引言 1
第一章 线性不变量理论的基本概念初步 3
A一般线性不变量理论概述 3
1线性代换.不变量的概念 3
2 GraBmann层量 6
3关于我们的量丛（特别是GraBmann层量）的几何意义 10
4二次型及其不变量 12
5关于二次型的等价 16
6由一个二次型确定仿射度量 20
7关于含同步变量的双线性型和含逆步变量的双线性型 22
B线性不变量理论的意义随向量分析的引入而导致的扩充 26
1关于Erlangen纲领 26
2对三维空间的特殊考察 28
3四元数插话 30
4过渡到向量代数和张量代数的基本概念 33
5向量分析（张量分析）的引入 36
6向量学中的不变量理论表述 40
7关于在Maxwell的Treatise（通论）之后向量学在各国的发展 42
第一章注释 44
第二章 力学与数学物理中的狭义相对论 49
A经典天体力学与Galilei-Newton群的相对论 49
1从n体问题的微分方程看群的定义和意义 49
2 关于经典力学n体问题的10个通积分 53
B Maxwell电动力学和Lorentz群的相对论 55
Ⅰ导论 55
1自由以太的Maxwell方程组 55
2正交形式下的Lorentz群 57
3返回到x，y，z，t 60
4 谈电学和原子的概念在Maxwell的通论发表（1873）后的发展 61
5 关于20世纪以前对Maxwell理论的数学处理 62
6 关于Lorentz群的发展过程 64
7 关于新学说的进一步的传播.1911年及1909年以后的发展 69
Ⅱ在正交形式下Lorentz群的处理 72
1 相应四维分析纲要 72
2 再谈四元数 76
3 关于用积分关系式来代替Maxwell方程组 80
4 四维势以及与之相关的变分定理 83
5 我们的四维分析在具体问题上的应用举例 86
6 Lorentz群的相对论 91
Ⅲ回归Lorentz群的实数关系 92
1导论 93
2 几何的辅助概念 95
3 借助进一步的几何运算完善我们的物理世界图像 103
4 关于偏微分方程？2F/？x2+…-1/c2 ？2F/？t2=0的求积简史 107
5初等光学，特别是几何光学，作为Maxwell方程组的第一级近似 111
C关于力学与Lorentz群的相对论的相适应 112
1从Lorentz群向Galilei-Newton群的极限过渡 112
2 单个质点的动力学 115
3 谈刚体的理论 117
结束语 122
第二章注释 122
第三章 以二次微分形式为基础的解析点变换群 125
A经典力学的一般Lagrange方程 125
引言 125
1 Lagrange方程及其G8群的引入 127
2 Lagrange方程的G8群和Galilei-Newton群.Copernicus坐标系和Ptolemy坐标系 130
3简化变分原理，过渡到几何 132
B建立在GauB的《Disquisitiones circa superficies curvas（曲面理论的一般研究）》的基础之上的二维流形的内蕴几何学 134
1 概述 134
2关于测地线的微分方程 136
3在不变量理论框架中GauB曲面论中几个最简单的定理和概念 138
4谈GauB全曲率概念的引入 139
5关于在任意给定的ds2下全曲率K的解析表示 141
6 Riemann公式的证明以及几种相应的计算 144
7关于两个二元ds2之间的等价.全曲率为常量时的详情 147
C n维Riemann流形Ⅰ.形式基础 149
1历史简述 149
2 只有一阶微分的微分形式 151
3 关于Riemann全曲率的开场白 153
4 测地线方程以及与之相关的不变量 156
5 Riemann的[Ω] 157
6 Riemann全曲率的计算公式 159
D n维Riemann流形Ⅱ.正规坐标.几何意义 160
1Riemann正规坐标及其所属的ds2的结构 160
2限制到O的最近的邻域.KR的一般几何意义 162
3 位置不变量K的几何意义 163
4 最简单的方向不变量的几何意义过渡到平均曲率K（n-1） 165
5 在零全曲率空间或定常全曲率空间中的等价问题 167
E Riemann之后的若干进一步发展 170
1 1870年前后出现的一些人物的个性以及他们的后续影响 170
2 Beltrami的构造不变量的方法 171
3 Lipschitz与Christoffel：通过微分和消元法，特别是通过“逆步微分”构造不变量 174
4谈Christoffel在1869年的论文 176
5 用无限小变换表征不变量（Lie） 180
6 关于一任意张量tik的向量散度 182
结束语 185
第三章注释 185
附录Ⅰ Dr.Felix Klein：对新近以来几何学研究的比较考察 187
附录Ⅱ Bernhard Riemann：单复变量函数一般理论基础 215
附录Ⅲ Bernhard Riemann：论奠定几何学基础之假设 247
附录Ⅳ Bernhard Riemann：对试图回答最著名的巴黎科学院所提出问题的数学评述 259
人名索引 295
专业名词索引 299
译后记 305