第1章 微分流形 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 流形的概念 1
1.1.2 物理背景的流形 4
1.1.3 坐标系与微分结构 5
1.1.4 切空间与切映射 8
1.1.5 流形的定向 10
1.1.6 数学中的一些重要流形 12
1.2 流形的嵌入 26
1.2.1 反函数与隐函数定理 26
1.2.2 子流形的浸入与嵌入 29
1.2.3 到RN中的嵌入 31
1.2.4 Whitney嵌入定理 35
1.3 Frobenius定理 37
1.3.1 流形上的向量场与流 37
1.3.2 向量场的Poisson括号积 38
1.3.3 Frobenius定理 40
1.3.4 两种等价的定理形式 43
1.4 正则值与横截性 46
1.4.1 Sard定理 46
1.4.2 横截性 51
1.4.3 Thom横截性定理 52
1.5 向量丛与管形邻域 54
1.5.1 向量丛 54
1.5.2 平凡丛的判别 56
1.5.3 向量丛的运算 58
1.5.4 万有向量丛 61
1.5.5 管形邻域定理 64
1.6 纤维丛 66
1.6.1 纤维丛的概念 66
1.6.2 球面的Hopf纤维化 69
1.6.3 主丛与万有丛 74
第2章 同调理论 79
2.1 同调群 80
2.1.1 同调群的实质 80
2.1.2 可剖分空间的单纯复形 87
2.1.3 单纯同调群 89
2.1.4 单纯同调群的拓扑不变性 93
2.1.5 Euler示性数及Euler-Poincaré公式 98
2.1.6 奇异同调群 99
2.1.7 单纯同调群与奇异同调群的同构 105
2.2 流形的共轭结构与同调几何化定理 108
2.2.1 流形的共轭元 108
2.2.2 正则流形 112
2.2.3 共轭元分类与同调类的几何化 116
2.2.4 Künneth公式与Leray-Hirsch定理 121
2.2.5 万有系数定理 126
2.2.6 一些流形的同调群 128
2.3 上同调论 132
2.3.1 上同调的实质 132
2.3.2 上同调群 139
2.3.3 上同调几何化定理的证明 143
2.3.4 同调环的结构 148
2.4 正合同调序列 152
2.4.1 相对同调群与切除定理 152
2.4.2 相关代数理论 156
2.4.3 同调序列 161
2.4.4 Mayer-Vietoris序列 163
2.4.5 正合序列的应用 166
2.5 流形的对称性 175
2.5.1 引言 175
2.5.2 共轭结构的对称性定理 179
2.5.3 Poincaré对偶 182
2.5.4 带边流形的共轭结构及其对称性 183
2.5.5 Lefschetz对偶 187
2.5.6 Alexander对偶定理 188
第3章 谱序列及微分形式 191
3.1 过滤复形的谱序列 191
3.1.1 引言 191
3.1.2 Massey正合偶与谱序列的构造 194
3.1.3 双复形及其谱序列 199
3.2 微分形式与de Rham复形 204
3.2.1 Rn中的微分形式 204
3.2.2 流形上的de Rham复形 207
3.2.3 微分形式的积分 211
3.2.4 Stokes公式 214
3.2.5 Poincaré引理 218
3.2.6 关于de Rham上同调的注记 220
3.3 ？ech-de Rham复形及谱序列的应用 223
3.3.1 背景介绍 223
3.3.2 层的概念 225
3.3.3 ？ech上同调 229
3.3.4 ？ech-de Rham复形 233
3.3.5 de Rham定理 236
3.3.6 de Rham上同调的几何表示 238
3.4 微分形式的Hodge分解定理 244
3.4.1 介绍 244
3.4.2 Hodeg＊算子 246
3.4.3 流形上的张量场 249
3.4.4 Riemann流形 254
3.4.5 Laplace-Beltrami算子 258
3.4.6 Hodge定理 263
第4章 同伦论 269
4.1 同伦群 269
4.1.1 基本概念 269
4.1.2 一些基本性质 272
4.1.3 相对同伦群 274
4.1.4 同伦群的几何表示 275
4.1.5 正合同伦序列 278
4.1.6 直和分解公式 285
