第一章 典型方程与方程的分类 1
1.1 典型方程 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 典型方程的导出 1
1.2 定解条件与定解问题 8
1.2.1 定解条件（Ⅰ）——初始条件（Initial Conditions） 8
1.2.2 定解条件（Ⅱ）——边界条件（Boundary Conditions） 8
1.3 基本概念与定解问题 10
1.3.1 基本概念 10
1.3.2 定解问题及其适定性 11
1.4 经典线性偏微分方程 13
1.5 经典非线性偏微分方程 15
1.6 两个自变量的二阶线性偏微分方程 16
1.6.1 一阶线性偏微分方程的解法 16
1.6.2 二阶线性偏微分方程的解法 17
1.6.3 标准形式 19
习题一 22
第二章 线性偏微分方程的解法 25
2.1 一阶线性偏微分方程的解法 25
2.1.1 一阶线性方程的求解 25
2.2 二阶线性偏微分方程的通解 27
2.3 常系数方程通解的行波解 28
2.4 常系数方程通解的微分算子法 30
2.4.1 微分算子法 30
2.4.2 简化的微分算子符号法 30
2.5 关于弦的自由横振动方程解的物理意义 32
2.6 微分算子法和一阶线性方程其它解法（选学） 33
2.6.1 微分算子法 33
2.6.2 一阶线性偏微分方程解及其解法 35
习题二 37
第三章 行波法与微分算子法 38
3.1 行波法 38
3.1.1 弦振动方程的达朗贝尔解法 38
3.1.2 达朗贝尔解的物理意义 39
3.1.3 依赖区间、决定区域和影响区域 39
3.1.4 齐次化原理 41
3.2 高维波动方程的初值问题 42
3.2.1 三维波动方程的泊松公式 42
3.2.2 降维法 44
3.3 微分算子法 45
3.3.1 热传导方程柯西问题的解法 45
3.3.2 波动方程柯西问题的解法 48
3.3.3 试探函数法 50
3.4 积分变换 52
3.4.1 积分变换法举例 52
习题三 56
第四章 分离变量法 59
4.1 一阶问题的分离变量法 59
4.2 有界弦的自由振动 59
4.3 有限长杆的热传导问题 64
4.4 二维拉普拉斯方程的边值问题 66
4.4.1 矩形域上拉普拉斯的边值问题 66
4.4.2 圆域上拉普拉斯方程的边值问题 67
4.5 非齐次方程的求解问题 70
4.5.1 有界弦的强迫振动问题 70
4.5.2 有限长杆的热传导问题（有热源） 72
4.5.3 泊松方程 74
4.6 具有非齐次边界条件的问题 76
4.7 固有值与固有函数 80
4.8 初、边值问题的微分算子法 81
习题四 85
第五章 贝塞尔函数及应用 89
5.1 贝塞尔方程的导出 89
5.2 贝塞尔函数 90
5.3 贝塞尔函数的性质 94
5.3.1 母函数和积分表示 95
5.3.2 微分关系和递推公式 95
5.3.3 半阶函数 98
5.3.4 渐近公式 99
5.3.5 贝塞尔函数的零点和衰减振荡性 99
5.4 贝塞尔方程的固有值问题 100
习题五 103
第六章 勒让德多项式 106
6.1 勒让德方程的导出 106
6.2 勒让德方程的解 107
6.2.1 勒让德多项式 107
6.2.2 第二类勒让德多项式 108
6.3 勒让德多项式的性质及母函数 109
6.3.1 积分表示 109
6.3.2 母函数 110
6.3.3 递推公式 110
6.4 勒让德多项式及勒让德级数解 112
习题六 116
第七章 能量积分法与变分方法 118
7.1 一维波动方程初值问题的能量不等式 118
7.2 初值问题解的唯一性与稳定性 122
7.3 初边值问题的能量不等式 123
7.4 变分方法的物理背景 125
7.5 变分问题的可解性 126
7.6 吕兹-伽辽金方法 128
习题七 131
第八章 非线性数学物理方程 133
8.1 典型非线性方程及其行波解 133
8.1.1 Burgers方程及冲击波 133
8.1.2 KdV方程及孤立波 135
8.1.3 非线性Klein-Gordon方程 137
8.1.4 非线性Schrodinger方程 143
8.2 Hopf-Cole变换和Hirota方法 146
8.2.1 Burgers方程的Hopf-Cole变换 146
8.2.2 KdV方程的广义Hopf-Cole变换 148
8.2.3 KdV-Burgers方程的广义Hopf-Cole变换 151
8.2.4 Hirota方法 152
习题八 155
第九章 格林函数法 157
9.1 格林公式 157
9.2 拉普拉斯方程基本解和格林函数 159
9.2.1 基本解 159
9.2.2 格林函数 160
9.3 半空间及圆域上的狄利克雷问题 161
9.3.1 半空间上狄利克雷问题 161
9.3.2 圆域上狄利克雷问题 162
9.4 一维热传导方程和波动方程半无界问题 163
9.4.1 一维热传导方程半无界问题 163
9.4.2 一维波动方程半无界问题 164
9.5 试探函数法 165
习题九 167
附录Ⅰ 线性常微分方程解法索引（十三法） 170
附录Ⅱ 特殊函数的图像 176
附录Ⅲ 数学物理方程的计算机仿真 188
附录Ⅳ 习题参考答案 209