第一章 绪论 1
第一节 数学的认识论与数学思维 1
一、从“数学是工具”谈起 1
二、谈谈东方人的思维特征 2
三、谈谈哲学及其认识论的深化进程 3
四、数理思维与合情推理 6
第二节 谈谈学习心理学 7
一、关于认识过程的一点认识 7
二、对学习的一点再认识 9
三、关于学习的年龄特征 10
第二章 数学一瞥 12
第一节 数学史一瞥 12
一、数学的基本生发图 12
二、数学中心的迁移史 13
三、数学史的几个重要阶段 13
1．公元前6～公元前3世纪 13
2．公元17世纪：产生了高等数学 14
3．公元19世纪：产生了纯数学 15
4．公元20世纪：纯数学的继续发展和应用数学的崛起 17
5．应用数学与纯数学的关系史 19
四、数学史鸟瞰 20
五、数学从“数”到“学”的升华 22
第二节 应用数学全空间认识 23
一、模型化——数学的近似性 23
1．两种模型化方式 24
2．数学模型的近似原理 25
3．分形理论欣赏 25
二、精确性——数学的内部过程 27
三、广义性——数学回到客观世界 28
四、附：应用数学中的“流弊”辨析 29
第三节 公理化一瞥 30
一、古典公理化思想的产生 31
1．从一个故事谈起 31
2．第一次数学危机的教训 31
3．数学需要公理化 31
4．公理化几何的诞生 32
二、现代公理系统思想的产生 32
三、公理化、公理系统与形式化、形式系统的关系 33
四、公理化思想（广义公理化） 35
1．“定义”中的公理化方法 35
2．数学理论中的定理、命题叙述都具有公理化形式 36
3．一般的数学模型叙述都是公理化形式（例） 36
4．一切数学学科都是公理化的 38
五、公理化赞（代小结） 39
第三章 数学中的几个基本特征 40
第一节 数学的基本对象：集合 40
一、集合认识简顾 40
二、集合概念及其引申 41
三、集合与空间 42
四、集合元素与数学的抽象性 43
1．经典数学的抽象性 43
2．现代数学中元素的抽象性 43
3．集合概念的运用正好符合现代数学的抽象特征 44
第二节 数学的基本关系 44
一、序关系 44
二、运算关系 46
1．数学的基本运算方法 46
2．数学的基本运算形式 46
3．运算方法的推广 47
4．数理逻辑运算 47
三、映射关系 47
1．概念认识 47
2．映射与函数 47
第三节 数学的基本任务 48
一、“解” 48
二、“证” 49
第四节 数学的基本结构 50
一、序结构 50
1．对偏序集的一般研究 51
2．对偏序集的“格”研究 51
3．对“没有”序关系的集合的序处理 51
二、代数结构 52
三、拓扑结构 52
四、复合结构 54
第五节 无穷的数学认识 55
一、无穷的基本类型 55
二、科技发展——向无穷的迈进 56
三、无穷认识小史简述 57
四、现代数学对无穷的认识状态简述 57
1．对无穷小空间结构的认识 57
2．对无穷多元的有界集认识 58
第六节 数学中的“形”思维与“形”演算 59
一、小序 59
二、几个基本图形类型 60
三、图上运算：分解作图法 65
四、数学“变换”的“形”特征 67
第四章 从“对偶空间”到“二象论” 69
第一节 对偶空间认识 69
一、具有内积特征的对偶空间概念及其推广认识 69
1．线性空间的对偶概念 69
2．线性空间的对偶例 70
3．希尔伯特空间的对偶空间 71
4．突变论欣赏例 72
二、赋范空间及多重线性空间的对偶结构 73
三、对偶原理及其应用 78
四、系统变量、参变量与影响因素辨 82
第二节 二象性原理 83
一、微观世界的二象特征及其机理认识 83
1．从光的波粒二象性谈起 83
2．量子力学之争的实质 84
3．量子世界的测不准原理 84
4．关于物质可分性之争 85
二、宏观世界的二象性结构 85
1．相对论空间是由二象构成的 85
2．形式逻辑背景空间具有二象性特征 86
