第1章 预备知识 1
1.1向量代数复习 1
一、E3中Descartes直角坐标系O-xyz中的点与向量 1
二、向量空间R3（起点自由） 1
三、E3中向量的乘积 2
四、在初等几何中的应用示例 3
习题1.1 4
1.2向量函数微积分 5
一、E3中实变向量函数 5
二、向量函数的极限、连续和微积分简介 5
三、常用几何条件的解析判定式 7
习题1.2 9
1.3标架和标架场 10
一、E3中的单位正交右手标架及其变换 10
二、E3中的刚体运动与等距变换 12
三、E3中的正交标架场的运动公式 13
四、E3中的仿射标架 14
习题1.3 15
第2章 曲线的局部微分几何 16
2.1参数化曲线与曲线的参数表示 16
一、E3中参数化曲线的定义 16
二、正则曲线 17
三、曲线的等价 19
习题2.1 22
2.2曲线的弧长和弧长元素 23
一、E3中正则曲线段的长度 23
二、弧长和弧长参数 24
习题2.2 26
2.3曲线的曲率和Frenet标架 27
一、曲率 27
二、Frenet标架 29
习题2.3 34
2.4曲线的挠率和Frenet公式 35
一、挠率 35
二、Frenet公式 38
习题2.4 39
2.5曲线在一点附近的结构 40
一、曲线的局部规范形式 40
二、曲线的局部近似曲线 40
三、曲线的切触 42
习题2.5 42
2.6曲线论基本定理 43
一、一般结果 43
二、平面曲线的相对曲率 45
习题2.6 48
2.7特殊曲线组 49
一、Bertrand曲线 49
二、渐伸线与渐缩线 51
三、单参数曲线族的包络 53
习题2.7 55
第3章 曲面的第一基本形式 56
3.1参数化曲面 56
一、E3中参数化曲面的定义 56
二、正则曲面 58
三、正则曲面的切平面和法线 59
四、参数变换 61
五、参数曲面的等价 62
习题3.1 63
3.2直纹面与可展曲面 64
一、直纹面及其上的参数变换 64
二、可展曲面及其局部形状分类 67
三、单参数曲面族的包络 70
习题3.2 73
3.3曲面的第一基本形式 74
一、曲面上的弧长元素 74
二、第一基本形式 75
三、交角与面积元素 78
习题3.3 82
3.4局部等距对应 83
一、局部等距对应 83
二、曲面的内蕴几何学概念 85
习题3.4 86
3.5局部正交参数网与等温参数 87
一、一般结论与正交网 87
二、等温参数 88
习题3.5 89
第4章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率 90
4.1曲面的第二基本形式 90
一、切点邻近点到切平面的有向距离 90
二、第二基本形式 91
三、在容许参数变换下的行为 92
习题4.1 93
4.2法曲率 94
一、曲面上曲线的曲率 94
二、曲面的法曲率 96
习题4.2 97
4.3自然标架的运动公式 98
一、Einstein和式约定 98
二、曲面的基本公式 99
三、测地曲率的内蕴公式 101
习题4.3 102
4.4 Weingarten变换 103
一、Weingarten矩阵的性质 103
二、Weingarten变换与Euler公式 104
习题4.4 106
4.5曲面上的曲率概念 107
一、主曲率 107
二、Gauss曲率和平均曲率 108
三、Gauss映射和第三基本形式 109
习题4.5 110
4.6曲面的特殊参数网 111
一、曲率线和曲率线网 111
二、渐近曲线和渐近曲线网 113
习题4.6 114
4.7曲面一点附近的形状 115
一、曲面的局部规范形式 115
二、曲面的局部近似曲面 116
习题4.7 117
4.8特殊曲面的曲率特征 118
一、可展曲面的曲率特征 118
二、曲面面积的第一变分公式 119
三、极小曲面 120
习题4.8 121
第5章 曲面论基本定理 122
5.1曲面论基本方程 122
一、Gauss-Codazzi方程 122
二、Gauss-Codazzi方程的独立性 123
三、Gauss绝妙定理 125
习题5.1 126
5.2曲面论基本定理 127
一、相关方程及其解的性质 127
二、曲面论基本定理的证明和说明 129
习题5.2 130
第6章 曲面的内蕴几何初步 131
6.1测地曲率与测地线 131
一、测地曲率的Liouville公式 131
二、测地线基本概念 132
三、弧长的第一变分公式与局部短程线 134
习题6.1 137
6.2指数映射与测地坐标系 139
一、指数映射及其性质 139
二、法坐标系性质 141
三、测地极坐标系性质 141
四、测地凸域 143
习题6.2 146
6.3常曲率曲面与非欧几何模型 147
一、常曲率曲面的局部等距 147
二、常曲率曲面在E3中的代表 148
三、抽象曲面与非欧几何模型 149
习题6.3 153
6.4局部Gauss-Bonnet公式 154
一、Gauss-Bonnet公式 154
二、非欧几何中的三角形内角和 156
习题6.4 157
6.5曲面上切向量的局部平移 158
一、抽象曲面的切平面 158
二、切平面等距同构的微元表示 159
三、切向量场的绝对微分 161
四、切向量的Levi-Civita平移 163
五、内蕴角差 164
习题6.5 166
6.6 Cayley-Klein-Hilbert度量形式下的双曲几何 167
一、Cayley-Klein-Hilbert度量与Beltrami-Klein坐标系 167
二、曲线及其在对应欧氏空间中的直观 167
三、两点间距公式和交比 168
四、交角与三角形余弦定理 172
五、双曲变换群的生成 173
习题6.6 178
第7章 曲线的整体性质初步 180
7.1夹角的整体可微性 180
习题7.1 184
7.2平面曲线切线的旋转指标定理 185
习题7.2 187
7.3平面凸闭曲线特征 188
习题7.3 190
7.4卵形线 191
习题7.4 193
7.5平面曲线的等周不等式 194
习题7.5 197
7.6球面闭曲线的整体性质 198
习题7.6 202
7.7 E3中闭曲线的全曲率 203
习题7.7 205
7.8曲线的整体弯曲量度 206
一、弧段的比较 206
二、闭曲线的曲率平均值 208
习题7.8 209
第8章 曲面的整体性质初步 210
8.1曲面片与曲面 210
习题8.1 215
8.2完备曲面 216
习题8.2 222
8.3管状面Willmore不等式 223
习题8.3 228
8.4凸闭曲面特征 229
习题8.4 231
8.5整体Gauss-Bonnet定理 232
习题8.5 236
8.6曲面上的若干微分算子 237
一、S上的函数的微分和梯度 237
二、S上切向量场的平移和绝对微分 239
三、S上的散度算子div 241
四、S上的Beltrami-Laplace算子△s 242
习题8.6 243
8.7球面的刚性 244
习题8.7 246
8.8 Poincare指标定理 247
习题8.8 251
8.9抽象曲面的几何结构概述 252
参考文献 254
索引 255