第8章 多元函数的微分法及其应用 1
8.1多元函数的基本概念 1
8.1.1多元函数及其定义域 1
8.1.2二元函数的几何表示 3
习题8.1 4
8.2二元函数的极限与连续 5
8.2.1二元函数的极限 5
8.2.2二元函数的连续性 6
习题8.2 8
8.3二元函数的偏导数与全微分 8
8.3.1偏导数 8
8.3.2高阶偏导数 11
8.3.3全微分及其应用 13
习题8.3 16
8.4多元复合函数与隐函数的求导法则 17
8.4.1多元复合函数的求导法则 17
8.4.2一阶全微分形式不变性 20
8.4.3隐函数的求导法则 21
习题8.4 23
8.5偏导数在几何上的应用 23
8.5.1空间曲线的切线与法平面 23
8.5.2曲面的切平面与法线 26
习题8.5 29
8.6多元函数的极值与最大（小）值 30
8.6.1多元函数的极值 30
8.6.2有界闭区域上的最大值与最小值 33
8.6.3条件极值 35
习题8.6 38
8.7方向导数与梯度 39
8.7.1方向导数 39
8.7.2梯度 41
习题8.7 43
8.8最小二乘法 43
8.8.1最小二乘原理 43
8.8.2多变量的数据拟合 46
8.8.3非线性曲线的数据拟合 47
习题8.8 48
8.9 Mathematica在多元函数微分学中的应用 49
8.9.1求多元函数的偏导数与全微分 49
8.9.2微分学的几何应用 50
8.9.3多元函数的极值 50
习题8.9 51
第8章分层次测试题 52
数学欣赏 圆形之美与三角函数 55
第9章 重积分 57
9.1二重积分的概念与性质 57
9.1.1引例 57
9.1.2二重积分的概念 59
9.1.3二重积分的性质 60
习题9.1 63
9.2利用直角坐标计算二重积分 63
9.2.1 X-型积分区域 63
9.2.2 Y-型积分区域 65
9.2.3其他型积分区域 65
习题9.2 68
9.3利用极坐标计算二重积分 69
习题9.3 74
9.4二重积分应用举例 75
9.4.1二重积分在物理上的应用 75
9.4.2二重积分在农业中的应用 77
习题9.4 79
9.5三重积分的概念与性质 80
9.6三重积分的计算 81
9.6.1利用直角坐标计算三重积分 81
9.6.2利用柱面坐标计算三重积分 85
9.6.3利用球面坐标计算三重积分 87
习题9.6 89
9.7用Mathematica计算重积分 90
习题9.7 91
数学欣赏“数学中的诺贝尔奖”——菲尔兹奖 92
第10章 曲线积分与曲面积分 95
10.1对弧长的曲线积分 95
10.1.1对弧长的曲线积分的实际背景 95
10.1.2对弧长的曲线积分的概念与性质 96
10.1.3对弧长的曲线积分的计算 97
习题10.1 98
10.2对坐标的曲线积分 99
10.2.1对坐标的曲线积分的实际背景 99
10.2.2对坐标的曲线积分的概念与性质 100
10.2.3对坐标的曲线积分的计算 101
10.2.4两类曲线积分之间的联系 104
习题10.2 104
10.3格林公式及其应用 105
10.3.1格林公式 105
10.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件 108
习题10.3 111
10.4对面积的曲面积分 111
10.4.1对面积的曲面积分的实际背景 111
10.4.2时面积的曲面积分的概念与性质 112
10.4.3对面积的曲面积分的计算 112
习题10.4 114
10.5对坐标的曲面积分 115
10.5.1有向曲面的概念 115
10.5.2对坐标的曲面积分的概念与性质 115
10.5.3对坐标的曲面积分的计算 118
10.5.4两类曲面积分之间的联系 120
习题10.5 121
10.6高斯公式通量与散度 121
10.6.1高斯公式 121
10.6.2沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 124
10.6.3通量与散度 125
习题10.6 128
10.7斯托克斯公式 环流量与旋度 129
10.7.1斯托克斯公式 129
10.7.2空间曲线积分与路径无关的条件 131
10.7.3环流量与旋度 132
习题10.7 132
10.8用Mathematica计算曲线积分和曲面积分 133
10.8.1计算曲线积分 133
10.8.2计算曲面积分 135
习题10.8 136
第9、10章分层次测试题 137
数学欣赏 中国人自己创立的学科——可拓学 140
第11章 微分方程 142
11.1微分方程的基本概念与分离变量法 142
11.1.1微分方程的基本概念 142
11.1.2分离变量法 144
习题11.1 147
11.2一阶线性微分方程 148
11.2.1一阶齐次线性微分方程的解法 148
11.2.2一阶非齐次线性微分方程的解法 148
习题11.2 151
11.3可降阶的高阶微分方程 152
11.3.1y（n）=f（χ）型的微分方程 152
11.3.2y"=f（χ，y'）型的微分方程 152
11.3.3y"=f（y，y'）型的微分方程 154
习题113 155
11.4二阶常系数齐次线性微分方程 156
习题11.4 159
11.5二阶常系数非齐次线性微分方程 159
11.5.1二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质与结构 159
11.5.2 f（χ）=Pm（χ）eaχ，其中Pm（χ）是m次多项式 161
11.5.3 f（χ）=eaχ（Acosβχ+Bsinβχ），其中a，β是实常数 164
习题11.5 166
11.6常微分方程在数学建模中的应用 166
11.6.1人口预测模型 166
11.6.2市场价格模型 168
11.6.3混合溶液的数学模型 170
11.6.4振动模型 171
习题11.6 175
11.7用Mathematica解常微分方程 175
习题11.7 176
第11章分层次测试题 177
数学欣赏 模糊数学概览 179
第12章 无穷级数 180
12.1常数项级数的概念和性质 180
12.1.1常数项级数的基本概念 180
12.1.2无穷级数的基本性质 183
习题12.1 186
12.2常数项级数的审敛法 187
12.2.1正项级数及其审敛法 187
12.2.2交错级数及其审敛法 193
12.2.3绝对收敛与条件收敛 194
习题12.2 195
12.3幂级数 195
12.3.1函数项级数的一般概念 195
12.3.2幂级数及其收敛性 196
12.3.3幂级数的运算与和函数的性质 199
习题12.3 202
12.4函数展开成幂级数 202
12.4.1泰勒级数 203
12.4.2函数展开成幂级数 203
12.4.3函数的幂级数展开式的应用 206
习题12.4 209
12.5傅里叶（Fourier）级数 210
12.5.1三角级数 三角函数系的正交性 210
12.5.2以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 210
12.5.3[—π， π]或[0，π]上的函数展开成傅里叶级数 214
习题12.5 216
12.6周期为2ι的周期函数的傅里叶级数 216
习题12.6 219
12.7用Mathematica进行级数运算 219
12.7.1数项级数 219
12.7.2求幂级数的收敛域 220
12.7.3函数的幂级数展开 221
习题12.7 221
第12章分层次测试题 222
数学欣赏 数学史上的三次危机 225
部分习题参考答案 228
参考文献 242