第一章 微分几何基础 1
1.1 曲线论预备知识 1
1.1.1 曲线的参数方程和矢量方程 1
1.1.2 矢函数 3
1.1.3 导矢在曲线、曲面造型中的应用 4
1.1.4 弧长参数化 7
1.2 曲线论基本公式 8
1.2.1 活动标架 8
1.2.2 曲线论的基本公式 10
1.2.3 曲率的几何意义及其计算 12
1.2.4 挠率的几何意义及其计算 13
1.2.5 曲线论基本公式的应用 14
1.3 曲面论预备知识 16
1.3.1 曲面的参数方程和矢量方程 16
1.3.2 曲面上参数曲线的切矢 18
1.3.3 二元函数的全微分 19
1.3.4 复合函数的偏导数 20
1.3.5 曲面上曲线的切矢和曲面的法矢 20
1.3.6 曲面的等距面 22
1.4.2 曲面第一基本公式的应用 23
1.4.1 曲面的第一基本公式 23
1.4 曲面论基本公式 23
1.4.3 曲面的局部坐标系 25
1.4.4 曲面的第二基本公式 25
1.4.5 法曲率，Meusnier定理 26
1.4.6 主曲率、主方向、曲率线 28
1.4.7 Gauss曲率和平均曲率 29
1.4.8 Euler定理 31
参考文献 31
2.1 插值三次样条函数的物理背景 32
第二章 插值样条函数 32
2.2 插值三次样条函数 33
2.2.1 基本概念 33
2.2.2 用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数——m关系式 34
2.2.3 插值三次样条函数的计算步骤 38
2.2.4 实例 38
2.2.5 用型值点处的二阶导数表示插值三次样条函数——M关系式 40
2.2.6 插值双三次样条函数 42
2.3 插值三次样条函数的局限性 42
参考文献 42
3.1.1 Ferguson曲线的表达式 44
第三章 参数样条曲线、曲面 44
3.1 Ferguson曲线 44
3.1.2 合成Ferguson曲线 46
3.2 参数样条曲线 49
3.2.1 累加弦长三次参数样条曲线 49
3.2.2 参数样条曲线的端点条件 50
3.2.3 参数样条曲线的计算步骤 51
3.2.4 切矢模长对曲线形态的影响及其选择 51
3.3.1 曲面片 52
3.3.2 Ferguson曲面片表达式的推导 52
3.3 Ferguson曲面 52
3.3.3 构造Ferguson曲面的步骤 54
3.4 参数样条曲面 55
参考文献 55
第四章 Coons曲面 57
4.1 具有给定边界的Coons曲面 57
4.1.1 曲面表示法与记号 57
4.1.2 插值四个角点的双线性曲面 58
4.1.3 线性插值两条边界的曲面 58
4.1.4 双线性Coons曲面 58
4.2 具有给定边界和跨界切矢的Coons曲面片 59
4.1.5 插值给定边界的Coons曲面的一般形式 59
4.3 具有给定边界及其跨界切矢、跨界二阶导矢的Coons曲面 61
4.4 双三次Coons曲面 62
4.5 建立混合函数的一般方法 64
参考文献 65
第五章 Bézier曲线与曲面 66
5.1 Bézier曲线的定义 66
5.1.1 Bézier曲线的原始定义 66
5.1.2 Bernstein-Bézier曲线 67
5.2.1 Bernstein多项式的性质 68
5.2 Bézier曲线的性质 68
5.2.2 Bézier曲线的性质 69
5.3 Bézier曲线的几何作图法及其应用 71
5.3.1 Bézier曲线的几何作图法 71
5.3.2 Bézier曲线的递归分割算法 71
5.4 Bézier曲线的操作 72
5.4.1 Bézier曲线的修改 72
5.4.2 Bézier曲线的拼接 72
5.5.1 升阶 74
5.5 Bézier曲线的升阶与降阶 74
5.5.2 降阶 75
5.6 有理Bézier曲线 75
5.6.1 有理Bézier曲线 75
5.6.2 二次有理Bézier曲线 75
5.6.3 有理Bézier曲线的递归分割算法 77
5.6.4 有理Bézier同线的升阶和降阶 78
5.6.5 有理Bézier曲线的应用 78
5.7 Bézier曲面 80
5.7.1 Bézier曲面的表达式 80
5.7.2 Bézier曲面的拼接 82
5.7.3 有理Bézier曲面 85
参考文献 87
第六章 B样条的定义和性质 88
6.1 基本概念 88
6.2 Clark关于B样条的定义 89
6.2.1 基函数 89
6.2.2 约束条件 90
6.2.3 n阶连续性要求的B样条基函数 92
6.3.2 用截尾幂函数的差商定义B样条 93
6.3.1 截尾幂函数 93
6.3 用截尾幂函数的差商定义B样条 93
6.3.3 几点结论 104
6.4 B样条的递推定义 104
6.4.1 B样条的递推定义 104
6.4.2 用递推定义构造B样条 105
