第1章 函数、极限与连续 1
1.0 实数概述 1
1.0.1 数的扩充 1
1.0.2 实数的性质 2
1.0.3 区间与邻域 2
1.1 函数 3
1.1.1 函数概念 3
1.1.2 函数的几种特性 5
1.1.3 复合函数与反函数 7
1.1.4 初等函数 9
思考题 10
习题1.1 11
1.2 极限 11
1.2.1 数列极限 12
1.2.2 函数极限 16
1.2.3 函数极限的性质 19
1.2.4 无穷小量与无穷大量 24
思考题 28
习题1.2 28
1.3 函数的连续性 30
1.3.1 函数的连续与间断 30
1.3.2 初等函数的连续性 33
1.3.3 闭区间上连续函数的性质 34
思考题 36
习题1.3 36
1.4 连续函数的应用举例——椅子平稳的数学模型 37
1.4.1 模型假设 37
1.4.2 模型建立 37
1.4.3 模型求解 38
1.4.4 评注 38
小结 38
复习题1 39
微积分发展史略 40
第2章 导数与微分 43
2.1 导数的概念 43
2.1.1 导数产生的实际背景 43
2.1.2 导数的定义 44
2.1.3 导数的几何意义 47
2.1.4 可导与连续的关系 47
思考题 49
习题2.1 49
2.2 导数的基本公式和运算法则 49
2.2.1 基本初等函数的导数 49
2.2.2 函数的和、差、积、商的导数 51
2.2.3 复合函数的导数 53
2.2.4 反函数的导数 55
2.2.5 隐函数的导数 56
2.2.6 对数求导法 59
思考题 60
习题2.2 60
2.3 高阶导数 62
思考题 65
习题2.3 65
2.4 微分 66
2.4.1 微分概念 66
2.4.2 微分的几何意义 68
2.4.3 微分公式和微分法则 68
2.4.4 微分形式的不变性 69
2.4.5 微分的应用 70
思考题 72
习题2.4 72
2.5 变化率问题举例 72
2.5.1 化学反应速度问题 72
2.5.2 种群增长的变化率 73
2.5.3 经济学问题 74
小结 75
复习题2 76
牛顿小传 77
第3章 中值定理及导数应用 80
3.1 微分中值定理 80
拉格朗日小传 83
思考题 84
习题3.1 85
3.2 洛比达法则 85
3.2.1 0/0型不定式 85
3.2.2 ∞/∞型不定式 87
3.2.3 其他类型的不定式 88
思考题 90
习题3.2 90
3.3 泰勒公式 91
3.3.1 泰勒公式 91
3.3.2 几个常用的麦克劳林公式 95
3.3.3 泰勒公式的应用 96
思考题 98
习题3.3 98
3.4 函数的单调性与极值 99
3.4.1 函数单调性的判别法 99
3.4.2 函数的极值 101
3.4.3 最大值、最小值的求法 104
思考题 107
习题3.4 107
3.5 函数的凸性及作图 108
3.5.1 函数的凸性及拐点 108
3.5.2 函数的渐近线 110
3.5.3 函数的作图 111
思考题 113
习题3.5 113
小结 114
复习题3 115
莱布尼茨小传 116
第4章 不定积分 118
4.1 不定积分的概念和性质 118
4.1.1 原函数与不定积分的概念 118
4.1.2 基本积分表 120
4.1.3 不定积分的性质 120
思考题 121
习题4.1 122
4.2 换元积分法与分部积分法 122
4.2.1 换元积分法 122
4.2.2 分部积分法 129
思考题 131
习题4.2 132
4.3 有理函数和可化为有理函数的积分 132
4.3.1 有理函数的积分 132
4.3.2 三角函数有理式的积分 135
4.3.3 简单无理函数的积分 137
思考题 138
习题4.3 138
小结 139
复习题4 139
欧拉小传 140
第5章 定积分及其应用 143
5.1 定积分的概念 143
5.1.1 定积分产生的实际背景 143
5.1.2 定积分的定义 145
5.1.3 可积函数类 147
5.1.4 定积分的性质 148
思考题 150
习题5.1 150
5.2 积分学基本定理 151
5.2.1 变上限的积分 151
5.2.2 牛顿—莱布尼兹公式 152
思考题 153
习题5.2 154
5.3 定积分的计算 154
5.3.1 定积分的换元法 154
5.3.2 定积分的分部积分法 156
思考题 157
习题5.3 158
