第一章 一般辛结构下的生成函数法 1
1.1生成函数的几何意义 1
1.2简要叙述生成函数法 2
1.3一般意义下的生成函数法 7
1.4保体积格式的生成函数法 8
1.5一般辛结构下的Hamilton系统的辛格式 24
参考文献 31
第二章 有限维Birkhoff系统的辛结构和辛格式 33
2.1 Birkhoff方程 33
2.2 Birkhoff结构和Birkhoff辛结构 34
2.3依赖于时空变量的辛结构K（z,t）的生成函数 37
2.4 Birkhoff方程的K（z,t）-辛差分格式 43
2.5带阻尼的振动方程的Birkhoff辛格式 48
2.6数值实验 54
2.7附录：格式推导 58
参考文献 69
第三章 李群算法及其应用 71
3.1研究李群算法的背景 71
3.2预备知识 76
3.2.1李群 76
3.2.2李代数 79
3.2.3李群Diff（M）的李代数 81
3.2.4流形上的微分方程 82
3.2.5伴随表示 82
3.2.6指数映射和它的微分 82
3.2.7李代数作用 85
3.3李群算法 86
3.3.1李群算法的理论基础 86
3.3.2 Runge-Kutta-Munthe-Kaas（RKMK）方法描述 97
3.4 KdV方程平方守恒型格式的构造 99
3.4.1有限差分空间离散 100
3.4.2 Fourier拟谱空间离散 102
3.5数值实验 105
3.6 Magnus方法介绍 110
3.6.1 Magnus方法介绍 110
3.6.2用Magnus方法解无阻尼Landau-Lifshitz方程 115
3.7等谱流问题的李群算法 118
3.7.1等谱流问题 118
3.7.2等谱流的李群方法及李群算法中的牛顿迭代 120
3.7.3数值实验 123
3.8单程波李代数积分及应用 124
3.8.1拟微分算子及其象征 124
3.8.2象征的Witt积或象征的组合 127
3.8.3单平方根算子的象征 128
3.8.4象征的Witt除法 129
3.8.5交换算子的象征 130
3.8.6算子高次幂的象征 130
3.8.7算子指数函数的象征 130
3.8.8 2维象征的Witt积 132
3.8.9单程波算子李代数积分 132
3.8.10单程波算子的格林函数 134
3.8.11结论 139
参考文献 141
第四章 无穷维Hamilton系统的辛几何算法 145
4.1无穷维Hamilton方程 146
4.1.1 Banach空间中的辛流形与辛结构 152
4.1.2 Hamilton向量场和Hamilton系统 155
4.1.3生成泛函 159
4.2利用生成泛函构造辛格式 166
4.2.1利用生成泛函构造格式的一般理论 166
4.2.2应用 170
4.2.3数值实验 181
4.3波动方程辛差分格式的其他构造方法 184
4.3.1多级显式辛格式 184
4.3.2差分格式稳定性分析 190
4.3.3多级隐式辛格式 196
4.3.4数值实验 197
4.4应用双曲函数构造辛格式 199
4.4.1用双曲正切函数构造辛格式 200
4.4.2用双曲正弦函数构造辛格式 202
4.4.3用双曲余弦函数构造辛格式 205
参考文献 209
第五章 多辛几何算法 211
5.1变分积分子与Lee积分子 211
5.1.1 Lagrange变分原理 211
5.1.2 Marsden变分原理的新观点 214
5.1.3 Veselov离散的变分原理 217
5.1.4三类辛积分子的变分描述 219
5.1.5高阶方程的变分积分子 223
5.1.6数值结果 229
5.1.7全变分 233
5.1.8数值实验 241
5.1.9 Hamilton形式全变分 245
5.1.10离散力学和有限元方法 257
5.2多辛几何 268
5.2.1多辛几何基本知识 268
5.2.2多辛形式公式 274
5.2.3离散的多辛几何 283
5.2.4对称及延拓向量场 288
5.2.5多辛方程及由多辛公式给出的守恒律 297
5.3 Bridges意义下的多辛结构 308
5.3.1 Bridges意义下的多辛结构 308
5.3.2 Klein-Gordon方程的多辛结构 313
5.3.3 Klein-Gordon方程的多辛格式 320
5.3.4 sine-Gordon方程的Preissmann格式 322
5.4复合方法构造多辛算法 324
5.4.1两类实用的辛算法 325
5.4.2复合方法构造多辛格式 327
5.4.3数值实验和分析 339
5.4.4高维推广 347
5.5高精度多辛格式的构造 353
5.5.1波方程辛格式的分析 353
5.5.2后项误差分析方法 355
5.5.3修正的线性波方程的多辛格式的构造 357
5.5.4第一类生成函数法的变分描述 368
5.5.5非线性波方程的多辛格式的构造 372
5.5.6对线性波方程的整体误差分析和数值实验 376
5.6 Schr6dinger方程的辛与多辛形式 387
5.6.1 Schr6dinger方程的多辛结构 387
5.6.2非线性Schr6dinger方程的辛算法 395
