第7章 无穷级数 1
7.1 数项级数 1
7.1.1 无穷级数及其收敛性 1
7.1.2 收敛级数的性质 3
7.1.3 正项级数 4
7.1.4 交错级数 10
7.1.5 绝对收敛与条件收敛 11
7.1.6 一般项级数 14
习题7.1 16
7.2 幂级数和Taylor展式 18
7.2.1 函数列和函数项级数的收敛性 18
7.2.2 幂级数的收敛半径 19
7.2.3 幂级数的性质 22
7.2.4 函数的Taylor展开式 26
7.2.5 某些初等函数的Taylor展开式 28
习题7.2 32
7.3 函数列和函数项级数 33
7.3.1 函数列和函数项级数的一致收敛性 34
7.3.2 一致收敛的函数列和一致收敛级数的性质 37
习题7.3 39
7.4 级数应用举例 41
7.4.1 微分方程的幂级数解 41
7.4.2 Stirling公式 44
习题7.4 47
第8章 多元函数的微分学 48
8.1 平面点集及R2的完备性 48
8.1.1 平面点集的一些基本概念 48
8.1.2 开集与闭集 50
8.1.3 连通集 50
8.1.4 R2的完备性 51
习题8.1 52
8.2 映射及其连续性 53
8.2.1 映射、多元函数、向量值函数的概念 53
8.2.2 多元函数的极限 54
8.2.3 多元函数的连续性 55
8.2.4 向量值函数的极限和连续性 56
习题8.2 57
8.3 多元函数的全微分和偏导数 58
8.3.1 多元函数的全微分 58
8.3.2 多元函数的偏导数 59
8.3.3 高阶偏导数 62
习题8.3 64
8.4 复合函数的微分法 65
8.4.1 复合函数求导的链式法则 65
8.4.2 Jacobi矩阵 69
8.4.3 方向导数、梯度 70
8.4.4 一阶全微分的形式不变性 72
习题8.4 73
8.5 隐函数的微分法 75
8.5.1 多元方程所确定的隐函数的存在定理 75
8.5.2 由方程组所确定的隐函数组 78
习题8.5 81
8.6 向量值函数的微分法及几何应用 83
8.6.1 向量值函数的微分法 83
8.6.2 空间曲线的切线与法平面 84
8.6.3 空间曲面的切平面与法线 87
习题8.6 91
8.7 多元函数的Taylor公式与极值 92
8.7.1 二元函数的Taylor公式 92
8.7.2 多元函数的极值 94
8.7.3 条件极值 96
习题8.7 104
第9章 重积分 106
9.1 二重积分 106
9.1.1 二重积分的概念 106
9.1.2 平面图形的面积 107
9.1.3 可积函数类与二重积分的性质 107
9.1.4 二重积分的累次积分法 109
习题9.1 115
9.2 二重积分的变量代换 117
9.2.1 曲线坐标和面积元素 117
9.2.2 二重积分的变量代换 118
9.2.3 例题 120
9.2.4 广义二重积分 124
习题9.2 126
9.3 三重积分 127
9.3.1 三重积分的概念 127
9.3.2 三重积分的累次积分法 128
9.3.3 三重积分的变量代换 133
习题9.3 136
9.4 重积分应用举例 138
9.4.1 重心与转动惯量 138
9.4.2 物体的引力 141
习题9.4 143
第10章 曲线积分和曲面积分 145
10.1 第一型曲线积分 145
10.1.1 空间曲线的弧长 145
10.1.2 第一型曲线积分 148
习题10.1 151
10.2 第一型曲面积分 152
10.2.1 曲面的面积 152
10.2.2 第一型曲面积分 155
习题10.2 158
10.3 第二型曲线积分 159
10.3.1 定向曲线 159
10.3.2 第二型曲线积分的定义 159
10.3.3 第二型曲线积分的计算与性质 160
10.3.4 Green定理 163
习题10.3 165
10.4 第二型曲面积分 167
10.4.1 双侧曲面及其定向 167
10.4.2 第二型曲面积分的定义 168
10.4.3 第二型曲面积分的计算 169
10.4.4 第二型曲面积分的性质 170
10.4.5 有向面积元素 170
10.4.6 例题 171
习题10.4 174
10.5 Gauss定理和Stokes定理 175
10.5.1 向量场的散度 175
10.5.2 Gauss定理 176
10.5.3 Stokes定理 179
10.5.4 旋度 181
习题10.5 183
10.6 保守场 186
10.6.1 恰当微分形式和有势场 186
10.6.2 全微分的积分 186
10.6.3 保守场 187
10.6.4 无旋场 188
10.6.5 全微分方程 190
习题10.6 192
10.7 Hamilton算符 194
习题10.7 197
第11章 广义积分和含参变量的积分 198
11.1 广义积分 198
11.1.1 无穷积分的收敛性 198
11.1.2 收敛的精细判别法 201
11.1.3 无界函数积分的收敛判别法 203
习题11.1 205
11.2 含参变量的常义积分 206
11.2.1 含参变量的常义积分的性质 206
11.2.2 积分限依赖于参变量的积分的性质 209
习题11.2 211
11.3 含参变量的广义积分 212
11.3.1 含参变量的广义积分的一致收敛性 212
11.3.2 一致收敛积分的性质 215
11.3.3 几个重要的积分 219
习题11.3 223
11.4 Euler积分 225
11.4.1 Г函数的性质 225
11.4.2 B函数的性质 227
习题11.4 231
第12章 Fourier分析 232
12.1 周期函数的Fourier级数 232
12.1.1 三角函数系的正交性和Fourier级数 232
12.1.2 偶函数与奇函数的Fourier级数 236
12.1.3 任意周期的情形 238
12.1.4 有限区间上的函数的Fourier级数 241
12.1.5 Bessel不等式 245
12.1.6 Fourier级数的复数形式 248
习题12.1 250
12.2 Fourier积分与Fourier变换 252
12.2.1 Fourier积分 252
12.2.2 Fourier变换 254
12.2.3 Fourier变换的性质 257
习题12.2 259
12.3 广义Fourier级数与Bessel不等式 259
12.3.1 广义Fourier级数 259
12.3.2 Bessel不等式和正交函数系的完备性 261
习题12.3 263
附录Ⅰ 部分习题参考答案及提示 265
附录Ⅱ 参考教学进度 283