第1章 什么是拓扑学 1
1.1 从欧几里得几何学到拓扑学 1
1.2 连续性 5
习题1 11
1.3 几个最简单的拓扑不变量 12
1.3.1 连通性及连通支的个数 12
1.3.2 割点的个数 13
1.3.3 点的指数 14
习题2 15
第2章 多面体的欧拉公式 16
2.1 简单多面体 16
2.2 欧拉公式的几种证法 18
2.2.1 勒让德的证明 18
2.2.2 笛卡儿手稿中给出的证明 21
2.2.3 利用网络证明 24
习题3 28
附录1 欧拉公式的发现 29
《欧拉公式的发现》读后感 35
2.3 欧拉公式的一个应用 36
2.3.1 有关平面图的一些基本概念 38
2.3.2 两个最简单的不可平面图 40
习题4 45
2.4 五种正多面体 47
2.4.1 正多面体只有五种 47
2.4.2 正多面体的一个有趣的性质 49
2.4.3 正多面体在四维空间的推广 50
习题5 52
2.5 正十二面体的哈密尔顿问题 53
习题6 56
第3章 七桥问题与地图着色问题 57
3.1 哥尼斯堡七桥问题与一笔画 57
习题7 62
附录2 哥尼斯堡的七座桥 63
《哥尼斯堡的七座桥》读后感 68
3.2 一笔画的一个应用 69
习题8 73
3.3 五色定理和四色问题 74
3.3.1 关于四色问题 74
3.3.2 五色定理的证明 77
习题9 81
第4章 几个拓扑定理 82
4.1 约当曲线定理 82
习题10 89
4.2 布劳威尔不动点定理 90
习题11 95
4.3 代数基本定理 96
习题12 100
第5章 曲面 101
5.1 射影平面的模型和莫比乌斯带 101
5.1.1 射影平面的几个模型 101
5.1.2 射影平面和莫比乌斯带的关系 104
5.1.3 莫比乌斯带奇趣 106
5.2 曲面及其多边形表示 109
5.2.1 曲面的概念 109
5.2.2 曲面的多边形表示 112
习题13 115
5.3 曲面的欧拉示性数 116
5.3.1 曲面的欧拉示性数 116
5.3.2 曲面的三角剖分 118
5.3.3 闭曲面的拓扑分类 122
习题14 123
附录3 闭曲面拓扑分类的一个证明 124
第6章 基本群和同调群的直观描述 133
6.1 引言 133
6.2 道路的同伦类 135
6.3 基本群 138
习题15 141
6.4 同调群的直观描述 142
6.5 闭链、边缘链和同调群 146
习题16 154
第7章 初等突变理论简介 155
7.1 初等突变理论及其模型 155
7.2 初等突变理论的应用举例 165
附录4 突变模型在汉字识别上的应用尝试 171
第8章 漫话纽结和链环 174
8.1 引言——一个线绳魔术 174
8.2 纽结和链环 175
8.3 判断两个纽结相同（同痕） 179
习题17 186
8.4 几个最简单的同痕不变量 187
习题18 190
8.5 琼斯的多项式不变量 191
习题19 197
8.6 纽结和链环的两种运算——拼与和 198
习题20 200
8.7 本章结束语 201
习题解答 202