第1章 引言 1
1.1 误差、有效数字与机器数系 1
1.1.1 误差的来源与概念 1
1.1.2 误差的传播 4
1.1.3 有效数字 4
1.1.4 机器数系 5
1.2 数值计算陷阱的防范措施 6
1.2.1 注意防止大数吃小数 6
1.2.2 防止计算过程结果溢出 8
1.2.3 防止两个相近的数做减法 8
1.2.4 防止用0做除数 9
1.2.5 要尽量减少计算量，简化计算公式 10
1.2.6 要用稳定的数值计算格式 11
1.2.7 熟悉提高程序运行效率的常用方法 12
1.3 典型例题分析 14
第2章 插值法 17
2.1 插值问题 17
2.1.1 基本概念 17
2.1.2 插值多项式的存在与唯一性 18
2.2 Lagrange（拉格朗日）插值法 19
2.2.1 Lagrange插值多项式 19
2.2.2 插值多项式的余项 22
2.2.3 典型例题分析 24
2.3 Newton插值多项式与差商 27
2.3.1 差商的定义与性质 28
2.3.2 Newton插值多项式和余项表达式 30
2.3.3 典型例题分析 32
2.4 差分与等距节点插值 35
2.4.1 差分及其性质 35
2.4.2 等距节点插值公式 37
2.4.3 典型例题分析 38
2.5 Hermite（埃尔米特）插值 39
2.5.1 Hermite插值多项式及其余项 39
2.5.2 典型例题分析 41
2.6 分段插值法 44
2.6.1 多项式插值的缺陷与Runge现象 44
2.6.2 分段线性插值 45
2.6.3 分段二次插值 46
2.6.4 典型例题分析 47
2.7 三次样条插值函数 48
2.7.1 三次样条的定义和定解条件 48
2.7.2 构造样条插值函数的方法 50
2.7.3 三次样条函数的误差估计 54
2.7.4 典型例题分析 55
第3章 线性方程组的直接解法 58
3.1 问题提出 58
3.2 Gauss（高斯）消去法 59
3.2.1 三角形方程组的解法 59
3.2.2 Gauss消去法 60
3.2.3 Gauss消去法的计算量 62
3.2.4 Gauss消去法的矩阵解释 63
3.2.5 Gauss消去法的条件 64
3.2.6 列主元和全主元消去法 66
3.2.7 典型例题分析 67
3.3 追赶法 68
3.3.1 追赶法 69
3.3.2 典型例题分析 70
3.4 矩阵的三角分解 72
3.4.1 矩阵分解的紧凑格式 72
3.4.2 改进的平方根法 75
3.4.3 带列主元的三角分解法 76
3.4.4 典型例题分析 77
3.5 向量范数和矩阵范数 81
3.5.1 向量范数 81
3.5.2 矩阵范数 84
3.5.3 典型例题分析 89
3.6 摄动理论与误差分析初步 92
3.6.1 条件数与摄动理论 92
3.6.2 Gauss消去法的浮点数舍入误差分析 98
3.6.3 病态检测与改善 99
3.6.4 典型例题分析 100
第4章 解线性方程组的迭代法 102
4.1 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的构造 102
4.1.1 Jacobi（雅可比）迭代法的构造 103
4.1.2 Gauss-Seidel迭代法的构造 104
4.1.3 典型例题分析 105
4.2 迭代法的收敛性 107
4.2.1 一阶定常迭代法的收敛性 107
4.2.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性 110
4.2.3 迭代法的收敛速度 112
4.2.4 典型例题分析 112
4.3 SOR（逐次超松弛）迭代法 115
4.3.1 SOR方法的构造 115
4.3.2 SOR方法的收敛性 117
4.3.3 相容次序与最佳松弛因子的选择 118
4.3.4 典型例题分析 119
第5章 方程求根 122
5.1 方程根的存在性、唯一性与二分法 122
5.1.1 方程根的存在与唯一性 122
5.1.2 有根区间的确定方法 123
5.1.3 二分法 123
5.1.4 典型例题分析 125
5.2 迭代法的基本概念与收敛性 128
5.2.1 迭代法的基本概念 128
5.2.2 Picard迭代的收敛性 129
5.2.3 迭代格式的收敛速度 135
5.2.4 典型例题分析 136
5.3 加速方法 138
5.3.1 Aitken加速法 138
5.3.2 其他加速技巧 139
5.3.3 典型例题分析 140
5.4 Newton-Raphson迭代法 141
5.4.1 Newton-Raphson迭代法的构造 141
5.4.2 Newton法的收敛性 142
5.4.3 Newton法的改进措施 144
5.4.4 求非线性方程组的Newton法 145
5.4.5 典型例题分析 146
5.5 割线法 149
5.6 代数方程求根 151
5.6.1 多项式求值的秦九韶算法 151
5.6.2 代数方程的Newton法 153
5.6.3 代数方程的劈因子法 153
5.6.4 典型例题分析 156
第6章 数据拟合与函数逼近 158
6.1 矩阵的广义逆 158
6.1.1 广义逆的定义与性质 159
6.1.2 典型例题分析 161
6.2 方程组的最小二乘解 162
6.2.1 最小二乘解的定义与存在唯一性 163
6.2.2 典型例题分析 166
6.3 矩阵的正交分解与方程组的最小二乘解 167
6.3.1 Gram-Schmidt正交化方法与方程组的最小二乘解 167
6.3.2 Householder变换法 170
6.3.3 矩阵的奇异值分解与方程组的最小二乘解 174
6.3.4 典型例题分析 176
6.4 正交多项式 179
6.4.1 Chebyshev（切比雪夫）多项式 179