6.4.3 B样条基函数的递推算法 106
6.5 B样条的性质 106
6.5.1 讨论B样条性质的必要性 106
6.5.2 B样条的局部支柱性质 107
6.5.3 B样条的凸组合性质 108
6.5.4 B样条基函数与Bernstein基函数的关系 109
6.5.5 B样条在节点处的连续特性 109
6.5.6 高次与低次B样条函数之间的关系 110
6.5.7 B样条函数求导的递推性质 111
参考文献 112
第七章 均匀B样条曲线与曲面 113
7.1 二次均匀B样条曲线 113
7.1.1 二次均匀B样条曲线的表达式 113
7.1.2 二次均匀B样条曲线的几何特性 114
7.1.3 用重节点端点条件控制曲线的首、末端点 116
7.2.1 三次均匀B样条曲线的表达式 118
7.2 三次均匀B样条曲线 118
7.2.2 三次均匀B样条曲线的几何特性 119
7.2.3 三次均匀B样条曲线形状的控制 121
7.3 三次均匀B样条曲线边界的控制 122
7.4 三次B样条曲线的插值 125
7.4.1 问题的提出 125
7.4.2 基本方程组 126
7.4.3 端点条件和构造插值三次准均匀B样条曲线的方程组 127
7.6.1 B样条曲面概述 129
7.5 高次B样条曲线 129
7.6 B样条曲面 129
7.6.2 B样条曲面的插值 132
参考文献 136
第八章 非均匀有理B样条(NURBS)曲线和曲面 138
8.1 非均匀B样条曲线与曲面 138
8.1.1 非均匀基B样条基函数的导出 138
8.1.2 非均匀基B样条节点矢量的确定 140
8.1.3 非均匀B样条曲线及其插值 142
8.2.1 有理B样条曲线和曲面 145
8.1.4 非均匀B样条曲面 145
8.2 有理B样条曲线曲面 145
8.2.2 二次有理B样条曲线和曲面 146
8.2.3 三次有理B样条曲线 150
8.3 非均匀有理B样条(NURBS)曲线和曲面 152
8.3.1 NURBS曲线、曲面的定义与性质 152
8.3.2 NURBS曲线曲面的基本算法 154
8.3.3 NURBS曲线和曲面的应用 160
参考文献 168
第九章 Coons类混合B样条(CNSBS)曲面及其向NURBS曲面的转化 170
9.1 插值于四条边界曲线及i(i=1，2，...，n)阶跨界导矢的CNSBS曲面 171
9.2 CNSBS曲面向NURBS曲面的转化 173
9.3 奇异性 178
9.4 一个重要的定理及其证明 179
9.4.1 引理1及其证明 179
9.4.2 引理2及其证明 181
9.4.3 引理3及其证明 182
9.4.4 定理及其证明 183
9.5 关于CNSBS曲面的若干结论 184
参考文献 185
第十章 NURBS方法的其他应用 187
10.1 应用NURBS构造N边域曲面 187
10.1.1 概述 187
10.1.2 构造N边域曲面的Gregory方法 188
10.1.3 应用NURBS构造N边域曲面 190
10.1.4 算法的讨论及其实现 191
10.2 根据给定的(N-1)条边界曲线及其跨界导矢构造N边缘曲面 192
10.2.1 概述 192
10.2.2 根据给定的三条边界曲线及其跨界导矢构造矩形域曲面 192
10.2.3 曲面F(u,v)和G(u,v)向NURBS形式的转化及其奇异性的消除 193
10.2.4 根据给定的(N-1)条边界曲线及其跨界导矢构造N边域曲面 195
参考文献 196
第十一章 三角曲面 198
11.1 三角Bernstein-Bézier曲面 198
11.1.1 三角B-B曲面的原理 198
11.1.2 三角B-B曲面的构造 205
11.2 三角B-B曲面片间参数连接拼接条件 206
11.2.1 参数连续的定义 206
11.2.2 C0，C1和C2连续的拼接条件 207
11.2.3 C1连续三角B-B曲面的构造及相容性问题 208
11.3.1 几何连续的定义 209
11.3.2 n次三角B-B曲面片的G1拼接条件 209
11.3 三角B-B曲面片间几何连续拼接条件 209
11.3.3 三角B-B曲面片G1拼接的相容性问题 211
参考文献 213
第十二章 散乱数据插值曲面 215
12.1 散乱数据三角剖分的基本概念 215
12.1.1 与三角剖分有关的若干定义 215
12.1.2 三角剖分优化准则 216
12.2.1 平面散乱数据的三角剖分 218
12.2 平面和开曲面散乱数据的三角剖分 218
12.2.2 曲面上散乱数据的三角剖分——Choi算法 221
12.3 封闭曲面上散乱数据的三角剖分 227
12.4 三角网格边界条件计算 228
12.4.1 顶点上法矢的计算 229
12.4.2 顶点处沿边界方向切矢的计算 230
12.5 散乱数据插值曲面 230
12.5.1 构造散乱数据插值曲面 230
