第一章 多元函数及其导数 1
1.1 平面和空间的点和点集 1
a．点的序列：收敛性 1
b．平面上的点集 3
c．集合的边界．闭集与开集 6
d．闭包作为极限点的集合 8
e．空间的点与点集 9
练习1.1 10
问题1.1 11
1.2 几个自变量的函数 11
a．函数及其定义域 11
b．最简单的函数 12
c．函数的几何表示法 13
练习1.2 15
1.3 连续性 17
a．定义 17
b．多元函数的极限概念 19
c．无穷小函数的阶 22
练习1.3 24
问题1.3 27
1.4 函数的偏导数 27
a．定义．几何表示 27
练习1.4a 31
问题1.4a 33
b．例 33
c．偏导数的连续性与存在性 35
练习1.4c 36
d．微分次序的改变 37
练习1.4d 40
问题1.4d 40
1.5 函数的全微分及其几何意义 41
a．可微性的概念 41
练习1.5a 43
问题1.5a 44
b．方向导数 44
练习1.5b 46
c．可微性的几何解释．切平面 47
练习1.5c 49
d．函数的微分 50
练习1.5d 53
e．在误差计算方面的应用 53
练习1.5e 54
1.6 函数的函数（复合函数）与新自变量的引入 55
a．复合函数．链式法则 55
练习1.6a 59
问题1.6a 60
b．例 61
c．自变量的替换 62
练习1.6c 65
问题1.6c 66
1.7 多元函数的中值定理与泰勒定理 66
a．关于用多项式作近似的预备知识 66
练习1.7a 67
b．中值定理 68
练习1.7b 69
问题1.7b 70
c．多个自变量的泰勒定理 70
练习1.7c 72
问题1.7c 73
1.8 依赖于参量的函数的积分 74
a．例和定义 74
b．积分关于参量的连续性和可微性 76
练习1.8b 81
c．积分（次序）的互换．函数的光滑化 82
1.9 微分与线积分 84
a．线性微分型 84
b．线性微分型的线积分 87
练习1.9b 93
c．线积分对端点的相关性 93
1.10 线性微分型的可积性的基本定理 96
a．全微分的积分 96
b．线积分只依赖于端点的必要条件 97
c．可积条件的不足 99
d．单连通集 102
e．基本定理 105
附录 107
A.1 多维空间的聚点原理及其应用 107
a．聚点原理 107
b．柯西收敛准则．紧性 109
c．海涅-波瑞耳覆盖定理 110
d．海涅-波瑞耳定理在开集所包含的闭集上的应用 111
A.2 连续函数的基本性质 113
A.3 点集论的基本概念 114
a．集合与子集合 114
b．集合的并与交 116
c．应用于平面上的点集 119
A.4 齐次函数 120
第二章 向量、矩阵与线性变换 123
2.1 向量的运算 123
a．向量的定义 123
b．向量的几何表示 125
c．向量的长度，方向夹角 127
d．向量的数量积 131
e．超平面方程的向量形式 133
f．向量的线性相关与线性方程组 136
练习2.1 141
2.2 矩阵与线性变换 143
a．基的变换，线性空间 143
b．矩阵 146
c．矩阵的运算 150
d．方阵．逆阵．正交阵 152
练习2.2 157
2.3 行列式 159
a．二阶与三阶行列式 159
b．向量的线性型与多线性型 162
c．多线性交替型．行列式的定义 166
d．行列式的主要性质 169
e．行列式对线性方程组的应用 173
练习2.3 175
2.4 行列式的几何解释 178
a．向量积与三维空间中平行六面体的体积 178
b．行列式关于一列的展开式．高维向量积 186
c．高维空间中的平行四边形的面积与平行多面体的体积 188
d．n维空间中平行多面体的定向 193
e．平面与超平面的定向 197
f．线性变换下平行多面体体积的改变 199
练习2.4 200
2.5 分析中的向量概念 202
a．向量场 202
b．数量场的梯度 203
c．向量场的散度和旋度 206
d．向量族．在空间曲线论和质点运动中的应用 209
练习2.5 212
第三章 微分学的发展和应用 217
3.1 隐函数 217
a．一般说明 217
练习3.1a 218
b．几何解释 218
练习3.1b 220
c．隐函数定理 220
练习3.1c 224
d．隐函数定理的证明 224
练习3.1d 227
e．多于两个自变量的隐函数定理 228
练习3.1e 229
3.2 用隐函数形式表出的曲线与曲面 230
a．用隐函数形式表出的平面曲线 230
练习3.2a 234
b．曲线的奇点 235
练习3.2b 237
c．曲面的隐函数表示法 238
练习3.2c 240
3.3 函数组、变换与映射 241
a．一般说明 241
练习3.3a 246
b．曲线坐标 246
练习3.3b 249
c．推广到多于两个变量的情形 249
练习3.3c 252
d．反函数的微商公式 252
练习3.3d 255
e．映射的符号乘积 258
练习3.3e 261
f．关于变换及隐函数组的逆的一般定理．分解成素映射 262
练习3.3f 267
g．用逐次逼近法迭代构造逆映射 267
练习33g 273
h．函数的相依性 273
练习3.3h 275
i．结束语 275
练习3.3i 277
3.4 应用 278
a．曲面理论的要素 278
练习3.4a 287
b．一般保角变换 288
练习3.4b 290
3.5 曲线族，曲面族，以及它们的包络 291
a．一般说明 291
练习3.5a 292
b．单参量曲线的包络 293
练习3.5b 296
c．例 296
练习3.5c 302
d．曲面族的包络 304
练习 3.5d 306
3.6 交错微分型 308
a．交错微分型的定义 308
练习3.6a 310
b．微分型的和与积 311
练习3.6b 312
c．微分型的外微商 313
练习3.6c 316
d．任意坐标系中的外微分型 317
练习3.6d 326
3.7 最大与最小 326
a．必要条件（326）b．例 329
练习3.7b 331
c．带有附加条件的最大与最小 332
练习3.7c 336
d．最简单情形下不定乘数法的证明 336
练习3.7d 338
e．不定乘数法的推广 339
练习3.7e 342
f．例 343
练习3.7f 346
附录 348
A.1 极值的充分条件 348
练习A.1 353
A.2 临界点的个数与向量场的指数 355
练习A.2 362
A.3 平面曲线的奇点 362
练习A.3 365
A.4 曲面的奇点 365
练习A.4 365
A.5 流体运动的欧拉表示法与拉格朗日表示法之间的联系 366
练习 A.5 367
A.6 闭曲线的切线表示法与周长不等式 367
练习A.6 369
解答 370