第1章 欧几里德直线的微分分拆 1
第1.1节 装上了标架的欧几里德直线 1
第1.2节 直线L上区间的类型 1
第1.2.1品 问题的提出 1
第1.2.2品 不同类型的数学基础集合中的区间的记号 2
第1.2.2.1回 自然数集合中的区间 2
第1.2.2.2回 整数集合中的区间 2
第1.2.2.3回 有理数集合中的区间 2
第1.2.2.4回 实数集合中的区间 2
第1.2.2.5回 直线L上以实数为端点的区间 2
第1.2.2.6回 实数空集合的区间 3
第1.2.2.7回 直线L上区间的分拆 3
第1.2.2.8回 测度的有穷可加性 3
第1.3节 关于测度和序的基本公理 4
第1.3.1品 欧几里德直线L上的测度公理 4
第1.3.2品 数学中关于序的基本原则 4
第1.4节 实数集合R不能填满一条装上坐标系的欧几里德直线L 4
第1.5节 对无穷小线性元素测度的初步讨论 6
第1.6节 对无穷大线性元素测度的初步讨论 6
第1.6.1品 有中心点的对称性公理 6
第1.6.2品 无中心点的对称性公理 6
第1.7节 一条装上坐标系的欧几里德直线L相对于整数集合Z的分拆展开式 7
第1.8节 装上坐标系的欧几里德直线L相对于实数集合R的分拆展开式 8
第2章 基础知识 12
第2.1节 标准实数系的公理系 12
第2.1.1品 R是有序域 12
第2.1.2品 R是完备的 12
第2.2节 闭的标准实数集合R 12
第2.3节 关于不可分量 14
第2.3.1品 不可分量的历史导论 14
第2.3.2品 不可分量的定义 15
第2.4节 关于区间套的等价性 15
第2.4.1品 有穷区间套等价的定义 15
第2.4.2品 半无穷区间套等价的定义 16
第2.4.3品 例题 17
第2.4.4品 交集合a？Ω＋和Ω-？a的测度的等价性 18
第2.5节 欧弥伽连续统的元素的定义 19
第2.5.1品 实数a的右单子的定义 19
第2.5.2品 实数a的左单子的定义 19
第2.5.3品 欧弥伽连续统的一般的定义 20
第3章 欧弥伽分割与序 21
第3.1节 连续元的欧弥伽分割表示 21
第3.2节 连续元之间的序 22
第3.2.1品 连续元之间的相等和小于的定义 22
第3.2.2品 连续元之间的序的传递性 22
第3.2.3品 连续元之间的序的排列 23
第3.2.4品 连续元的正负的定义 24
第3.2.5品 装上标架的欧氏直线L上的本源几何形式 24
第3.2.6品 半射线区间｜ 0，∞）上的本源几何形式 24
第3.2.7品 在平面上的条形区域的本源几何形式 25
第3.2.7.1回 问题的提出 25
第3.2.7.3回 在平面上的条形区域的本源几何形式的一般定义 25
第3.2.7.4回 条形区域间测度比较大小的基本原则 26
第4章 欧弥伽四则算术运算 27
第4.1节 连续元之间的加法 27
第4.1.1品 连续元之间加法表 27
第4.1.2品 在Ω∏中加法的保序性 27
第4.1.3品 在Ω∏中减法的定义 27
第4.1.4品 连续元之间的加法的定义举例 28
第4.2节 连续元之间的乘法 29
第4.2.1品 连续元之间的乘法表 29
第4.2.2品 在Ω∏中乘法的保序性 30
第4.2.3品 欧弥伽连续统中的绝对值的定义 30
第4.2.4品 欧弥伽连续统中乘法的一般定义 30
第4.2.5品 连续元之间的乘法的定义举例 30
第4.3节 连续元之间的除法 31
第4.3.1品 连续元之间的除法表 31
第4.3.1.1回 除数是ω＋和π+ 31
第4.3.1.2回 除数是ω-？a，a和a？ω+ 32
第4.3.2品 连续元之间的除法的定义举例 32
第4.4节 闭的标准欧弥伽连续统？ 33
第5章 直线上的长度及其有关积分 34
第5.1节 直线上有穷区间的积分 34
第5.1.1品 逆向积分问题的提法 34
第5.1.2品 正向积分的回答 34
第5.1.3品 正向积分与逆向积分之间的等值公理 35
第5.1.4品 测度的有穷可加性的逆向积分表示 35
第5.2节 直线上无穷区间的积分 35
第5.2.1品 逆向积分问题的提法 35
第5.2.2品 正向积分的回答 36
第5.2.3品 正向积分与逆向积分之间的等值公理 36