3．进一步的认识 86
三、二象结构的普遍存在性 86
第三节 对立统一律与完全空间论 88
一、完全空间概念的引入 88
二、完全空间中对偶二象的特征认识 89
1．对偶二象的互补性 89
2．完全性 89
3．对立统一性 89
4．完全空间的稳定性 90
5．对称与守恒、破缺与涨落 90
6．二象互根 90
三、完全系统中二象“互动”关系的描述（几个模型例） 91
1．对偶二象间涨落模型 92
2．有机体对环境的适应性描述 93
3．两个完全空间的相互作用例 94
四、对“软科学时代”说的认识 96
第四节 “系统学二象论”概述 96
一、问题的引入 97
二、概念介绍 98
三、理论概述 99
第五章 数学的逻辑范畴认识 101
第一节 逻辑学概述 101
第二节 形式逻辑与符号逻辑 102
一、基本概念和特征 102
二、形式逻辑的基本内容 103
1．思维形式的研究 103
2．思维规律的研究 104
3．思维方法的研究 105
三、形式逻辑的发展现状 105
四、符号逻辑的产生 106
1．符号逻辑的产生 106
2．符号逻辑的类型 106
第三节 数理逻辑学简要认识 107
一、简要回顾 107
二、基本特征 107
三、主要分支 108
四、基本内容 109
第四节 形式逻辑的本质认识 110
一、思维形式再认识 110
二、思维规律（四律）认识 110
1．“四律”中前三律——同一律、排中律、矛盾律，是不独立的 110
2．前三律仅界定出了一个“正常思维” 111
3．第四律（充足理由律）揭示了形式逻辑特征 111
三、形式逻辑的一个根本规律是因果律 111
四、物质宇宙的根本特征是运动 111
五、物质宇宙是个动力系统 111
1．先谈动力系统 111
2．物质宇宙（记为X）是个本原性动力系统 112
六、因果律正合物质宇宙X的动力系统特征 113
七、猜测 113
八、推论 114
1．推论1：完全宇宙（X，X＊）＝Ω是个最大的动力系统 114
2．推论2：完全宇宙是个高维空间 115
九、附注 115
第五节 辩证逻辑认识 116
一、辩证逻辑产生的客观基础 116
二、辩证逻辑简顾 116
三、辩证逻辑规律 117
四、辩证逻辑的本质与特征 118
第六节 “数学逻辑”及其认识 119
一、问题的引入 119
二、数学具有逻辑学的基本特征 120
三、数学还具备独有特征 120
1．针对逻辑学的有限形式，数学本身即是个无限形式系统 120
2．数学不只含有现代形式逻辑的特征，也含有普通形式逻辑和辩证逻辑的特征 121
四、“数学逻辑”的概念界定 122
五、几种主要逻辑范畴间的关系认识 123
第七节 关于多值逻辑的认识 124
一、概念的引入 124
1．从多值逻辑到模糊逻辑 124
2．不确定性问题的基本特征 124
二、不确定性的存在机理 125
1．形式逻辑的古典部分和近代部分 125
2．形式逻辑近代部分的人为特征 125
3．人为特征产生的不确定性 126
三、不确定性问题的分类 126
1．超逻辑不确定性问题 127
2．技术性不确定问题 127
3．人为性不确定问题 127
四、模糊逻辑及其特征 128
第六章 实数再认识 129
第一节 实数认识的几个重要成果回顾 129
一、算术——实数的运算性质 129
二、数论——整数的组合特征 130
三、数系的扩展 131
1．代数途径 131
2．几何途径 132
四、实数的序性、稠密性和完备性考察 132
1．完备性定理 132
2．戴德金分割法 133
五、实数的集合论认识 134
1．集合论的诞生引起的两件震撼数学基础的大事 134
2．公理集合论及其新的矛盾 135
3．“集合论悖论”与现实生活 136
第二节 实数集的宏观欣赏 137
一、实数认识的四大阶段 137
1．1619年前：初级阶段 137
