目录 1
中译版序 1
第一章紧致法 1
俄译本编者序 2
1．相对论量子力学中的一个非线性双曲型方程 2
1.1问题的提法 2
1.2泛函空间 3
序言 6
1.3第一个存在定理 6
1.4定理1.1的证明 8
1.5唯一性定理 13
1.6关于光滑性的一个结果 15
1.7关于光滑性的另一结果．专门基 19
1.8能量不等式和等式 21
1.9几个附注 26
2．整体的先验估计不存在时的例子和反例 27
2.1没有整体的先验估计的双曲型方程 27
2.2集合W 28
2.3稳定性定理 31
2.4一个不存在性定理 33
2.5附注 36
3．非线性双曲型方程的其他例子 37
3.1问题的提法 37
3.2存在性与唯一性定理 37
4．非线性波动问题 42
4.1发展方程 42
4.2光滑化发展方程 48
4.3定常情况 51
4.4定常情况．光滑性 54
5.1一般说明 55
5．致密性引理 55
5.2致密性引理 56
5.3定理5.1的应用 60
6．Navier-Stokes方程（发展情况） 63
6.1问题的提法 63
6.2二维空间情况．唯一性 68
6.3专门的基 70
6.4存在定理6.1的证明；第一种方法 73
6.5存在定理的证明；第二种方法 76
6.6关于光滑性的定理 78
6.7关于整体强解的存在定理 80
6.8唯一性定理 82
6.9粘性的相关性 85
7.1齐次问题 97
7．Navier-Stokes方程（定常情况） 97
7.2非齐次问题 100
8．一个强非线性抛物型方程的例子 105
8.1 问题的提法 105
8.2先验估计．一般附注 105
8.3应用估计 108
8.4定理的表述 109
8.5引理8.1的证明 110
8.6定理8.1中存在性的证明 113
8.7定理8.1中唯一性的证明 118
9．关于共轭和成对问题 118
9.1一个关于共轭的抛物－双曲问题 118
9.2耦合方程 127
10.2存在唯一性定理 129
10.1问题的提法 129
10．非线性Schr？dinger方程 129
11．在无限与有限边界的流形上的非线性方程 132
11.1问题的提法 132
11.2在流形Г上的问题 133
11.3结果 134
11.4具有限边界的流形的情况 137
12．非线性退化发展方程 138
12.1问题的提法 138
12.2关于致密性的一个补充结果 139
1 2.3问题的解 142
13．问题 145
14．评述 147
1．单调的抛物型方程 152
1.1例．P＞2的情况 152
第二章单调性方法和单调性——致密性方法 152
1.2存在性的证明 154
1.3唯一性的证明 159
1.4一个一般的结果 159
1.5一般结果的应用 161
1.6光滑性的结果 164
1.7可和单调算子 165
2．定常问题 168
2.1第一个一般性结果 168
2.2唯一性定理．映像对偶性 170
2.3例 174
2.4拟单调算子 175
2.5变分型算子．公理化研究 176
2.6变分型算子．例 179
3.1一般评论 187
3．基本空间的替代物．应用 187
3.2例．非线性扩散问题 188
3.3自由边界问题 193
4．流形上的非线性发展问题 200
4.1问题的提法 200
4.2算子？ 201
4.3在Γ上的等价问题 203
5．一类磨光的Navier-Stokes方程． 204
致密性方程和单调性方法 204
5.1一般的评论．问题的提法 204
5.2问题5.1的存在性定理 206
5.3一个唯一性定理 213
5.4问题5.3的研究 214
6.1问题的提法．存在唯一性定理 219
6．单调性方法和非线性双曲型方程 219
6.2存在性的证明 220
6.3唯一性的证明 224
7．用定常算子逼近发展算子的近似方法 225
7.1一般评论 225
7.2抽象发展方程的存在性定理 226
7.3应用（Ⅰ）．抛物型方程 233
7.4应用（Ⅱ）．周期问题 235
7.5应用（Ⅲ） 236
7.6应用（Ⅳ） 237
7.7其他的附注 238
8．椭圆型变分不等式 240
8.1例子和一般说明 240
8.2椭圆变分不等式的存在性定理 244
8.3解的集合 248
8.4应用 249
8.5变分 250
8.6用次微分来解释变分不等式 253
8.7光滑性 254
8.8比较定理 263
8.9其他类型的例子 264