第5.2.4品 测度的有穷可加性的逆向积分表示 36
第6章 平面上矩形的面积及其有关积分 37
第6.1节 平面上有穷矩形的面积 37
第6.1.1品 问题的提出 37
第6.1.1.1回 平面上的面积微分运算 37
第6.1.1.2回 面积微分运算的性质 38
第6.1.1.3回 关于微分运算与Ω∏的元素之间的四则运算之间的差别一点注释 38
第6.1.2品 逆向积分问题的提法 39
第6.1.3品 正向积分的回答 40
第6.1.4品 正向积分与逆向积分之间的等值公理 40
第6.1.5品 测度的有穷可加性的逆向积分表示 41
第6.1.6品 逆向积分与逆向积分之间的等值公理 41
第6.2节 有穷区间上庄子的无厚不可积定理 42
第6.2.1品 问题的提出 42
第6.2.2品 在有穷区间上庄子的无厚不可积定理 43
第6.2.3品 庄子无厚不可积定理的简单推论 43
第7章 无穷小直线元素的存在性 44
第7.1节 无穷小直线元素的存在性证明 44
第7.1.1品 首先证明ω小于任一正实数 44
第7.1.2品 现在证明：ω≠0 44
第7.2节 欧弥伽连续统的元素的测度 45
第7.3节 历史的评述 46
第8章 平面上无穷区间上矩形的面积及有关积分 47
第8.1节 平面上无穷区间上矩形的面积 47
第8.1.1品 问题的提出 47
第8.1.2品 逆向积分问题的提法 48
第8.1.3品 正向积分的回答 48
第8.1.4品 正向积分与逆向积分之间的等值公理 48
第8.1.5品 测度的有穷可加性的逆向积分表示 48
第8.1.6品 逆向积分与逆向积分之间的等值公理 49
第8.2节 无穷区间上庄子的无厚不可积定理 50
第8.2.1品 问题的提出 50
第8.2.2品 在无穷区间上庄子的无厚不可积定理 50
第8.2.3品 庄子无厚不可积定理的简单推论 51
第8.2.4品 几点特殊注解 51
第8.2.4.1回 单个元素的区间及其测度 51
第8.2.4.2回 两个元素的区间及其测度 52
第8.2.4.3回 三个元素的区间及其测度 52
第8.2.4.4回 微分区间长度的算术表示 52
第8.2.4.5回 超过三个元素的有穷区间的测度 52
第8.2.4.6回 无穷区间的测度 53
第8.2.4.7回 直线上的常速度运动 53
第8.2.4.8回 欧弥伽微商的定义 53
第8.2.4.9回 Ω∏的子连续统 54
第9章 评论弥永昌吉《数学百科词典》中所载的三条常用数学公理 55
第9.1节 评论若当-卡拉特欧多里-勒贝格的实数空集合的测度为零的公理 55
第9.1.1品 弥永昌吉《数学百科词典》中对此公理的陈述 55
第9.1.2品 本书对此公理的所提供的反例 55
第9.1.2.1回 第一是微观的反例 55
第9.1.2.2回 第二是宏观的反例 55
第9.1.2.3回 第三是宇观的反例 56
第9.2节 评论康托的实数线公理 56
第9.2.1品 弥永昌吉《数学百科词典》中对此公理的陈述 56
第9.2.2品 本书对此公理的所提供的反例 56
第9.2.2.1回 第一是整体性的反例 56
第9.2.2.2回 第二是有穷区间上的反例 56
第9.2.2.3回 第三是无穷区间上的反例 57
第9.3节 空集合？是任意集合的子集合吗？ 57
第9.3.1品 弥永昌吉《数学百科词典》中对此公理的陈述 57
第9.3.2品 本书中已经得到的结论 57
第9.3.3品 简单评论 58
第10章 微积分学的历史概论 59
第10.1节 微积分学历史的综述 59
第10.2节 标准分析中的几个基本概念 60
第10.2.1品 标准分析中的有穷的外尔斯特拉斯极限 60
第10.2.2品 标准分析中的函数的连续性 61
第10.2.3品 标准分析中的函数的导数 61
第10.3节 外尔斯特拉斯极限论，康托连续统和狄特金分割的发展 62
第10.3.1品 外尔斯特拉斯极限论的发展 62
第10.3.2品 康托连续统的发展 63
第10.3.3品 狄特金分割的发展 63
第11章 欧弥伽极限论 65
第11.1节 实数集合R中的序列的欧弥伽极限 65
第11.1.1品 外尔斯特拉斯意义下序列的极限 65
第11.1.2品 外尔斯特拉斯序列的极限与欧弥伽极限在符号上的区分 65