2．1619年后：高级阶段 137
3．1873年后：深入阶段 138
4．1965年以后：抽象阶段 138
二、实轴再欣赏 138
1．打油诗一首 138
2．一个小故事 139
三、实数集与数学的发展史 141
四、方寸嵌宇宙、滴水含太阳 142
五、居中原理 143
第三节 实轴上一点处的欣赏 145
一、分杵问题与物质结构观 145
二、区间端点认识 146
三、与任一实数最贴近的实数认识：稠密（粒）观与连续（流）观 148
1．任给一个有理数，寻找它最靠近的有理数 148
2．给定一个无理数，对其“最贴近”的数的认识 149
3．任一实数的无穷小邻域都有不确定性：连续化 150
第四节 实轴的结构欣赏 151
一、人类仅生活在Rr的子集上 151
二、Rr与Rl的比较 152
三、人类的测量活动几乎都是不精确的 155
第五节 实轴能认识透吗 156
第七章 加乘数学：代数学认识 158
第一节 代数学基本概念及其评述 158
一、群、李群 158
二、环与理想 160
三、域、体、有限域、扩张域及Bool代数、格 161
四、线性空间、模与代数 161
五、张量代数 162
1．外积与外形式 162
2．外代数 162
3．反对称张量的外积∧ 163
4．张量代数 163
六、评述与注释 163
第二节 文字代数与符号代数 165
一、文字代数 165
二、符号代数 166
三、方程式论 167
1．数系的产生 167
2．因式分解 169
四、方程组论 170
1．线性方程组论 170
2．代数几何学（高次方程组论） 171
第三节 抽象代数 172
一、群与近世代数学 172
二、抽象代数时期：环与广义超复数系 173
三、代数学时期 176
四、复数的实质及在数学和代数学中的地位 177
1．虚数的旋转特征 177
2．复数与运动的对应关系 178
3．复数系是代数的完备系统 179
4．复数的进一步认识 179
五、代数学特征的再认识 180
第四节 加乘概念的扩展 181
一、加、乘：线性与非线性的实质 181
1．线性函数与线性独立 182
2．非线性函数：交叉项与合作关系 182
3．一般非线性函数 182
二、点乘与内积，叉乘与外积 183
三、∪、∩运算 184
四、∧、∨运算 184
1．Bool（布尔）代数中的∨、∧ 184
2．数理逻辑中的∨、∧ 185
3．格中的∨、∧概念 185
五、？、？运算 185
第五节 广义代数学 186
一、数学的代数结构 186
二、大自然的代数结构 187
三、广义代数学 188
第六节 小结图 189
第八章 周期数学及其认识 190
第一节 周期原理 190
一、大自然的周期结构 190
二、周期：用有限表现无穷的基本方式 190
三、周期：运动的基本形式 191
四、周期与循环辨 191
五、周期原理 192
第二节 周期函数及有关概念讨论 192
一、周期函数定义及其讨论 192
1．定义 192
2．周期函数的定义域D（f）？G总是（正负）无穷的 193
3．定义域G的类型 193
4．定义域G的代数结构 193
5．周期的认识 194
6．周期函数的值域特征 194
二、复数及复变函数的周期性 195
1．复数的周期性 195
2．复数域中的三角函数、双曲函数 195
3．复变函数的周期性 196
第三节 作为解的周期函数认识 197
一、周期解与定性理论 197
二、H-系统与周期轨类 197
三、调和解类 200
第四节 周期概念的推广、周期函数论的发展 201
一、周期概念的推广 201
1．拟周期 201
2．概周期 201
3．点周期 202
4．动力系统中的类周期点集 202
二、统计周期与复合周期性 203
三、调和分析 204
第五节 小波分析基本认识 205
一、傅氏级数小史与实质 206
二、f（x）的三角表达式及其条件讨论 207