5.4 广义积分初步 159
5.4.1 无穷区间上的广义积分 159
5.4.2 无界函数的广义积分 161
5.4.3 广义积分的收敛判别法 163
思考题 164
习题5.4 164
5.5 定积分的应用 165
5.5.1 微元法 165
5.5.2 定积分的几何应用 166
5.5.3 定积分的物理应用 172
5.5.4 定积分在生命科学研究方面的应用 174
思考题 175
习题5.5 176
5.6 积分法在经济学方面的应用 177
5.6.1 利润的最大化问题 177
5.6.2 投资和资本的形成 179
5.6.3 资金流量的现值 180
小结 182
复习题5 182
数学与美学 184
第6章 多元函数微积分学 188
6.1 空间解析几何及向量代数的基本知识 188
6.1.1 空间直角坐标系 188
6.1.2 向量的概念及运算 190
6.1.3 空间平面及直线方程 194
6.1.4 空间曲面方程 196
思考题 198
习题6.1 198
6.2 二元函数的极限与连续 199
6.2.1 平面点集 199
6.2.2 二元函数概念 200
6.2.3 二元函数的极限 201
6.2.4 二元函数的连续 203
思考题 204
习题6.2 204
6.3 偏导数与全微分 205
6.3.1 偏导数 205
6.3.2 高阶偏导数 207
6.3.3 全微分 208
6.3.4 全微分的应用 209
思考题 211
习题6.3 211
6.4 复合函数与隐函数的微分法 211
6.4.1 复合函数的微分法 212
6.4.2 隐函数的微分法则 215
思考题 216
习题6.4 217
6.5 二元函数的极值 217
6.5.1 二元函数的极值 217
6.5.2 最小二乘法 220
思考题 223
习题6.5 223
6.6 二重积分 223
6.6.1 二重积分的概念 224
6.6.2 二重积分的性质 225
6.6.3 二重积分的计算 225
6.6.4 二重积分的应用 230
思考题 231
习题6.6 231
小结 232
复习题6 233
高斯小传 235
第7章 常微分方程 237
7.1 常微分方程的基本概念 237
思考题 239
习题7.1 239
7.2 一阶微分方程 240
7.2.1 可分离变量的微分方程 240
7.2.2 齐次方程 243
7.2.3 一阶线性微分方程 245
7.2.4 伯努利方程 247
思考题 251
习题7.2 252
7.3 可降阶的高阶微分方程 253
7.3.1 dny/dxn=f（x）型微分方程 253
7.3.2 y″=f（y,y′）型微分方程 254
7.3.3 y″=f（x,y′）型微分方程 257
思考题 258
习题7.3 258
7.4 二阶线性微分方程 259
7.4.1 二阶线性微分方程解的结构 259
7.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程 261
7.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程 264
7.4.4 线性微分方程组举例 268
思考题 269
习题7.4 269
7.5 微分方程模型举例 270
7.5.1 建立模型的步骤与方法 270
7.5.2 单种群生长模型 270
7.5.3 流行病学模型 275
7.5.4 减肥问题的数学模型 278
7.5.5 药物动力学房室模型 279
习题7.5 282
小结 283
复习题7 283
数学模型方法 284
第8章 无穷级数 287
8.1 数项级数的概念和性质 287
8.1.1 无穷级数的概念 287
8.1.2 无穷级数的性质 290
思考题 291
习题8.1 291
8.2 数项级数的收敛判别法 292
8.2.1 正项级数及其收敛判别法 292
8.2.2 交错级数及其收敛判别法 296
8.2.3 绝对收敛和条件收敛 297
思考题 299
习题8.2 300
8.3 幂级数及函数的幂级数展开 300
8.3.1 幂级数及其收敛区间 301
8.3.2 幂级数的运算性质 305
8.3.3 泰勒级数 307
8.3.4 幂级数的应用举例 313
思考题 315
习题8.3 316
小结 318
复习题8 318
附录1 简明不定积分表 320
附录2 复习题答案 324
附录3 初等数学常用公式 331
符号说明 335