4.1.7 一些流形的同伦群 288
4.2 一些重要性质 293
4.2.1 共轭元的球面定理 293
4.2.2 πn（Sn）的计算与Hopf同伦分类 294
4.2.3 Hurewicz定理 298
4.2.4 基本群的性质 301
4.2.5 Whitehead乘积 305
4.2.6 三联组同伦群 308
4.2.7 道路空间ΩX（A，B）上的同伦群 311
4.3 障碍理论 314
4.3.1 映射的延拓问题 314
4.3.2 n单式空间 315
4.3.3 映射的障碍类 317
4.3.4 同伦延拓定理 322
4.3.5 （n-1）连通空间的同伦分类 324
4.4 纤维丛上的谱序列及其应用 326
4.4.1 Leray谱序列定理 326
4.4.2 奇异链的双复形 330
4.4.3 一些应用 332
4.4.4 Gysin序列与王宪钟序列 337
4.4.5 Hurewicz定理谱序列的证明 340
4.5 球面同伦群的计算 342
4.5.1 Eilenberg-MacLane空间 342
4.5.2 Postnicov纤维化序列与π4（S3）的计算 344
4.5.3 Whitehead纤维化与π5（S3）的计算 349
4.5.4 球面同伦群的Serre定理 353
4.5.5 Freudenthal同纬像定理 358
4.5.6 部分πn+k（Sn）的结果 362
第5章 奇点理论与指标公式 365
5.1 不动点及其指数 367
5.1.1 Brouwer不动点定理 367
5.1.2 Lefschetz数 369
5.1.3 映射的Brouwer拓扑度 372
5.1.4 流形上不动点指数 378
5.2 奇点的指标公式 381
5.2.1 Lefschetz不动点指数公式 381
5.2.2 紧流形上向量场的Poincaré-Hopf指标定理 387
5.2.3 向量场边界奇点的指标 389
5.2.4 带边流形的向量场指标公式 391
5.3 不动点类理论 395
5.3.1 一般介绍 395
5.3.2 流形上的不动点类及Nielsen数 397
5.3.3 S1上映射的提升类 400
5.3.4 映射的提升类与Reidemeister数 402
5.3.5 姜伯驹群与Nielsen数的计算公式 409
5.4 Morse理论（Ⅰ） 414
5.4.1 基本概念 414
5.4.2 Morse理论的基本定理 417
5.4.3 流形的CW复形伦型 424
5.4.4 Morse不等式 426
5.4.5 最少临界点数与流形分解 430
5.4.6 h配边定理与n≥5的Poincaré猜想 434
5.5 Morse理论（Ⅱ） 439
5.5.1 能量泛函及其临界点的Morse指标 439
5.5.2 Riemann流形上的测地线 441
5.5.3 能量泛函的二次变分与Jacobi场 445
5.5.4 指标定理 448
5.5.5 ΩM的CW复型结构 452
5.5.6 Bott周期定理 455
第6章 示性类 463
6.1 基本概念与框架 463
6.1.1 向量丛的示性类 463
6.1.2 Grassmann流形与示性类的关系 465
6.1.3 Thom同构定理 470
6.1.4 可定向Rm丛的Euler类 473
6.2 Stiefel-Whitney类 475
6.2.1 实向量丛上Z2系数示性类的构造 475
6.2.2 Stiefel-Whitney数与流形的配边 479
6.2.3 Z2示性类的基本性质 481
6.2.4 流形M×M的对角上同调类 485
6.2.5 切丛上Stiefel-Whitney类的吴文俊公式 489
6.2.6 吴文俊公式的应用 492
6.3 陈省身示性类 494
6.3.1 Chern类的构造 494
6.3.2 Chern数与Euler示性数 497
6.3.3 复Grassmann流形的上同调环 499
6.3.4 一些Chern类的计算 504
6.4 Pontrjagin类 507
6.4.1 Rn丛的实系数示性类 507
6.4.2 Pontjagin数与可定向配边环 512
6.4.3 Thom配边理论 515
6.4.4 Hirzebruch符号定理 519
6.4.5 Hirzebruch-Riemann-Roch定理 526
参考文献 530
《现代数学基础丛书》已出版书目 532