三、正交基与f（x）的傅氏级数 208
四、傅氏变换、傅氏积分及其基本性质 211
1．傅氏变换与傅氏积分 211
2．傅氏变换与傅氏积分的意义 212
3．傅氏变换与傅氏积分的性质 213
4．傅氏变换与傅氏积分的缺点 213
五、小波变换基本发展过程 213
1．傅氏变换 214
2．Harr小波变换 214
3．Gabor窗口变换 214
4．Meger小波变换 215
5．多尺度分析 215
第六节 周期力学 217
一、振动理论认识 217
二、波动理论认识 219
1．概念及特性认识 219
2．偏微分方程小议 220
第九章 数学按其描述特征的几种类型认识 223
第一节 确定性数学 223
一、连续数学与离散数学 223
二、计算机数学与信息科学 225
三、分析数学Ⅰ：数学分析的发展 227
1．小序 227
2．微分概念的发展 227
3．积分概念的发展 229
4．函数理论的发展 230
四、分析数学Ⅱ：数学推理方法的发展 231
1．公式推理 231
2．概念推理 232
3．合情推理 232
第二节 时间数学Ⅰ：t变量数学与动力系统 233
一、序：时间变量与时间函数 233
1．时间是特殊变量 233
2．时间函数的特征 233
3．时间数学的共通使命 234
二、连续时间数学 234
1．经典常微分方程到连续动力系统 234
2．泛函微分方程 236
3．流形上的常微分方程 236
三、连续动力系统与混沌 237
1．连续动力系统 237
2．混沌（Chaos）理论 238
3．多动力系统 240
四、高维动力系统轨道的“一维”特征及其意义 240
第三节 时间数学Ⅱ：迭代论与离散动力系统 241
一、时序数据认识 241
1．单一数据的信息功能 241
2．两相邻数据间关系 242
3．时序分析 243
二、迭代论Ⅰ：系统形态序列 243
三、迭代论Ⅱ：时序离散模型的建立 244
1．连续动力系统的差分化 244
2．根据数据模拟离散系统 246
四、迭代论Ⅲ：离散动力系统 246
第四节 时间数学Ⅲ：随机数学 250
一、随机数学小议 250
二、概率概念中的时间性 251
1．概率论具有预测实质 251
2．概率值中已消除了随机干扰 251
3．概率p＝0，1与必然事件 252
三、随机过程的时间特征 252
四、统计学中的时间性 253
五、时序分析学与时序认识 254
第五节 不确定数学与复杂性数学 257
一、关于不确定数学 257
1．原始概念 257
2．现代概念 257
3．随机数学与模糊数学的区别 257
二、模糊数学 258
1．模糊数学理论的发展 258
2．模糊数学的逻辑研究 259
3．模糊数学的应用研究 260
三、复杂性数学 260
四、网络数学 261
第六节 优化数学 262
一、价值数学与优化数学、运筹学 262
二、优化数学基本原理 263
1．最值原理 263
2．拉格朗日（Lagrange）条件极值原理 264
3．哈密顿（Hamilton）变分原理 264
4．临界点原理 265
5．max-min原理 265
三、求最优方案的优化数学 265
1．规划论Ⅰ：线性规划 266
2．规划论Ⅱ：非线性规划 266
3．规划论Ⅲ：多目标规划与目的规划 267
4．决策论 268
5．博弈论 268
6．图论 269
7．排队论、储运问题及其他 270
四、求最优轨道的优化数学：控制论等 270
1．控制论Ⅰ：控制论通议 270
2．控制论Ⅱ：动态规划 272
3．控制论Ⅲ：最优控制 272
第七节 均衡与和谐系统论 275
一、小序 275
二、代数均衡 276
三、函数均衡 276
四、Pareto均衡 279
五、均衡增长 280
1．一般的均衡增长 280
2．广义的均衡增长：pt-均衡 280
六、和谐系统 281
第十章 数学按其空间形式的发展 282
