1空间直角坐标与向量代数 1
1.1空间直角坐标 1
1.1.1平面直角坐标系的回顾 1
1.1.2空间直角坐标系 2
1.1.3空间点的坐标 3
1.1.4空间两点之间的距离 4
1.2向量的概念及线性运算 5
1.2.1向量的概念 5
1.2.2向量的加减法 7
1.2.3数乘向量 9
1.2.4向量的坐标 10
1.3向量的乘积运算 14
1.3.1向量的内积 15
1.3.2向量的外积 17
1.3.3三向量的混合积 20
1.3.4二重外积 23
1.4向量的应用示例 25
数学史话1：数学中的转折点——笛卡尔和解析几何的创立 29
第1章小结 31
习题1 33
自我测验题1 36
2空间平面与直线 38
2.1空间平面的方程 38
2.1.1平面的点法式方程、一般式方程和法式方程 38
2.1.2平面的点位式方程和参数方程 41
2.1.3平面方程的互化 42
2.2空间直线的方程 44
2.2.1直线的点向式方程 45
2.2.2直线的一般方程 47
2.2.3直线的射影式方程 48
2.2.4直线方程的互化 49
2.3空间点、平面、直线的关系 50
2.3.1点与平面的位置关系 50
2.3.2点与直线的位置关系 52
2.3.3两平面的位置关系 53
2.3.4空间两直线的相关位置 57
2.3.5直线与平面的相关位置 61
2.4空间平面与直线的应用示例 64
数学史话2：欧几里得和《几何原本》 67
第2章小结 70
习题2 73
自我测验题2 76
3空间曲面和曲线 78
3.1空间曲面与曲线的方程 78
3.1.1空间曲面的一般方程 78
3.1.2空间曲面的参数方程 80
3.1.3空间曲线的一般方程 82
3.1.4空间曲线的参数方程 83
3.2柱面、锥面和旋转曲面 83
3.2.1柱面 83
3.2.2锥面 88
3.2.3旋转曲面 91
3.3常见的二次曲面 96
3.3.1椭球面 96
3.3.2双曲面 99
3.3.3抛物面 103
3.3.4空间区域简图 108
3.4直纹曲面及其性质 109
3.4.1单叶双曲面的直纹性 109
3.4.2双曲抛物面的直纹性 111
3.4.3单叶双曲面和双曲抛物面的直母线的性质 111
3.4.4直纹曲面的判别 112
3.5空间曲线和曲面的应用示例 114
3.5.1空间曲线的应用 114
3.5.2空间曲面的应用 115
数学史话3：非欧几何——双曲几何学和椭圆几何学 117
第3章小结 121
习题3 124
自我测验题3 128
4二次曲线的一般理论 130
4.1平面直角坐标变换 130
4.1.1移轴变换 130
4.1.2转轴变换 131
4.1.3一般坐标变换 132
4.1.4坐标变换下代数曲线及其次数的不变性 134
4.2一般二次曲线的化简与分类 135
4.2.1一些常用记号 135
4.2.2直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律 136
4.2.3二次曲线类型的判别 140
4.2.4二次曲线方程的化简与作图 140
4.2.5二次曲线方程的分类 146
4.3利用不变量化简二次曲线方程 148
4.3.1二次曲线的不变量 148
4.3.2利用不变量化简二次曲线方程 151
4.4利用主直径化简二次曲线方程 155
4.4.1二次曲线的主直径 155
4.4.2利用主直径化简二次曲线方程 158
4.5一般二次曲线的应用示例 160
数学史话4：20世纪的数学曙光——希尔伯特的23个数学问题 163
第4章小结 167
习题4 169
自我测验题4 171
5空间直角坐标变换与点变换 172
5.1空间直角坐标变换 172
5.1.1移轴变换 172
5.1.2转轴变换 174
5.1.3正交条件 175
5.1.4一般坐标变换公式 176
5.1.5向量的坐标变换 178
5.1.6以三垂直平面为新坐标系坐标平面的坐标变换 178
5.2点变换 180
5.2.1点变换的定义 180
5.2.2点的平移 181
5.2.3点的旋转 181
5.2.4刚体运动 183
5.2.5正交变换 184
5.2.6仿射变换 186
5.3坐标变换的应用示例——空间直角坐标变换在东平大桥中的应用 187
5.3.1坐标变换构思 188
5.3.2平转体系 188
5.3.3竖转体系 189
5.3.4坐标变换实施的结果 191
数学史话5：克莱因与爱尔兰根纲领 191
第5章小结 195
习题5 196
自我测验题5 198
6二次曲面的一般理论 200
6.1二次曲面方程系数在直角坐标变换下的变化规律 200
6.1.1定义和记号 200
6.1.2一般二次曲面方程系数在直角坐标变换下的变化规律 202
6.2一般二次曲面的化简与分类 204
6.2.1代数理论 204
6.2.2二次曲面的化简与分类 205
6.3利用不变量化简二次曲面方程 208
6.3.1二次曲面的不变量与半不变量 208
6.3.2二次曲面五种类型的判别 209
6.3.3利用不变量化简二次曲面的方程 210
6.4利用主径面化简二次曲面方程 213
6.4.1二次曲面的主径面方程 213
6.4.2利用主径面化简二次曲面方程 215
6.5一般二次曲面的应用示例 217
数学史话6：数学的“老三高”和“新三高” 219
第6章小结 226
习题6 227
自我测验题6 228
附录 行列式和矩阵 230
参考答案与提示 234
主要参考文献 249