9．发展抛物型不等式 266
9.1问题的提法 266
9.2一致性条件．例 269
9.3“弱”解的存在定理 271
9.4“弱”解的唯一性定理 276
9.5应用 277
9.6光滑性定理 287
9.7各种附注 296
10.1发展方程 300
10．各种补充 300
10.2发展不等式 302
11．问题 303
12．评述 307
第三章正则化方法和Strafe方法（惩罚法） 311
1．椭圆型正则化和发展方程 311
1.1一般说明 311
1.2极大性引理 314
1.3用椭圆型正则化证明的第一存在定理 317
1.4用椭圆型正则化证明的第二存在定理 320
2．应用 322
2.1一般抛物型问题 322
2.2一般抛物型问题．周期解 329
2.3一阶非线性双曲型方程组 331
2.4一阶非线性双曲型方程组和非线性输运方程 333
2.5非线性Schr？dinger方程 335
2.6一个变型的非线性方程 339
2.7在非柱形区域中的非线性抛物型问题 346
2.8非线性混合型问题 348
3．抛物型正则化和双曲变分不等式 349
3.1问题的提法 349
3.2一个一般结果 350
3.3应用 357
4．抛物型正则化和KdV方程 365
4.1问题的提法．能量积分 365
4.2存在性定理．抛物型正则化 366
4.3各种附注 371
5．惩罚法和椭圆型变分不等式 372
5.1一般说明 372
5.2惩罚算子 373
5.3惩罚法的应用 375
5.4例 378
5.5关于光滑性的结果 382
5.6各种附注 384
6．惩罚法和抛物型发展变分不等式 385
6.1一般方法 385
6.2例子和对光滑性问题的应用 389
6.3非零初值 394
6.4 Navier-Stokes算子的单边问题（或不等式）（Ⅰ） 398
6.5 Navier-Stokes算子的单边问题（或不等式）（Ⅱ） 402
7．惩罚法和双曲型发展变分不等式 407
7.1线性算子 407
7.2例 412
7.3非线性双曲型算子不等式的例子 414
8.1一个双曲型例子 418
8．惩罚法和非柱形区域中的非线性问题 418
8.2各种附注 422
9．其他类型的近似 422
9.1用抛物型不等式近似椭圆型不等式 422
9.2新的单边问题 425
10．借助于正则化的多值算子近似 427
10.1多值双曲型方程 427
10.2多值双曲型不等式 430
11．问题 430
12．评述 432
第四章迭代法．特解 434
1．借助于有限差分法的逼近 435
1.1一般说明 435
1.2半离散和变分不等式 435
1.3空间半离散；应用于一维抛物型方程 441
2．利用分裂法近似 451
2.1 Т.Карлеман的一个问题．定理的表述 451
2.2唯一性的证明 452
2.3分裂法 453
2.4先验估计 456
2.5极限过程．存在性定理的证明 461
3．通过截断逼近 463
3.1问题的提法．结果的表述 463
3.2截断法 464
3.3定理3.1的证明 465
3.4一个不等式的例子 466
4．借助于Cauchy-Ковалевская型方程组的逼近 470
4.1一般说明 470
4.2 Navier-Stokes方程 470
4.3流形上的方程 476
5．序列逼近 479
5.1一般说明 479
5.2方程？-？u-u1+？=0 479
5.3在Gevrey型空间中的一个非线性积分－微分方程 483
6．周期解．抛物型情况 487
6.1一般说明 487
6.2 Navier-Stokes方程的周期解 488
6.3关于单边问题的附注 491
7．周期解．双曲型情况 494
7.1一般说明 494
7.2借助于椭圆型正则化解双曲型问题（7.7）,（7.8） 496
7.3双曲型不等式的周期解 500
8．当t很大时的性态 510
8.1一般说明 510
8.2具有单调抛物型算子的发展方程在R？上的有界解 511
8.3抛物型不等式情况 517
8.4各种附注 521
9．和最优控制相联系的非线性偏微分方程的某些例子 521
9.1一般说明 521
9.2关于无界的控制问题 522
9.3用人为发展问题来逼近 523
9.4人为发展问题的分裂 524
9.5原来控制问题的分裂 526
9.6例 527
9.7各种附注 528
10．问题 531
11．评述 534
基本符号 538
参考文献 540