第一节 点式数学 282
一、1619年前：线段数学 282
1．数学三基 282
2．线段数学 282
3．线段数学与点式数学 283
二、1619年后的点式数学 283
第二节 邻域数学 284
一、笛卡儿坐标概念引起的函数论与分析学 284
二、坐标概念的推广 285
1．直角坐标与斜坐标 285
2．极坐标、球坐标、柱坐标 286
3．广义坐标与局部坐标 287
三、点的邻域性质认识 287
四、典型的邻域数学Ⅰ：点集拓扑及拓扑学简述 289
1．点集拓扑学 289
2．组合拓扑学 290
3．代数拓扑学 291
4．微分拓扑学 291
五、典型的邻域数学Ⅱ：流形上的数学 292
六、邻域数学思想的应用：一个社会核拓扑模型 292
第三节 空间数学 293
一、数学研究中的空间手法 293
1．来自集合论、代数学和线性泛函的启迪 293
2．现代数学广泛的空间手法 294
3．另外两种空间手法——提升手法和投影手法 295
二、欧氏空间数学 295
三、非欧氏空间与几何学 296
四、弯空间：流形认识 298
1．流形概念 298
2．流形有关概念 299
五、函数空间的数学：谈谈泛函 301
六、关于参数空间的数学 303
七、待发现微观世界的无穷小空间 304
第十一章 数学按其空间形式的发展深入：无穷小论 305
第一节 数学对无穷小的认识回顾 306
一、无穷小对认识论、方法论的初次挑战 306
1．毕达哥拉斯“有理数悖论” 306
2．芝诺悖论 306
3．分杵定理 306
4．数学对无穷小问题的处理方式 307
二、无穷小再次挑战与认识的进步 307
1．微积分的诞生 307
2．对微积分的认识 307
三、公理集合论：人类向无穷小的一次主动挑战 308
四、非标准分析：人类对无穷小的再次主动挑战 308
第二节 极限论述评 309
一、述评申明 309
二、极限论的优越性 309
1．极限论给出了又一种用有限去表述无穷的方法 309
2．极限论带来了微积分方法的“算术化” 310
3．极限论在微积分学上的实用效果是成功的 310
三、极限论的实质 310
1．极限论是一种方法、一种技术 310
2．极限论对于无穷小邻域是“跳”过去的 310
四、｛？ε＞0｝只是个稠密集 311
五、无穷小的一个新定义 311
六、在无穷小概念下极限论显出的缺陷 312
1．关于Peano曲线的遍历性 312
2．又一例 313
3．点点连续点点不可导函数例 314
4．在极限意义下，无穷小世界被处理成有序结构了 315
第三节 非标准分析述评 316
一、背景及其思想的引入 316
二、非标准分析概要 317
1．R的非标准模型及其基本事实 317
2．单子论 318
3．超结构及其性质 319
4．内集论 319
5．非标准分析应用简例 319
三、非标准分析开启了真正的无穷小认识 321
1．再议 321
2．实质 322
四、无穷小的初步性质 322
五、非标准分析之不足 322
第四节 来自微观世界的启示 323
一、关于微观世界 324
1．基本概念 324
2．发展状态与基本特征 324
3．研究特征：实验、数学、哲学并用 325
二、微观世界的一般特征 326
三、微观世界的根本特征：非牛顿空间 327
四、无穷小世界与非牛顿空间的关系 328
五、超弦：基本粒子论对无穷小理论的支持 328
六、在微观领域数、理有必要进一步“联姻” 330
第五节 客观世界的“动”机制认识 330
一、从能量认识谈起 331
二、能量的本质与“动”机制 331
三、动机制与动邻域 332
四、动邻域与高维空间 334
第六节 无穷小认识与芝诺悖论解释 335
一、基于第一节至第五节的几点定性认识 335
1．认识无穷小有必要数、理互补 335
2．无穷小世界是个新领域 336
3．认识无穷小不能仅凭数理逻辑 336
