第1章 预备知识 1
1.1 MATLAB编程及符号运算 1
1.1.1 MATLAB语言简介 1
1.1.2 M文件及M函数 2
1.1.3 常量、变量、运算符及表达式 3
1.1.4 向量及其运算 4
1.1.5 矩阵及其运算 6
1.1.6 多项式运算 11
1.1.7 控制语句 13
1.1.8 MATLAB符号运算 15
1.1.9 MATLAB绘图 19
1.2 分部积分 21
1.3 泛函极值与变分法 23
1.3.1 函数的极值 23
1.3.2 泛函极值问题 24
1.3.3 微分方程的等效泛函形式 27
第2章 有限元数学力学基础 29
2.1 直接刚度法 29
2.1.1 1维弹簧系统 29
2.1.2 结点平衡法求解 29
2.1.3 直接刚度法求解 31
2.1.4 线性弹簧单元的其他形式 35
2.2 加权残值法及Galerkin有限元法 36
2.2.1 1维直杆受轴向力作用 36
2.2.2 材料力学法求精确解 36
2.2.3 弹性力学法求精确解 36
2.2.4 微分方程等效积分形式及加权残值法 37
2.2.5 Galerkin法应用于等效积分弱形式 43
2.2.6 采用分段近似函数的Galerkin法 48
2.2.7 Galerkin有限元法 52
2.3 Rayleigh-Ritz法及Ritz有限元法 57
2.3.1 微分方程等效泛函形式 57
2.3.2 Rayleigh-Ritz法 59
2.3.3 Ritz有限元法 61
2.4 有限元求解方法 62
2.5 有限元软件 64
2.5.1 有限元法的一般求解过程 64
2.5.2 有限元软件模块 64
2.5.3 有限元软件功能 65
2.6 算例 67
第3章 桁架结构 71
3.1 杆单元力学基础 71
3.1.1 基本假定及公式 71
3.1.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理 72
3.2 结构离散 73
3.3 单元分析及坐标变换 74
3.3.1 2结点线性杆单元结点向量 74
3.3.2 直接刚度法推导单元方程 75
3.3.3 坐标映射 77
3.3.4 形函数 77
3.3.5 单元应变及应力 79
3.3.6 最小势能原理推导单元方程 79
3.3.7 虚功原理推导单元方程 80
3.3.8 Galerkin方法推导单元方程 81
3.3.9 温度载荷 82
3.3.10 局部-总体坐标变换 82
3.3.11 单元内力计算 84
3.3.12 杆单元MATLAB函数 84
3.4 单元组装 86
3.4.1 单元组装成结构的力学及数学意义 86
3.4.2 单元组装成结构的程序实现 87
3.4.3 总体刚度矩阵性质 92
3.5 边界条件处理 92
3.5.1 位移边界条件类型 92
3.5.2 直接缩减法 94
3.5.3 对角元素置1法 96
3.5.4 对角元素乘大数法 98
3.5.5 惩罚法 99
3.6 算例 101
第4章 弹性固体结构 109
4.1 弹性力学基本方程及其变分原理 109
4.1.1 弹性力学基本方程 109
4.1.2 虚功原理 117
4.1.3 最小势能原理 118
4.1.4 应力状态 119
4.2 2维平面问题 123
4.2.1 3结点三角形单元 123
4.2.2 其他平面单元 136
4.2.3 算例 140
4.3 轴对称问题 146
4.4 3维空间问题 151
4.4.1 4结点四面体单元 151
4.4.2 8结点八面体单元 154
4.5 算例 155
第5章 梁及框架结构 160
5.1 Euler-Bernoulli梁理论 160
5.1.1 基本假定及公式 160
5.1.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理 163
5.2 基于Euler-Bernoulli梁理论的2结点梁单元 165
5.2.1 结点变量 165
5.2.2 坐标映射 165
5.2.3 形函数 166
5.2.4 单元位移 168
5.2.5 单元曲率矩阵（广义应变矩阵） 168
5.2.6 单元刚度矩阵 169
5.2.7 等效结点载荷向量 169
5.2.8 弯矩及剪力计算 170
5.3 基于Euler-Bernoulli梁理论的2维框架单元 175
5.4 基于Euler-Bernoulli梁理论的3维框架单元 184
5.5 Timoshenko梁理论 186
5.5.1 基本假定及公式 186
5.5.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理 189
5.6 剪切变形梁单元 190
5.6.1 Timoshenko梁单元 190
5.6.2 剪切闭锁及其解决方法 193
