第1章 函数 极限 连续 1
1.1 函数 极坐标 1
1.1.1 常量与变量 1
1.1.2 邻域 2
1.1.3 函数 4
1.1.4 极坐标 11
习题1.1 13
1.2 初等函数 13
1.2.1 反函数与复合函数 13
1.2.2 基本初等函数 16
1.2.3 初等函数 22
1.2.4 函数模型的建立 23
习题1.2 25
1.3 数列的极限 26
1.3.1 数列极限的概念 27
1.3.2 收敛数列的性质 32
习题1.3 35
1.4 函数的极限 35
1.4.1 函数极限的定义 35
1.4.2 函数极限的性质 38
1.4.3 无穷小与无穷大 39
习题1.4 43
1.5 极限运算法则 44
1.5.1 极限四则运算法则 44
1.5.2 复合函数的极限 46
习题1.5 47
1.6 重要极限 无穷小的比较 48
1.6.1 极限存在准则 48
1.6.2 两个重要极限 50
1.6.3 无穷小的比较 54
习题1.6 57
1.7 函数的连续与间断 59
1.7.1 连续函数的概念 59
1.7.2 函数的间断点 62
习题1.7 65
1.8 连续函数的运算与性质 66
1.8.1 连续函数的运算 66
1.8.2 连续函数的性质 68
习题1.8 70
模拟考场一 71
数学家史话 刘徽与祖冲之 72
第2章 导数与微分 75
2.1 导数的概念 75
2.1.1 引例 75
2.1.2 导数的定义 78
2.1.3 导数的意义 82
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 84
习题2.1 87
2.2 函数的求导法则 88
2.2.1 函数和、差、积、商的求导法则 88
2.2.2 反函数的求导法则 91
2.2.3 复合函数的求导法则 93
2.2.4 求导法则与基本导数公式 96
习题2.2 97
2.3 隐函数与参数式函数的导数 98
2.3.1 隐函数的导数 98
2.3.2 参数式函数的导数 102
2.3.3 相关变化率 104
习题2.3 106
2.4 高阶导数 107
2.4.1 f （x）的n阶导数 107
2.4.2 隐函数的二阶导数 111
2.4.3 参数式函数的二阶导数 112
习题2.4 113
2.5 函数的微分 114
2.5.1 微分的定义 114
2.5.2 微分公式与微分运算法则 118
2.5.3 微分形式的不变性 119
2.5.4 微分在近似计算中的应用 121
习题2.5 125
模拟考场二 125
数学家史话 科学巨擘——Newton 127
第3章 微分中值定理与导数的应用 129
3.1 Rolle定理与Lagrange中值定理 129
3.1.1 Rolle定理 129
3.1.2 Lagrange中值定理 131
习题3.1 134
3.2 Cauchy中值定理与Taylor中值定理 135
3.2.1 Cauchy中值定理 135
3.2.2 Taylor中值定理 137
3.2.3 Taylor公式的应用 140
习题3.2 141
3.3 未定式 142
3.3.1 0/0型与∞/∞型未定式 142
3.3.2 其他形式的未定式 145
习题3.3 148
3.4 曲线的升降与凹凸性 149
3.4.1 函数的单调性与曲线的升降 149
3.4.2 曲线的凹凸与拐点 154
习题3.4 157
3.5 函数的极值与最值 158
3.5.1 函数的极值 158
3.5.2 函数极值的判定 159
3.5.3 函数的最值 162
习题3.5 164
3.6 函数图形的描绘 165
3.6.1 曲线的渐近线 165
3.6.2 函数图形的描绘 167
习题3.6 170
3.7 弧微分与曲率 171
3.7.1 弧微分 171
3.7.2 曲率 172
3.7.3 曲率圆与曲率半径 176
习题3.7 177
模拟考场三 177
数学家史话Lagrange和Cauchy 179
第4章 不定积分 181
4.1 不定积分的概念与性质 181
4.1.1 原函数与不定积分的概念 181
4.1.2 不定积分的性质 183
4.1.3 基本积分表 184
4.1.4 直接积分法 186
习题4.1 188
4.2 不定积分的换元法 189
4.2.1 第一类换元法 189
4.2.2 第二类换元法 198
习题4.2 205
4.3 分部积分法 207
习题4.3 213
4.4 有理函数的积分 214
4.4.1 有理函数的积分 214
4.4.2 可化为有理函数的积分 218
习题4.4 221
4.5 不定积分的综合方法 221
习题4.5 228
模拟考场四 229
数学家史话 符号大师——Leibniz 230
第5章 定积分及其应用 232
5.1 定积分的概念与性质 232
5.1.1 典型问题举例 232
5.1.2 定积分的定义 234
5.1.3 定积分的性质 237
习题5.1 239
5.2 微积分基本公式 240
5.2.1 变速直线运动中位移函数与速度函数之间的联系 241
5.2.2 积分上限的函数及其导数 241
5.2.3 Newton-Leibniz公式 242
习题5.2 247
5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 248
5.3.1 定积分的换元积分法 248
5.3.2 定积分的分部积分法 252
习题5.3 255
5.4 广义积分 257
5.4.1 无穷限的广义积分 257
5.4.2 无界函数的广义积分 259
5.4.3 Г函数 261
习题5.4 263
5.5 定积分的近似计算 263
5.5.1 矩形法 264
5.5.2 梯形法 264
5.5.3 抛物线法 264
习题5.5 266
5.6 定积分在几何上的应用 267
5.6.1 元素分析法 267
5.6.2 平面图形的面积 268
5.6.3 体积 272
5.6.4 平面曲线的孤长 277
习题5.6 280
5.7 定积分在其他方面的应用 281
5.7.1 定积分在物理上的应用 281
5.7.2 定积分在轻工业等方面的应用 285
习题5.7 287
模拟考场五 288
数学家史话 数学之神——Archimedes 289
第6章 微分方程 291
6.1 微分方程的基本概念 291
6.1.1 引例 291
6.1.2 微分方程的有关概念 292
习题6.1 295
6.2 可分离变量的微分方程 295
6.2.1 可分离变量的微分方程 296
6.2.2 齐次微分方程 297
6.2.3 可化为齐次微分方程的微分方程 299
习题6.2 301
6.3 一阶线性微分方程 301
6.3.1 一阶线性微分方程 301
6.3.2 Bernoulli方程 304
习题6.3 306
6.4 可降阶的高阶微分方程 306
6.4.1 y（n） = f （x）型的微分方程 307
6.4.2 y″=f（x，y′）型的微分方程 307
6.4.3 y″=f（y，y′）型的微分方程 309
习题6.4 311
6.5 高阶线性微分方程解的性质和结构 311
6.5.1 二阶线性齐次微分方程解的性质和结构 312
6.5.2 二阶线性非齐次微分方程解的性质和结构 313
习题6.5 314
6.6 高阶常系数线性齐次微分方程 315
6.6.1 二阶常系数线性齐次微分方程及其解法 315
6.6.2 n阶常系数线性齐次微分方程及其解法 317
习题6.6 318
6.7 高阶常系数线性非齐次微分方程 319
6.7.1 f（x）=eλxPm（x）型 319
6.7.2 f（x）=eλx[Pl（x）cosωx+ Pn（x）sinωx] 323
习题6.7 327
6.8 Euler方程 327
习题6.8 329
6.9 微分方程在轻工业方面的应用 329
习题6.9 333
模拟考场六 334
数学家史话Euler与Bernoulli family 335
附录1 Matlab实验 338
附录2常用公式 355
附录3二阶和三阶行列式 360
附录4常用曲线 362
习题答案 365