4．无穷小世界是个动态系统 336
5．无穷小世界的运动是高速度、高频率、高曲率、高自旋的，因而是非欧空间的，且是“复值”的 336
6．无穷小世界具有典型的二象性 336
二、复单子：无穷小的一个模型描述 337
1．条件（公理）准备 337
2．＊R的一个复单子结构 337
3．复单子的一个数学模型 338
三、无穷小认识的应用与芝诺悖论解释 339
1．应用简述 339
2．芝诺悖论的解释 340
第十二章 数学的二象机制揭示 342
一、二象系统论简顾 342
1．基本概念 342
2．基本性质 343
二、数系的“二象”性 345
1．复数域的“完备”性与“二象”性 345
2．复数中“实部、虚部”对应着运动的“平移、旋转”实质 345
3．“二元数系（Abel）”理论反映的“二象”性 345
三、数学空间的“二象”性 346
1．关于对偶空间反映出的“二象”性 346
2．上述讨论中的“线性”条件并非实质性的 347
3．系统空间与数学的“二象”性 347
四、一般函数中的“二象”性 347
1．关于函数中参变量的实质 347
2．再说系统的一般定义 348
3．参变量空间即系统的虚象 349
五、“几何点”的“二象”结构 349
1．应该从一个新的层次上去认识几何点 349
2．来自物理学的启示 349
3．再谈非标准分析的突破 350
4．极限论对“无穷小”认识的不足 351
六、实轴结构的“二象”性 351
1．从实轴的度量困难谈起 352
2．实轴结构被揭示与实数集被表示的等价性 352
3．公理集合论的困惑及其实质 352
4．比较与启示 353
5．实轴的“二象”结构猜测 354
七、数学的“二象”机制猜测 354
1．猜测的引入 354
2．猜测的解释 354
3．猜测的说明 355
4．猜测的小结 355
八、“二象论”的数学研究 356
第十三章 现代数学与社会科学的“联姻”基础 357
第一节 现代科学与现代数学特征 357
一、从“现代”概念谈起 357
1．“现代”的划分 357
2．现代数学（学科）概念 358
二、现代科学特征 358
三、现代数学特征Ⅰ：泛函性 359
四、现代数学特征Ⅱ：大范围分析 361
五、现代数学特征Ⅲ：非线性、高维空间、不确定性和抽象化风 363
第二节 社会科学特征及与现代数学的相似性 363
一、社会概念、属性空间与社会丛 363
1．社会的物质基底与社会的组织空间 363
2．社会的属性空间 364
3．社会丛 364
4．社会活动 364
二、社会科学的特征 365
1．社会科学对象具有非几何性，因而具有非点式、非局部的和抽象的特征 365
2．社会科学的映射具有拓扑特征和泛函性 366
3．社会科学的横断性、综合性特征 366
三、社会科学与现代数学的“联姻”前景 366
第三节 社会科学与现代数学“联姻”前景的逻辑地位 367
一、现代数学与现代物理的联姻事实 368
二、任何学科的深入都需要数学和哲学 368
三、联姻前景的分形考虑 369
第四节 应用例Ⅰ：市场经济下的竞争机制 370
一、社会的市场结构 370
二、市场X上的竞争模型 372
三、系统（13.4）′的讨论 373
四、系统（13.4）′或（13.5）的参数讨论 374
1．关于开源映射G 375
2．关于节流映射J 377
3．小结 378
五、关于国企与非国企的竞争 378
六、重组论 379
七、竞争势及其传递效应 380
1．在相空间上的｛ψn｝ 380
2．在完全空间Ω-上的｛ψn｝ 381
第五节 应用例Ⅱ：人类社会演化规律探索 383
一、基础理论：系统演化的动力与能量 384
1．系统的能量来源：广义自组织 384
2．系统发展的动力：系统“目标”下的竞争 384
二、社会的存续：广义周期性 384
三、社会的进步：生产力的提高 385
四、社会的演进：人性的进化 385