6.4.2 Chebyshev正交多项式的应用与函数系的线性无关性 181
6.4.3 一般正交多项式 185
6.4.4 典型例题分析 186
6.5 数据拟合 187
6.5.1 问题的提法和预备知识 187
6.5.2 最小二乘拟合问题的求解与正规方程组 188
6.5.3 正交多项式在数据拟合问题中的应用 192
6.5.4 典型例题分析 193
6.6 函数逼近初步 196
6.6.1 函数逼近问题的提法与逼近函数的存在性 196
6.6.2 最佳平方逼近 197
6.6.3 最佳一致逼近 200
6.6.4 典型例题分析 202
第7章 数值积分与数值微分 206
7.1 数值积分的基本思想与代数精度 206
7.1.1 数值积分的基本思想 206
7.1.2 插值型求积公式 208
7.1.3 代数精度 208
7.1.4 典型例题分析 209
7.2 Newton-Cotes（牛顿-科茨）型求积公式 210
7.2.1 Newton-Cotes型求积公式的导出 210
7.2.2 几种低阶求积公式的余项 212
7.2.3 复化求积法 214
7.2.4 典型例题分析 215
7.3 区间逐次二分法与Romberg算法 217
7.3.1 区间逐次二分法 217
7.3.2 复化求积公式的阶 219
7.3.3 Romberg算法 219
7.3.4 典型例题分析 222
7.4 Gauss（高斯）型积分公式 223
7.4.1 基本概念 223
7.4.2 Gauss点 225
7.4.3 Gauss-Legendre（高斯-勒让德）求积公式 226
7.4.4 稳定性和收敛性 227
7.4.5 带权Gauss型求积公式 229
7.4.6 典型例题分析 230
7.5 数值微分简介 230
7.5.1 插值型求导公式 230
7.5.2 三次样条插值求导 233
7.5.3 典型例题分析 234
第8章 常微分方程数值解法 235
8.1 常微分方程初值问题 235
8.1.1 初值问题的提法与解的存在性 235
8.1.2 方程的离散化方法 236
8.1.3 几个基本概念 238
8.1.4 整体截断误差、局部截断误差与差分格式的阶 238
8.1.5 Euler显式格式的几何解释 239
8.1.6 典型例题分析 240
8.2 Runge-Kutta（龙格-库塔）法 241
8.2.1 Runge-Kutta法的基本思想 241
8.2.2 四级四阶Runge-Kutta法 243
8.2.3 步长的选取 244
8.2.4 典型例题分析 245
8.3 单步法的收敛性和稳定性 245
8.3.1 Euler显式格式的收敛性 246
8.3.2 一般单步法的收敛性 248
8.3.3 单步法的稳定性 250
8.3.4 典型例题分析 252
8.4 线性多步法 253
8.4.1 Adams外推法 253
8.4.2 Adams内插法 255
8.4.3 Adams预报-校正格式 256
8.4.4 典型例题分析 256
8.5 常微分方程组与边值问题的数值解法 257
8.5.1 一阶方程组 257
8.5.2 化高阶方程为一阶方程组 258
8.5.3 边值问题的差分解法 258
8.5.4 典型例题分析 259
第9章 矩阵特征值与特征向量的计算 261
9.1 幂法与反幂法 261
9.1.1 幂法 261
9.1.2 幂法的加速 265
9.1.3 反幂法 267
9.1.4 典型例题分析 269
9.2 Jacobi（雅可比）方法 271
9.2.1 预备知识 271
9.2.2 Jacobi方法 272
9.2.3 Jacobi过关法 276
9.2.4 典型例题分析 276
9.3 QR算法 277
9.3.1 QR分解 277
9.3.2 QR算法 279
9.3.3 典型例题分析 280
附录1 上机实习 282
A1.1 插值问题 282
A1.2 线性方程组的求解 282
A1.3 矩阵条件数的估计 283
A1.4 方程求根 284
A1.5 曲线拟合问题 284
A1.6 数值积分 285
A1.7 常微分方程初（边）值问题 286
A1.8 矩阵特征值计算 287
附录2 理工科专业期末考试模拟题 288
A2.1 理工科专业“计算方法”模拟题A 288
A2.2 理工科专业“计算方法”模拟题B 289
A2.3 理工科专业“计算方法”模拟题C 290
A2.4 理工科专业“计算方法”模拟题D 291
A2.5 理工科专业“计算方法”模拟题E 292
A2.6 理工科专业“计算方法”模拟题F 294
A2.7 理工科专业“计算方法”模拟题A答案 295
A2.8 理工科专业“计算方法”模拟题B答案 298
A2.9 理工科专业“计算方法”模拟题C答案 299
A2.10 理工科专业“计算方法”模拟题D答案 301
A2.11 理工科专业“计算方法”模拟题E答案 302
A2.12 理工科专业“计算方法”模拟题F答案 303
附录3 数学专业考试模拟题 308
A3.1 数学专业“数值分析”模拟题A 308
A3.2 数学专业“数值分析”模拟题B 309
A3.3 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题A 310
A3.4 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题B 311
A3.5 数学专业“数值分析”模拟题A答案 312
A3.6 数学专业“数值分析”模拟题B答案 313
A3.7 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题A答案 315
A3.8 数学专业硕士研究生入学考试“数值分析”模拟题B答案 320
参考文献 327