第11.1.3品 把外尔斯特拉斯极限分解为七个欧弥伽极限 66
第11.1.4品 当n趋向无穷的例题 67
第11.2节 函数的欧弥伽极限 67
第11.2.1品 自变量的极限 67
第11.2.2品 实函数的右极限 68
第11.2.3品 实函数的左极限 69
第11.2.4品 例题 70
第11.2.5品 极限点集合的欧弥伽扩张 70
第12章 欧弥伽函数论 72
第12.1节 将R中的函数用欧弥伽极限扩大到Ω∏之中 72
第12.1.1品 对实数函数的一般性讨论 72
第12.1.2品 对实数连续函数的讨论 72
第12.1.3品 将连续统Ω∏中的函数转化成实数函数 73
第12.1.4品 欧弥伽微变函数的定义 73
第12.1.5品 欧弥伽极限协调性的定义 73
第12.1.6品 实数连续函数的性质 74
第12.2节 将R中的可导函数扩大到Ω∏之中 74
第12.2.1品 具有一阶导数的实数函数的扩大 74
第12.2.2品 具有高阶导数的实数函数的扩大 74
第12.2.3品 导数的单值扩大 75
第12.2.4品 导数单值扩大的性质 76
第12.2.5品 例题 76
第13章 欧弥伽测度论 77
第13.1节 实数集合的特征函数 77
第13.2节 实数集合的极限协调性扩大 77
第13.3节 满足欧弥伽极限协调性集合的重要性质 78
第13.4节 无界实数集合的情况 79
第13.5节 几点评论 79
第14章 欧弥伽逆向积分论 80
第14.1节 有穷区间上的逆向积分论 80
第14.1.1品 问题的提出 80
第14.1.2品 逆向积分的定义 80
第14.1.3品 逆向积分的基本不等式 81
第14.1.4品 多值函数的逆向积分的定义 82
第14.1.5品 实数函数的逆向积分的定义 83
第14.2节 无穷区间上的逆向积分论 83
第14.2.1品 问题的提出 83
第14.2.2品 逆向积分的定义 84
第14.2.3品 逆向积分的基本不等式 85
第14.2.4品 多值函数的逆向积分的定义 85
第14.2.5品 实数函数的逆向积分的定义 86
第15章 欧弥伽正向积分论 87
第15.1节 有穷区间上的正向积分论 87
第15.1.1品 有穷区间上函数的微分论 87
第15.1.2品 有穷区间上的正向积分公理3 88
第15.2节 无穷区间上的正向积分 88
第15.2.1品 无穷区间上函数的微分 88
第15.2.2品 无穷区间上的正向积分公理3 90
第16章 积分的辅助公理 91
第16.1节 积分等值的辅助公理 91
第16.1.1品 正向积分之间的等值 91
第16.1.2品 正向积分与逆向积分之间的等值 91
第16.1.3品 逆向积分与逆向积分之间的等值 92
第16.1.4品 无穷区间上积分的等值 93
第16.1.5品 无穷区间上正向积分之间的等值 93
第16.1.6品 无穷区间上正向积分与逆向积分之间的等值 93
第16.1.7品 无穷区间上逆向积分与逆向积分之间的等值 94
第16.2节 对逆向积分估值的辅助公理 95
第16.2.1品 三元素的区间 95
第16.2.2品 实数骨干函数的定义 95
第16.2.3品 关于逆向积分估值的辅助公理一 96
第16.2.4品 关于逆向积分估值的辅助公理二 96
第16.2.5品 关于逆向积分估值的辅助公理三 96
第16.2.6品 关于逆向积分估值的辅助公理四 96
第16.2.7品 关于逆向积分估值的辅助公理五 97
第17章 欧弥伽逆向可积分函数的类型 98
第17.1节 基本的逆向可积分函数类型 98
第17.1.1品 基本假设及其推出的性质 98
第17.1.2品 对区间［a，c1 1］的讨论 99
第17.1.3品 对区间［ck 1，ck+1 1］的讨论 100
第17.1.4品 对ε？的讨论 101
第17.1.5品 对区间［a，a1 1］的讨论 102
第17.1.6品 对区间［a,b］的一般性讨论 103
第17.1.7品 逆向基本可积分函数类的定理 103
第17.1.8品 按照欧弥伽极限扩大的逆向积分 103
第17.1.9品 面积函数的定义和性质 104
第17.1.10品 积分的公式的变形 104
第17.1.11品 物理应用 105
