第四篇 复变函数 1
1 复数与复变函数 1
1.1 复数 1
1.2 区域 10
1.3 复变函数 14
习题一 26
2 解析函数 29
2.1 函数解析的定义及其充要条件 29
2.2 解析函数的物理解释 31
2.3 解析函数的几何解释 34
2.4 初等函数 37
习题二 43
3 柯西定理 柯西公式 46
3.1 柯西定理与原函数 46
3.2 柯西公式与高阶导数 53
3.3 柯西公式的应用 57
习题三 70
4 留数及其应用 74
4.1 孤立奇点的分类 74
4.2 留数及其计算 81
4.3 留数的应用 86
习题四 98
5 保角映射 102
5.1 分式线性映射 102
5.2 幂函数、指数函数决定的映射 112
5.3 儒可夫斯基映射 118
5.4 保角映射在平面场的应用举例 120
习题五 124
第五篇 数学物理方程 124
6 数学物理方程基础知识 127
6.1 三类典型方程 128
6.2 线性偏微分方程与叠加原理 129
6.3 定解问题 131
6.4 常用公式 135
习题六 139
7 扩散方程 142
7.1 扩散方程与热传导方程的导出 142
7.2 分离变量法——混合问题的求解 147
7.3 非齐次方程与非齐次边界条件的处理 157
7.4 积分变换法——解无穷区域与半无穷区域的扩散问题 166
习题七 170
8 拉普拉斯方程 173
8.1 拉普拉斯方程的物理背景 173
8.2 分离变量法——解某些特殊区域上的边值问题 175
8.3 边值问题的其它解法 188
8.4 格林函数法 194
习题八 203
9 波动方程 205
9.1 波动方程及其定解条件的物理意义 205
9.2 高维波动方程混合问题的分离变量法 209
9.3 一维波动方程的初值问题 213
9.4 高维波动方程的初值问题 225
习题九 230
10 数学物理方程的差分解法 232
10.1 导数的近似表达式 232
10.2 拉普拉斯方程的差分格式 233
10.3 扩散方程的差分格式 239
10.4 波动方程的差分格式 241
习题十 242
11 贝塞尔函数与勒让德函数 243
11.1 贝塞尔函数简述、应用举例 243
11.2 勒让德函数简述、应用举例 254
习题十一 262
习题答案 264
附录 276
A 富氏变换简表 276
B 拉氏变换简表 277
C Γ-函数与贝塞尔函数的公式与图表 279
参考书目 285