5.6.3 考虑剪切变形梁单元 195
5.7 算例 203
第6章 板壳结构 210
6.1 Kirchhoff板理论 211
6.1.1 基本假定及公式 211
6.1.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理 217
6.2 Kirchhoff板单元 219
6.2.1 Kirchhoff板单元方程的一般形式 219
6.2.2 矩形Kirchhoff板单元 220
6.3 Mindlin板理论 223
6.3.1 基本假定及公式 223
6.3.2 微分方程等效积分弱形式、虚功原理及最小势能原理 227
6.4 基于位移的Mindlin板单元 228
6.4.1 Mindlin板单元方程的一般形式 228
6.4.2 矩形Mindlin板单元 230
6.4.3 Mindlin板单元的剪切闭锁问题 232
6.5 离散Kirchhoff约束板单元 234
6.6 壳结构 237
6.6.1 由平面单元及弯曲单元组成的壳单元 237
6.6.2 从3维单元退化壳单元 243
6.7 算例 251
第7章 有限元法中的几个专题 258
7.1 等参单元 258
7.2 数值积分 260
7.2.1 积分计算公式 260
7.2.2 积分阶数的选择 265
7.3 应力计算 265
7.3.1 单元应力计算最佳位置点 266
7.3.2 单元应力插值与外插 267
7.3.3 结点应力平均 267
7.4 有限元收敛准则及解的性质 270
7.4.1 收敛准则及其物理意义 270
7.4.2 离散误差及收敛率 272
7.4.3 位移有限元解的下限性质 272
7.5 单元形函数构造 273
7.5.1 选择单元位移函数的原则 273
7.5.2 单元形函数构造过程 274
7.5.3 形函数性质 275
7.6 非协调元及分片测试 275
7.6.1 4结点平面四边形非协调元 275
7.6.2 分片测试 277
第8章 结构振动与动力响应分析 281
8.1 动力学基本方程 281
8.2 质量矩阵和阻尼矩阵 283
8.2.1 协调质量矩阵和集中质量矩阵 283
8.2.2 阻尼矩阵 284
8.3 大型特征值问题的解法 285
8.3.1 系统特征方程及特征解的性质 285
8.3.2 反迭代法（反幂法） 286
8.3.3 子空间迭代法 291
8.3.4 里兹向量直接叠加法 295
8.3.5 Lanczos方法 297
8.4 直接积分法 300
8.4.1 中心差分法 300
8.4.2 Newmark方法 303
8.5 振型叠加法 306
8.6 算例 311
第9章 非线性问题解法 320
9.1 非线性问题 320
9.2 Newton-Raphson迭代法 321
9.3 常刚度迭代——修正的Newton-Raphson方法 326
9.4 载荷增量法 329
9.5 弧长法 331
9.6 线性化及方向导数 335
第10章 材料非线性问题 339
10.1 受轴向力作用的杆 339
10.1.1 微分方程及等效积分弱形式的线性化 339
10.1.2 2结点杆单元 339
10.1.3 1维弹塑性问题 340
10.2 桁架结构的材料非线性分析 348
10.3 一般固体结构的材料非线性 352
10.3.1 有限元方程的一般形式 352
10.3.2 增量应力-应变方程的一般公式 352
10.4 材料非线性分析算例 356
第11章 几何非线性问题 363
11.1 连续介质力学基本概念 363
11.1.1 变形梯度 363
11.1.2 Green-Lagrange应变 369
11.1.3 Cauchy及Piola-Kirchhoff应力 373
11.2 控制微分方程及弱形式 374
11.3 弱形式线性化 378
11.4 单元切线矩阵的一般形式 382
11.5 本构方程 384
11.5.1 Kirchhoff材料 385
11.5.2 可压缩Neo-Hookean材料 385
11.6 平面应力分析 387
11.7 几何非线性分析算例 394
第12章 接触非线性问题 402
12.1 简单的法向接触例子 402
12.1.1 直接解法 402
12.1.2 用法向接触约束求解 403
12.2 有摩擦接触问题 404
12.2.1 求解无摩擦阻力的梁问题 405
12.2.2 摩擦约束函数 406
12.2.3 求解有大摩擦阻力的梁问题 406
12.2.4 求解有小摩擦阻力的梁问题 407
12.3 一般接触问题 407
12.3.1 接触点及间隙计算 408
12.3.2 接触面上的力 413
12.3.3 Lagrange乘子弱形式 413
12.3.4 惩罚公式 415
12.4 接触算例 416
参考文献 434