第11章 反常积分 1
11.1 反常积分的概念 1
11.1.1 无穷限积分 1
11.1.2 瑕积分 3
习题11.1 4
11.2 无穷限积分的性质与收敛判别 4
11.2.1 无穷限积分的性质 4
11.2.2 比较判别法 5
11.2.3 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 7
习题11.2 9
11.3 瑕积分的性质与收敛判别 10
11.3.1 瑕积分的性质 10
11.3.2 比较判别法 11
习题11.3 13
总练习题11 13
第12章 数项级数 15
12.1 级数的收敛性 15
12.1.1 级数的基本概念 15
12.1.2 级数的柯西收敛准则 16
12.1.3 收敛级数的性质 17
习题12.1 18
12.2 正项级数 19
12.2.1 正项级数与比较判别法 19
12.2.2 比式判别法与根式判别法 21
12.2.3 积分判别法 23
12.2.4 拉贝判别法与高斯判别法 24
习题12.2 26
12.3 一般项级数 28
12.3.1 交错级数 28
12.3.2 绝对收敛与条件收敛 29
12.3.3 绝对收敛与条件收敛的性质 30
12.3.4 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 32
习题12.3 34
总练习题12 35
第13章 函数列与函数项级数 37
13.1 函数列的一致收敛性 37
13.1.1 函数列及其一致收敛性的概念 37
13.1.2 函数列一致收敛性的等价条件 39
习题13.1 40
13.2 函数项级数的一致收敛性 41
13.2.1 函数项级数及其一致收敛性的概念 41
13.2.2 函数项级数一致收敛性的判别法 43
习题13.2 45
13.3 函数列与函数项级数的分析性质 47
13.3.1 连续性 47
13.3.2 可积性 48
13.3.3 可微性 49
习题13.3 51
13.4 幂级数 52
13.4.1 幂级数的基本概念 52
13.4.2 幂级数的性质 54
习题13.4 57
13.5 函数的幂级数展开 58
13.5.1 泰勒级数 58
13.5.2 初等函数的幂级数展开 60
习题13.5 63
总练习题13 64
第14章 傅里叶级数 67
14.1 傅里叶级数 67
14.1.1 傅里叶级数的定义 67
14.1.2 傅里叶级数收敛定理 69
14.1.3 以2π为周期的傅里叶级数展开 70
习题14.1 72
14.2 以2l为周期的函数的展开 73
14.2.1 以2l为周期的函数的傅里叶级数 73
14.2.2 偶函数与奇函数的傅里叶级数 74
习题14.2 77
14.3 收敛定理的证明 77
14.3.1 贝塞尔不等式 77
14.3.2 收敛性定理的证明 79
习题14.3 81
总练习题14 81
第15章 多元函数的极限与连续 83
15.1 平面点集与多元函数 83
15.1.1 n维空间 83
15.1.2 平面点集 83
15.1.3 多元函数 85
15.1.4 二元函数的图像 86
习题15.1 89
15.2 二元函数的极限 90
15.2.1 R2上的完备性定理 90
15.2.2 二元函数的极限 91
15.2.3 收敛的条件 92
15.2.4 累次极限 93
15.2.5 非正常极限 95
习题15.2 95
15.3 二元函数的连续性 96
15.3.1 连续的定义 96
15.3.2 点连续的性质 98
15.3.3 闭区域上连续函数的性质 99
15.3.4 一致连续性 100
习题15.3 101
总练习题15 101
第16章 多元函数微分学 103
16.1 偏导数与全微分 103
16.1.1 偏导数 103
16.1.2 全微分 104
16.1.3 可微的条件 104
16.1.4 可微的几何解释 106
16.1.5 近似计算 106
习题16.1 107
16.2 复合函数微分法 109
16.2.1 多元复合函数的结构 109
16.2.2 复合函数的求导法则 109
16.2.3 复合函数的全微分 111
16.2.4 方向导数 112
16.2.5 梯度 114
习题16.2 114
16.3 泰勒公式与极值 116
16.3.1 高阶偏导数 116
16.3.2 复合函数的高阶偏导数 119
