第1篇 复变函数 1
第1章 复数和复变函数 1
1.1 复数及其表示 1
1.1.1 复数的定义 1
1.1.2 复数的表示 1
1.2 复数的运算及其几何意义 3
1.2.1 复数的四则运算 4
1.2.2 复数的乘方和方根 5
1.2.3 共轭复数及其性质 7
1.2.4 曲线的复数方程 9
1.3 平面点集和区域 9
1.3.1 复平面上的点集 9
1.3.2 区域与简单曲线 10
1.4 复变函数 12
1.4.1 复变函数的概念 12
1.4.2 曲线在映射下的像 14
1.5 复球面与无穷远点 16
1.5.1 复球面 16
1.5.2 扩充复平面上的几个概念 17
习题1 17
第2章 解析函数 20
2.1 复变函数的极限和连续 20
2.1.1 复变函数的极限 20
2.1.2 复变函数的连续性 22
2.2 解析函数的概念 23
2.2.1 复变函数的导数 23
2.2.2 解析函数的概念 25
2.3 函数解析的充要条件 26
2.4 解析函数的物理意义 31
2.4.1 调和函数 31
2.4.2 解析函数与调和函数的关系 32
2.4.3 正交曲线族 34
2.5 初等解析函数 36
2.5.1 指数函数 36
2.5.2 对数函数 37
2.5.3 幂函数 39
2.5.4 三角函数 40
2.5.5 反三角函数与反双曲函数 43
习题2 45
第3章 复变函数的积分 48
3.1 复变函数的积分 48
3.1.1 复变函数积分的概念 48
3.1.2 积分的存在性及其计算公式 49
3.1.3 积分的基本性质 53
3.2 柯西定理 54
3.2.1 柯西定理的表述与推论 55
3.2.2 原函数与不定积分 56
3.2.3 柯西定理的推广 58
3.3 柯西积分公式 60
3.4 解析函数的高阶导数 63
3.4.1 解析函数的重要性质 63
3.4.2 柯西不等式 66
3.4.3 解析函数的等价概念 67
习题3 68
第4章 解析函数的级数展开 71
4.1 复数项级数与复函数项级数 71
4.1.1 数列的极限 71
4.1.2 复数项级数 72
4.1.3 复函数项级数 76
4.2 幂级数 77
4.2.1 幂级数的概念 77
4.2.2 收敛圆与收敛半径 78
4.2.3 幂级数的运算和性质 80
4.3 泰勒级数 82
4.3.1 解析函数的泰勒展开式 82
4.3.2 初等函数的泰勒展开式 85
4.4 罗朗级数 88
4.5 孤立奇点 96
4.5.1 可去奇点 96
4.5.2 极点 97
4.5.3 本性奇点 100
4.5.4 函数在无穷远点的性态 101
习题4 103
第5章 留数及其应用 107
5.1留 数的概念与计算 107
5.1.1 留数的概念及留数定理 107
5.1.2 留数的计算 108
5.1.3 在无穷远点的留数 113
5.2 留数在定积分计算中的应用 118
5.2.1 计算 ？R(cos x,sin x）dx型积分 119
5.2.2 计算？dx型积分 121
5.2.3 计算 ？(x)e？dx型积分 123
5.3 对数留数与辐角原理 128
5.3.1 对数留数 129
5.3.2 辐角原理 130
5.3.3 儒歇定理 132
习题5 135
第6章 保角映射 138
6.1 保角映射的概念 138
6.1.1 导数的几何意义 138
6.1.2 保角映射的概念 140
6.2 分式线性映射 142
6.2.1 分式线性映射 142
6.2.2 分式线性映射的性质 144
6.2.3 3类典型的分式线性映射 147
6.3 几个初等函数所构成的映射 152
6.3.1 幂函数与根式函数 153
6.3.2 指数函数与对数函数 155
6.3.3 儒可夫斯基函数 160
习题6 163
第2篇 积分变换 166
第7章 傅里叶变换 166
7.1 傅里叶积分公式 167
7.1.1 傅里叶级数 167
7.1.2 傅里叶积分公式 169
7.2 傅里叶变换 172
7.2.1 傅里叶变换的定义 172
7.2.2 余弦与正弦傅里叶变换 176
7.3 广义傅里叶变换 177
7.3.1 δ函数 177
7.3.2 δ函数的性质 179
7.3.3 基本函数的广义傅里叶变换 182
7.4 傅里叶变换与逆变换的性质 184
7.4.1 傅里叶变换的基本性质 184
7.4.2 傅里叶变换的卷积与卷积定理 191
习题7 193
第8章 拉普拉斯变换 196
8.1 拉普拉斯变换的概念 196
8.1.1 拉普拉斯变换的存在性 196
8.1.2 常用函数的拉普拉斯变换 199
8.1.3 拉普拉斯变换的积分下限 203
8.2 拉普拉斯变换的性质 204
8.3 拉普拉斯逆变换 213
8.3.1 复反演积分公式 213
8.3.2 利用留数定理求像原函数 214
8.4 拉普拉斯变换的卷积与卷积定理 216
8.5 拉普拉斯变换解常微分方程定解问题 218
8.5.1 常微分方程初始值问题 219
8.5.2 常微分方程组的初始值问题 219
8.5.3 常微分方程的边值问题 220
8.5.4 积分微分方程定解问题 221
习题8 221
习题答案 225
习题1 225
习题2 226
习题3 228
习题4 228
习题5 231
习题6 232
习题7 233
习题8 234
附录 236
附录1 傅氏变换简表 236
附录2 拉氏变换简表 243