第一章 一些典型方程和定解条件的推导 1
1.1基本方程的建立 1
1.2初值条件与边界条件 12
1.3定解问题的提法 15
习题一 18
第二章 分离变量法 19
2.1有界弦的自由振动 19
2.2有限长杆上的热传导 30
2.3圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 34
2.4非齐次方程的解法 38
2.5非齐次边界条件的处理 43
2.6关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 52
习题二 55
第三章 行波法与积分变换法 59
3.1一维波动方程的达朗贝尔公式 59
3.2三维波动方程的泊松公式 66
3.2.1三维波动方程的球对称解 67
3.2.2三维波动方程的泊松公式 67
3.2.3泊松公式的物理意义 73
3.3傅里叶变换与拉普拉斯变换 76
3.3.1傅里叶积分公式与傅里叶变换 76
3.3.2傅里叶变换的基本性质 78
3.3.3 δ函数及其傅里叶变换 81
3.3.4拉普拉斯变换及其基本性质 83
3.3.5拉普拉斯变换的反演 87
3.4积分变换法举例 88
习题三 99
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 103
4.1拉普拉斯方程边值问题的提法 103
4.2格林公式 105
4.3格林函数 111
4.4两种特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解 114
4.4.1半空间的格林函数 114
4.4.2球域的格林函数 116
习题四 119
第五章 贝塞尔函数 120
5.1贝塞尔方程的引出 120
5.2贝塞尔方程的求解 122
5.3当n为整数时贝塞尔方程的通解 126
5.4贝塞尔函数的递推公式 128
5.5函数展开成贝塞尔函数的级数 131
5.5.1贝塞尔函数的零点 132
5.5.2贝塞尔函数的正交性 134
5.6贝塞尔函数应用举例 137
5.7贝塞尔函数的其他类型 142
5.7.1第三类贝塞尔函数 142
5.7.2虚宗量的贝塞尔函数 143
5.7.3开尔文函数（或称汤姆孙函数） 144
5.8贝塞尔函数的渐近公式 145
习题五 147
第六章 勒让德多项式 150
6.1勒让德方程的引出 150
6.2勒让德方程的求解 152
6.3勒让德多项式 154
6.4函数展开成勒让德多项式的级数 158
6.4.1勒让德多项式的正交性 158
6.4.2函数展开成勒让德多项式的级数 160
6.5连带的勒让德多项式 165
习题六 169
第七章 数学物理方程的近似解法 171
7.1差分解法 171
7.1.1将微分方程化成差分方程 171
7.1.2拉普拉斯方程的差分格式 174
7.1.3热传导方程的差分格式 181
7.1.4波动方程的差分格式 183
7.2变分方法 184
7.2.1变分方法的物理背景 184
7.2.2变分问题的可解性 187
7.2.3里茨-伽辽金方法 189
习题七 193
第八章 非线性偏微分方程 196
8.1极小曲面问题 196
8.2非线性偏微分方程举例 199
8.3激波 202
8.4 KdV方程 孤立波 206
习题八 210
附录A Г函数的基本知识 212
附录B傅里叶变换与拉普拉斯变换简表 217
习题参考答案 221