第1章 精确性经典数学的理论基础问题 1
1.1古典集合论的诞生及其思想方法 1
1.2何谓悖论 9
1.3数学危机 15
1.4近代公理集合论对悖论的解决方案 21
第2章 关于模糊数学的理论基础问题 28
2.1模糊性与模糊数学 28
2.2奠基于精确性经典数学之上的模糊数学 32
2.2.1模糊拓扑 35
2.2.2模糊代数 37
2.3 ZB公理集合论系统 38
2.4中介数学系统 48
2.4.1两种谓词的划分与定义 49
2.4.2集合的运算 51
2.4.3谓词与集合 53
2.4.4小集与巨集 56
2.4.5 MS与ZFC之间的关系 58
2.4.6逻辑数学悖论在MS中的解释方法 61
2.5从计算机科学与数学研究的角度看中介系统的发展 63
2.5.1中介系统目前的发展概况 63
2.5.2中介系统的哲学背景 64
2.5.3中介系统的思想原则 65
2.5.4数学研究对象的再扩充 66
2.5.5概括原则的修改问题 68
2.5.6经典数学系统和中介数学系统之间的关系 69
2.5.7中介系统在计算机科学中的应用前景 70
第3章 数学无穷与数学基础 72
3.1无穷观问题的简要历史回顾 72
3.1.1两种无穷观的萌芽 72
3.1.2两种无穷观的确立 72
3.1.3 Zeno悖论与无穷观问题的关系及其引起的思考 73
3.1.4无穷观问题从文艺复兴到微积分时代的演变 74
3.1.5数学基础诸流派在无穷观问题上的争论 74
3.1.6无穷观问题之困惑和迷茫 76
3.2两种无穷观的区别和联系 77
3.2.1何谓实无限与潜无限 77
3.2.2潜无限与实无限之间的对立关系 84
3.2.3第三种无限——基础无限 86
3.3数学系统对两种无穷观的兼容性 89
3.4近现代数学系统中的一对互相矛盾的隐性思想规定 91
3.4.1隐性思想规定之一 91
3.4.2隐性思想规定之二 94
3.4.3两点注记 95
3.5 Cantor-Zermelo意义下的无穷集合概念的自相矛盾性 96
3.5.1简记与注释 96
3.5.2可数无穷集合的不相容性 98
3.5.3 ZFC框架中的不可数无穷集合的不相容性 100
3.5.4若干相关的历史性直觉判断 102
3.6再论古典集合论与近代公理集合论中之无穷集合概念的矛盾性 103
3.6.1弹性集合与Cauchy剧场 103
3.6.2古典集合论与近代公理集合论中的狭义Cauchy剧场现象 105
3.6.3超穷弹性集合与超穷Cauchy剧场 108
3.6.4 ZFC框架下的超穷Cauchy剧场现象 109
3.7 Cantor-Hilbert对角线方法与不可数无穷集合的存在性 110
3.7.1简要回顾 110
3.7.2对角线方法与相异实数有穷差位判别原则 111
3.7.3对角线方法中的“每一”与“所有” 112
3.7.4一点注记 113
3.8分析基础中的无穷观问题 114
3.8.1微积分与极限论的简要历史回顾 114
3.8.2简记与注释 116
3.8.3关于极限表达式的可定义与可实现概念 117
3.8.4分析基础中的新Berkeley悖论 119
3.8.5注记之（一） 121
3.8.6注记之（二） 123
3.9非直接使用poi与aci观念下的自然数系统的不相容性 125
3.9.1注释与简记 125
3.9.2恰由全体自然数构成之集合的不相容性证明 126
3.9.3续论与说明 128
第4章 潜无限数学系统 131
4.1潜无限数学系统（Ⅰ）——预备知识 131
4.1.1预备知识之一——背景世界的划分原则 131
4.1.2预备知识之二——关于构建潜无穷数学系统的几点说明 133
4.2潜无限数学系统（Ⅱ）——逻辑基础之形式系统 134
4.2.1 PIMS命题逻辑的自然推理系统pPIN 134
4.2.2 PIMS谓词逻辑的自然推理系统FPIN 136
4.3潜无限数学系统（Ⅲ）——逻辑基础之元理论 143
4.4潜无限数学系统（Ⅳ）——集合论基础 154
第5章 建立中介实无限数学系统的思考与原则 162
5.1关于近现代数学中谓词与集合之间的无穷观问题的思考 162
5.1.1近现代数学中关于数集与区间内变量趋向极限之表示法的对比分析 162
5.1.2近现代数学中实无限刚性自然数集合与中介过渡 165
5.2实无限刚性集合之内涵与结构 166
5.2.1无穷背景世界中谓词与集合之间的客观真实关系 166
5.2.2建立中介实无限数学系统的重要性与必要性 169
5.2.3基础无限弹性体与实无限刚性集合的结构模式 170
第6章 中介与二值两种逻辑框架的不可缺失性 175
6.1预备知识 175
6.2中介逻辑与数学物理危机 175
6.2.1中介观念与第一次数学危机 176
6.2.2中介观念与物理危机 177
6.2.3中介观念与第二次数学危机 178
6.2.4中介对象与Newton的“O” 180
6.3光物质波粒二象性的逻辑基础 182
6.4 Leibniz割线切线问题在数学无穷之逻辑基础层面上的分析与研究 185
6.4.1变量x无限趋近其极限x0的poi方式与aci方式 185
6.4.2谓词与集合层面上的poi与aci 187
6.4.3关于Leibniz的割线与切线问题 187
6.5 Leibniz割线切线问题在中介逻辑框架下的逻辑数学解释方法 189
6.5.1排中律的命题化分析和谓词层面上的潜无限与实无限 189
6.5.2非此非彼概念在中介逻辑框架下的逻辑表达式 190
6.5.3 Leibniz割线与切线问题在中介逻辑系统中的逻辑数学解释方法 190
6.6关于△y/△x有意义&dy/dx是切线斜率在中介逻辑系统中的数学解读与逻辑分析 193
6.6.1关于6.5.3中⑦与⑧合并后之（*）（△y/△x有意义&dy/dx是切线斜率）的逻辑数学解读 193
6.6.2关于△x的[＞0处理与[=0]处理在CL和ML中的逻辑分析 196
6.7 Zeno第二个悖论在数学无穷之逻辑基础层面上的分析与研究 198
6.7.1关于Zeno第二个悖论的解说 199
6.7.2 Zeno第二个悖论在变量与极限概念中的表述方式 199
6.7.3 Zeno第二个悖论之（△S/△t有意义&A？T）在中介逻辑系统中的逻辑数学解释方法 200
6.7.4解决Zeno第二个悖论的方法在中介逻辑系统中的科普解读方式 202
6.8关于△S/△t有意义&A？T在中介逻辑系统中的逻辑数学解读与逻辑分析 202
6.8.1对（△S/△t有意义&A？T）在中介逻辑系统中进行逻辑数学解读与逻辑分析的必要性 202
6.8.2关于6.7.3中⑦和⑧合并之后的（*）（△S/△t有意义&A？T）的逻辑数学解读 203
6.8.3关于△t的[＞0和[=0]处理在CL和ML中的逻辑分析 205
6.9定积分的定义及其计算曲边梯形面积问题 205
6.10含义概述与简要总结 207
附录 简评与答复“有关无限观的三个问题”中的问题 208
参考文献 227
后记 236