5.6.3非线性Schr6dinger方程的多辛算法 398
5.6.4线性稳定性分析 401
5.6.5数值实验 403
5.6.6 Schrodinger方程的变分积分子 406
5.6.7多辛积分子与变分积分子 410
5.7辛与多辛Fourier拟谱方法 411
5.7.1辛Fourier拟谱方法 412
5.7.2多辛Fourier拟谱方法 417
5.7.3辛与多辛Fourier拟谱方法的关系 418
5.7.4数值实验 421
5.8 KdV方程的多辛格式 423
5.8.1多辛方程组 423
5.8.2 KdV方程的多辛Preissmann格式 426
5.8.3 12点格式的一些数值结果 429
5.8.4多辛方程组的数值解法 435
5.8.5数值实验 441
5.8.6 12点格式推导 448
5.8.7 KdV方程的Euler box格式 451
5.9一些方程的多辛形式 454
5.9.1 BBM方程的辛形式和多辛形式 454
5.9.2 1维可压缩流的Euler方程的多辛形式和多辛几何 466
5.9.3 KP方程的多辛方法 472
5.9.4 Ginzburg-Landau方程的多辛形式 488
5.9.5线性阻尼的振动方程的Birkhoff形式 503
5.10化PDE方程为Bridges形式 507
5.10.1变分原理的反问题 508
5.10.2化Euler-Lagrange方程为多辛方程 511
5.10.3经典场论的全变分 516
5.10.4 Lagrange力学的全变分 516
5.10.5经典场论的全变分 521
5.10.6多辛场论的Veselov型离散和可变步长的变分积分子 524
参考文献 529
第六章Maslov渐近理论与辛几何算法 543
6.1从几何光学谈起 543
6.2狭义几何光学（射线理论） 545
6.3广义几何光学 548
6.4 Maslov渐近理论 551
6.4.1 Maslov渐近理论 551
6.4.2构造方程及其渐近解 552
6.4.3线形层状问题的整体渐近解 557
6.4.4射线追踪与辛几何算法 560
6.5波场的数值模拟 568
参考文献 573
第七章 微分复形与数值计算 575
7.1 Maxwell方程 575
7.1.1电磁方程的积分形式 576
7.1.2关于微分形式的一些基本知识 577
7.1.3 Maxwell方程的微分形式 583
7.1.4 Maxwell方程的变分问题 584
7.2代数拓扑基本概念 586
7.2.1单纯形和单纯复形 586
7.2.2链与上链 589
7.2.3在网格上的ME方程 591
7.2.4 De Rham微分复形 595
7.2.5 Whitney形式 601
7.2.6小结 616
7.3 Hodge算子的离散 619
7.3.1星算子离散形式 620
7.3.2算子grad,curl,div离散的有限元法 623
7.3.3 Hodge星算子离散的具体例子 627
7.3.4基于微分形式的误差估计 634
7.3.5 Yee格式 638
7.3.6混合变分原理 640
7.3.7矩阵关系式 641
7.3.8延拓算子的例子 643
7.3.9应用 646
7.4 grad,curl,div算子离散的差分形式 648
7.4.1算子（离散算子）grad（GRAD）,curl（CURL）,div（DIV）的定义域和值域 649
7.4.2算子grad,curl,div离散的网格 650
7.4.3曲线坐标系算子的grad,curl,div表示 654
7.4.4 1维的数值例子 660
7.4.5在一般网格上的内积公式 664
7.4.6离散算子GRAD,DIV,CURL的共轭算子 670
7.4.7梯度算子GRAD的内积 672
7.4.8散度算子DIV的内积 675
7.4.9旋度算子CURL的内积 678
7.5 Maxwell方程在4维（时空）空间中的表示 681
7.5.1电磁方程的变分原理 683
7.5.2电磁方程的能量守恒 685
7.5.3椭圆方程的另一种多辛形式 687
7.5.4波动方程的另一种多辛形式 688
7.5.5规范变换 690
7.5.6 Maxwell方程在3维和4维（时空）空间中的表示 692
参考文献 693
第八章 局部保结构算法 697
8.1引言 697
8.2概念的提出 699
8.3局部保结构算法的适用范围 702
8.4应用例子 704
8.4.1地球流体力学方程的数值模拟 704
8.4.2孤立波方程的计算 705
8.4.3电磁波方程的计算 706
8.5局部保结构算法的构造 706
8.5.1一些差分算子的性质 707
8.5.2几个简单的ODEs差分格式 709
8.5.3多辛格式的构造 710
8.5.4局部能量守恒格式的构造 714
8.5.5局部动量守恒格式的构造 716
8.6一个数值例子 719
8.7小结和讨论 721
参考文献 723
第九章 附录 727
9.1变分计算 727
9.2 KP方程45点格式 729
9.3 Ginzburg-Landau方程18点格式 734
9.4有限元和混合有限元的一些补充 740
参考文献 749
符号 751
索引 757