第17.2节 有界实数函数按照欧弥伽极限扩大的可积分函数类 106
第18章 基本的积分公式和分析学的平行理论初步 108
第18.1节 牛顿和莱布尼茨的公式的陈述和证明 108
第18.1.1品 找寻逆向积分的被积分函数的原函数并把逆向积分化归正向积分而求解 108
第18.1.2品 牛顿和莱布尼茨的公式的证明 109
第18.1.3品 被积式的欧弥伽第一扩大与极限扩大的积分值的比较 110
第18.1.4品 无穷大直线元素存在性的证明 111
第18.2节 欧弥伽公式 112
第18.2.1品 关于求反导数的积分方法的一个新的可积类型 112
第18.2.2品 欧弥伽第二扩大定义法 113
第18.2.3品 欧弥伽公式的陈述 113
第18.2.4品 欧弥伽公式的证明 113
第18.3节 求反导数与求逆向积分的关系 115
第18.3.1品 欧弥伽反导数的定义 115
第18.3.2品 欧弥伽极限扩大的逆向积分的性质 115
第18.3.3品 具有左右极限的欧弥伽逆向可积类与欧弥伽反导数之间的关系 116
第18.4节 逆向积分的基本可积分类型的初步总结 116
第18.5节 有界的欧弥伽可积分类的一般定义 117
第18.6节 派生的欧弥伽可积分类型 120
第18.7节 有界的欧弥伽可积分类的基本性质（1） 120
第18.8节 有界欧弥伽逆向可积类基本性质（2） 121
第18.9节 复合函数的欧弥伽逆向可积性 122
第18.10节 有界欧弥伽逆向可积类型的三个保序性 122
第18.11节 有界欧弥伽逆向可积分函数的其它的不等式 123
第18.12节 有界欧弥伽逆向可积分函数的面积函数 124
第18.13节 欧弥伽逆向积分的第二中值定理 124
第18.14节 分部积分法 125
第18.14.1品 不定积分的分部积分法 125
第18.14.2品 欧弥伽逆向积分的分部积分公式 125
第18.15节 逆向积分的换元积分公式 126
第18.16节 欧弥伽连续函数论 126
第18.16.1品 对具有左右极限的实数函数的一种特殊的极限扩大 127
第18.16.2品 欧弥伽连续函数的基本性质 128
第18.16.2.1回 欧弥伽连续函数的上界和下界 128
第18.16.2.2回 欧弥伽连续函数能够在［a,b］达到它的最小的实数的上界和最大的实数下界 128
第18.16.2.3回 介值定理 129
第18.16.2.4回 结束语和展望 129
第19章 欧弥伽微分学初步和间断的分布函数 130
第19.1节 微分学的基本公式 130
第19.2节 欧弥伽积分公式和导数公式的变形 131
第19.2.1品 关于欧弥伽积分公式的变形 131
第19.2.2品 左导数和右导数的符号的变形 132
第19.23品 关于欧弥伽导数的四则运算 132
第19.3节 二阶和高阶欧弥伽导数的表示 133
第19.3.1品 欧弥伽二阶导数的表示 133
第19.3.2品 二阶欧弥伽导数的积分公式 133
第19.3.3品 关于欧弥伽高阶导数的注释 134
第19.3.4品 欧弥伽微分学的基本定理 135
第19.3.5品 欧弥伽-Taylor公式 135
第19.4节 定义在一个有穷集合和它的补集合上的斯科伦阶梯函数—在Ω∏中间断分布函数举例 136
第19.4.1品 连续分布函数的举例 136
第19.4.2品 间断分布函数的举例 136
第19.4.3品 注释 137
第19.5节 广义的正向积分论 138
第19.5.1品 一般函数的微分论 138
第19.5.2品 广义的正向积分公理 139
第19.5.3品 历史的评论 140
第19.6节 闭的欧弥伽连续统中连续元的上杠欧弥伽分割的表示 141
第20章 简单的评论 144
第20.1节 对不可分量的评论 144
第20.2节 对芝诺（ZENO）的总格言的评述 144
第20.3节 对庄周的“无厚不可积”的猜想的论证 145
第20.4节 对亚里士多德否认数能够产生一个连续统的猜想的论证 145
第20.5节 对庄周的“万世不竭”猜想的评论 145
第20.6节 对测度、连续和离散的评述 146
第20.7节 毕达哥拉斯格言的发展 147
第20.8节 对庄周的“万世不竭”概念的发展 148