16.3.3 二元函数的中值公式与泰勒公式 120
16.3.4 二元函数的极值 121
习题16.3 123
总练习题16 125
第17章 隐函数定理及其应用 127
17.1 隐函数 127
17.1.1 隐函数的概念 127
17.1.2 隐函数求导举例 129
习题17.1 131
17.2 隐函数组 132
17.2.1 隐函数组的概念 132
17.2.2 隐函数组存在定理 133
17.2.3 反函数组与坐标变换 135
习题17.2 136
17.3 几何应用 138
17.3.1 曲线的切线与法平面 138
17.3.2 曲面的切平面与法线 140
习题17.3 141
17.4 条件极值 142
习题17.4 146
总练习题17 146
第18章 含参变量积分 149
18.1 含参变量的正常积分 149
18.1.1 概念 149
18.1.2 分析性质 149
18.1.3 实例 152
习题18.1 153
18.2 含参变量的广义积分 154
18.2.1 一致收敛性及其判别法 154
18.2.2 含参变量无穷限积分的性质 158
18.2.3 拓广 160
习题18.2 161
18.3 欧拉积分 162
18.3.1 Γ函数 162
18.3.2 B函数 165
18.3.3 Γ函数与B函数的关系 166
习题18.3 166
总练习题18 167
第19章 重积分 169
19.1 二重积分的概念 169
19.1.1 引入与定义 169
19.1.2 可积的条件 170
19.1.3 二重积分的性质 172
习题19.1 173
19.2 直角坐标系下二重积分的计算 174
19.2.1 基本计算公式 174
19.2.2 平面区域的构型与二重积分的计算 176
习题19.2 178
19.3 二重积分的变量替换 179
19.3.1 二重积分的替换公式 180
19.3.2 用极坐标计算二重积分 182
习题19.3 186
19.4 三重积分 187
19.4.1 三重积分的概念 187
19.4.2 三重积分的计算 188
习题19.4 193
19.5 三重积分的变量替换 194
19.5.1 柱面坐标变换 194
19.5.2 球面坐标变换 196
习题19.5 198
19.6 曲面的面积 199
19.6.1 曲面的面积的定义 199
19.6.2 曲面面积的计算 199
习题19.6 202
19.7 三重积分在物理上的应用 203
19.7.1 质心 203
19.7.2 转动惯量 204
19.7.3 引力 205
习题19.7 206
总练习题19 207
第20章 曲线积分与曲面积分 210
20.1 第一型曲线积分 210
20.1.1 基本概念 210
20.1.2 计算 211
20.1.3 例题 213
习题20.1 214
20.2 第二型曲线积分 216
20.2.1 基本概念 216
20.2.2 计算 217
20.2.3 推广 220
20.2.4 两类曲线积分的联系 221
习题20.2 222
20.3 格林公式及其应用 223
20.3.1 区域连通性的分类 223
20.3.2 格林公式 223
20.3.3 应用 225
习题20.3 228
20.4 曲线积分与路径的无关性 228
20.4.1 与路径无关的定义与条件 228
20.4.2 应用 230
20.4.3 求原函数 231
习题20.4 232
20.5 第一型曲面积分 233
20.5.1 概念 233
20.5.2 计算 234
习题20.5 237
20.6 第二型曲面积分 238
20.6.1 曲面的侧 238
20.6.2 有向曲面上的正侧面积微元向量 239
20.6.3 第二型曲面积分的概念 239
20.6.4 第二型曲面积分的计算 241
20.6.5 两类曲面积分的联系 244
习题20.6 246
20.7 奥高公式与斯托克斯公式 246
20.7.1 奥高公式 246
20.7.2 简单的应用 247
20.7.3 斯托克斯公式 249
20.7.4 应用 250
20.7.5 曲线积分与路径无关的条件 252
习题20.7 253
20.8 场论初步 254
20.8.1 场的概念 254
20.8.2 数量场的方向导数与梯度 255
20.8.3 向量场的流量与散度 256
20.8.4 向量场的环流量与旋度 257
总练习题20 258
参考书目 261