数的最大值与最小值以及极大值和极小值 57
4.1.1 油井问题的提出 57
4.1.2 最大值和最小值——函数的整体性质 58
4.1.3 闭区间上连续函数的最值定理 58
4.1.4 极大值和极小值——函数的局部性质 60
4.1.5 函数的极值的求法 60
4.1.6 闭区间上连续函数的最大值和最小值 61
4.1.7 油井问题的最优解 62
【练习4-1】 63
4.2 函数图形的形状——单调性、凹向与极值判定法 64
4.2.1 函数的单调性 64
4.2.2 函数极值的一阶导数、二阶导数检验法 65
4.2.3 函数图形的凹向与拐点 66
【练习4-2】 68
4.3 曲线的弯曲程度的描述——曲率 68
4.3.1 曲率 68
4.3.2 曲率半径 70
【练习4-3】 71
4.4 洛必达法则 71
【练习4-4】 72
本章小结 73
学法建议 74
【习题四】 74
习题参考答案 74
第5章 微分的逆运算问题——不定积分 76
本章概要 76
5.1 不定积分及其性质 76
5.1.1 逆向思维又一例——原函数与不定积分的概念 76
5.1.2 不定积分的几何意义 77
5.1.3 不定积分的基本性质 78
5.1.4 如何计算不定积分之一——直接积分法 78
【练习5-1】 80
5.2 如何计算不定积分之二——换元积分法 80
5.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 80
5.2.2 第二换元积分法 83
【练习5-2】 84
5.3 如何计算不定积分之三——分部积分法 84
【练习5-3】 87
本章小结 88
学法建议 89
【习题五】 89
习题参考答案 90
第6章 求总量的问题——定积分及其应用 92
本章概要 92
6.1 定积分的概念 92
6.1.1 定积分的定义 92
6.1.2 定积分的几何意义 93
6.1.3 定积分的性质 93
6.1.4 怎样求定积分？f(x)dx的值 94
【练习6-1】 94
6.2 计算定积分的一般方法——换元积分法和分部积分法 95
6.2.1 定积分的换元积分法 95
6.2.2 定积分的分部积分法 96
【练习6-2】 97
6.3 定积分概念的拓展——无穷区间上的广义积分 97
【练习6-3】 98
6.4 再谈定积分的概念 99
6.4.1 引例 99
6.4.2 定积分的概念 100
【练习6-4】 100
6.5 定积分的魅力展现——在若干问题的应用 101
6.5.1 定积分的微元法 101
6.5.2 平面图形的面积 101
6.5.3 体积问题 103
6.5.4 求平面曲线曲线的弧长的方法 104
6.5.5 求变力做功的方法 106
6.5.6 求液体对侧面的压力的方法 106
【练习6-5】 107
本章小结 107
学法建议 108
【习题六】 109
习题参考答案 109
第7章 含变化率的方程问题——常微分方程 111
本章概要 111
7.1 微分方程的初步认识——基本概念 111
7.1.1 微分方程的定义 111
7.1.2 微分方程的解与通解 112
7.1.3 初始条件与特解 112
7.2 一阶微分方程 113
7.2.1 可分离变量的微分方程 113
7.2.2 一阶线性微分方程 114
7.3 二阶常系数线性微分方程 116
7.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程 116
7.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 118
7.4 用微分方程解决实际问题的方法 120
本章小结 121
学法建议 121
【习题七】 122
习题参考答案 122
第8章 用Mathematica数学软件来认识一元函数微积分 123
8.1 Mathematica的启动和运行 123
8.2 数学表达式的输入 124
8.2.1 数学表达式的输入 125
8.2.2 特殊字符的输入 125
8.3 函数与作图 125
8.3.1 系统函数 125
8.3.2 基本的二维图形 126
8.3.3 数据集合的图形 128
8.4 求解一元函数微积分 131
8.4.1 求极限 131
8.4.2 求导数 132
8.4.3 计算积分 134
8.5 求解常微分方程 137
附录 初等数学常用公式 139
参考文献 143