第一章 无理数的发现 1
一、毕达哥拉斯及其学派 1
二、希帕索斯发现无理数 2
三、无理数的证明 5
第二章 数学符号的创立 7
一、数学符号系统的引入 8
二、初等数学符号系统 8
三、微积分符号系统 11
第三章 微积分计算的创立 13
一、阿基米德的主要贡献 13
二、阿基米德的几个故事 14
三、微积分著作《抛物弓形求积》 18
第四章 函数概念与函数思想 22
一、函数概念的产生与发展 22
二、函数思想及其在微积分中的应用 27
第五章 基本初等函数 30
一、基本初等函数的特征性质 30
二、对数函数的发明 31
三、几个指数函数的威力故事 33
第六章 微积分中的分段函数 38
一、符号函数的定义与特征 38
二、狄利克雷与狄利克雷函数 39
三、黎曼与黎曼函数 41
四、高斯与取整函数 43
第七章 极限概念与极限思想 50
一、极限概念发展的几个历史阶段 50
二、极限思想及其在微积分中的应用 52
第八章 微积分中的重要概念 55
一、连续 55
二、导数与微分 57
三、积分 67
第九章 微积分中的重要常数π 76
一、圆周率的名称 77
二、圆周率的符号与性质 78
三、圆周率的计算 80
四、蒲丰投针求π 82
五、圆周率的记忆 83
第十章 微积分中的重要常数e 84
一、数列｛(1+1/n)n｝收敛性的证法 84
二、e的发明及其思考 88
三、π和e的联系 94
四、π和e的“无理性”与“超越性” 95
五、e与微积分公式 97
第十一章 调和级数 99
一、调和级数的定义 99
二、莱布尼兹的贡献 100
三、伯努利兄弟与调和级数 101
四、伟大的定理——调和级数的发散性 104
五、调和级数发散性的另外两种早期证明 107
六、伯努利兄弟的遗憾 110
七、调和级数的前n项和 112
八、调和级数发散性的几种证明方法 113
第十二章 欧拉与级数求和 124
一、数学英雄——欧拉 124
二、欧拉与哥尼斯堡七桥问题 128
三、欧拉公式 130
四、欧拉在级数求和方面的独特贡献 133
第十三章 微积分中的特殊积分 145
一、狄里克雷积分 145
二、概率积分 146
三、欧拉积分 148
四、椭圆积分 151
五、可利用其他技巧计算的特殊积分 153
参考文献 157