1 阿凡提巧拆金环与完备分拆 1
1.1 阿凡提的故事 1
1.2 并非用在打赌上 2
1.3 一一对应找出完备分拆 3
1.4 数学比阿凡提更聪明 5
1.5 递归——用计算机求出完备分拆个数 7
1.6 反演——直接求出Pe（n）的显式 9
2 栏栅前面的思考——不含定距元素的组合问题 12
2.1 改造猴子笼 12
2.2 把猩猩关进去 16
2.3 毕其功于一役 18
3 别瞧不起它，那个中学教材中的公式 22
3.1 一个貌不惊人的公式 22
3.2 Be careful！欧拉也曾出错 23
3.3 “换一个活法”，如何？ 24
3.4 再走一步，便能小试牛刀 26
3.5 把那一类递归式一揽子解出来 31
3.6 大数学家做出的结果，我们也来试试 34
4 拾级而上 浮想联翩 38
4.1 上楼梯引发的联想 38
4.2 来一个“倒行逆施” 40
4.3 得寸进尺 42
5 你会画图吗 46
5.1 龟背的困惑 47
5.2 有列可图 50
5.3 又回到数 56
6 从傅里叶的十七线问题谈起 60
6.1 傅里叶提出的问题 60
6.2 更一般的问题 60
6.3 三角形的个数问题 64
7 一树春风千万枝——从树到超树 74
7.1 满目青葱皆是树 74
7.2 凯莱算出了树，数学家们并未罢手 77
7.3 一种“胖”起来的树——超树 82
7.4 超树的计数——凯莱公式的拓广 85
8 把“水”搅混和正本清源——密码的计数 90
8.1 编码，把“水”搅混 90
8.2 分组，一个“平凡”的问题 92
8.3 动真格，搬出英文词典 97
8.4 更精确，借助相伴码 99
9 从祖暅原理谈起 105
9.1 避开无限性——祖暅原理 105
9.2 减少一维——祖暅面积原理 107
9.3 往下再走一步——天下大乱 108
9.4 无限多段长为零的线合起来有多长 109
9.5 换一把尺子——突破有限的束缚 111
9.6 柳暗花明又一村——从测度到积分 115
10 从“万金油”到计算机——组合恒等式的机器证明 116
10.1 举例能代替证明吗 116
10.2 先试用“万金油” 118
10.3 计算机，还是要用计算机 121
11 数学中怎样“克隆”绵羊——图形实现理论漫议 128
11.1 “克隆”一个三角形 128
11.2 欧拉的发现 131
11.3 一笔无须准备的奖金 133
11.4 这不仅仅是一个游戏 138
11.5 立交桥的启发 141
11.6 果园中的思索 145
11.7 数学家也来种树 149
11.8 有限个点的几何 154
12 寻寻幂幂——非负矩阵幂序列初探 158
12.1 把图存到计算机中 158
12.2 “前度刘郎今又来” 161
12.3 与狼共舞 164
12.4 老调新曲 167
12.5 排名须分先后 171
13 不仅仅是游戏——非记忆通信系统的信息传播 175
13.1 改革“击鼓传花”游戏 175
13.2 原来是一个通信系统 176
13.3 矩阵的“点指数” 179
13.4 任意的本原MCS网络 180
13.5 故事还可以继续 182
14 迭代——绞肉机引发的话题 184
14.1 函数迭代——想起了“绞肉机” 184
14.2 几何迭代——描出了“雪绒花” 187
14.3 n次迭代——水手与猴子的故事 189
14.4 混沌不是混乱——从3到无穷大 194
14.5 Li-Yorke定理的证明——用数学说话 196
14.6 沙可夫斯基定理——“漏网之鱼” 200
15 棘手，但很迷人——从有序树的计数看数学模型 203
15.1 问题的提出——从俄罗斯方块到有序树 203
15.2 组合模型——枯燥的排队激发鲜活的灵感 206
15.3 代数模型——此时无声胜有声 208
15.4 几何模型——“猪八戒照镜子” 211
15.5 生成函数——又回到代数 215
参考文献 218