12.5.2 G1连接四次插值曲面 230
参考文献 233
第十三章 变形造型技术 236
13.1 非自由形变形 236
13.1.1 数学通式 237
13.1.2 几种简单的变形公式 237
13.2 自由变形造型(FFD) 239
13.2.1 基本原理 240
13.2.2 连续性控制 241
13.2.3 局部变形 242
13.2.4 其他参数(如体积)的控制 242
13.2.5 FFD方法的特点与适用范围 243
13.3 直接控制的自由变形造型(DFFD) 244
13.3.1 DFFD算法的提出 244
13.3.2 最小二乘法与矩阵广义逆 245
13.3.3 单点约束 246
13.3.4 多点约束 246
13.3.5 DFFD方法的特点与适用范围 247
13.4 其他自由变形造型技术 247
13.4.1 扩展自由变形造型技术(EFFD) 247
13.4.2 有理自由变形造型技术(RFFD) 248
参考文献 249
14.1 基本原理 250
14.1.1 椭圆型偏微分方程 250
第十四章 用偏微分方程构造曲面 250
14.1.2 椭圆型偏微分方程的求解 251
14.1.3 用偏微分方程构造曲面的基本原理 253
14.2 用偏微分方程构造过渡面 254
14.2.1 笛卡儿坐标系下构造过渡面 255
14.2.2 曲面坐标系下构造过渡面 256
14.2.3 构造一阶连续的过渡面 257
14.3 用PDE方法构造自由曲面 262
14.2.4 小结 262
14.3.1 简单船体设计 263
14.3.2 用PDE方法构造N边域曲面 265
14.4 用偏微分方程数值解构造曲面 269
参考文献 271
第十五章 能量优化法曲线曲面造型 273
15.1 能量优化曲线曲面造型的基本原理 274
15.1.1 能量优化法的基本原理 274
15.1.2 能量模型的处理 276
15.1.3 四条边界曲线约束的能量优化法造型 278
15.2 能量优化法的数学处理方法——数学规划 280
15.2.1 数学规划问题 281
15.2.2 无约束二次规划的处理方法 281
15.2.3 线性约束二次规划的处理方法 281
15.3 几何约束条件的处理 283
15.3.1 控制顶点约束 283
15.3.2 型值点约束 285
15.3.3 (偏)导矢约束 286
15.3.4 法矢约束 287
15.3.5 参数曲线约束 288
15.3.6 参数曲面片约束 291
15.4 能量优化法的几个关键问题 293
15.4.1 材料特性参数的作用 293
15.4.2 施加外载荷调整曲线曲面形状 295
15.4.3 有理曲线曲面的处理 298
15.5 能量优化法的应用 300
参考文献 304
第十六章 小波技术在曲线、曲面造型中的应用 306
16.1 小波和多分辨分析简介 307
16.1.1 离散信号多分辨率表示的基本概念 307
16.1.2 函数多分辨率表示的关键问题 308
16.2.1 B样条小波的定义 309
16.2 B样条小波 309
16.2.2 B样条小波的计算 311
16.2.3 B样条小波的性质 313
16.3 B样条曲线的多分辨率表示 313
16.3.1 函数多分辨率表示的几何意义 313
16.3.2 准均匀三次B样条曲线的小波分解与重构 314
16.3.3 准均匀三次B样条曲线的多分辨率表示 318
16.3.4 任意B样条曲线的多分辨率表示 320
16.4.1 准均匀双三次B样条曲面的小波分解与重构 321
16.3.5 B样条曲线多分辨率表示的意义 321
16.4 B样条曲面的多分辨率表示 321
16.4.2 任意B样条曲面的多分辨率表示 323
16.4.3 曲面多分辨率表示的特点与应用 324
16.5 基于小波的曲线曲面光顺误差控制 327
16.5.1 曲线光顺误差的控制 327
16.5.2 曲面光顺误差的控制 328
参考文献 330
17.1.1 曲面求交算法应满足的要求 332
17.1 曲面求交的基本概念 332
第十七章 曲面求交算法 332
17.1.2 曲面求交的基本类型 333
17.1.3 参数/参数曲面求交的基本方法 334
17.2 曲面求交的分割法 335
17.2.1 曲面分割求交的原理 335
17.2.2 关于曲面分割求交的几点注记 335
17.3 曲面求交中的迭代法 338
17.3.1 曲面迭代求交的原理 338
17.2.3 曲面分割求交的算法步骤 338
17.3.2 迭代求交的具体方法 339
17.3.3 关于迭代求交法的二点注记 342
17.4 曲面求交的追踪法 342
17.4.1 追踪法求交的提出 342
17.4.2 追踪法求交的原理 342
17.4.3 追踪法求交的实施 343
17.5 曲面交线的表达 345
参考文献 346
18.1 曲线、曲面光顺的基本问题 348
18.1.1 光顺准则 348
第十八章 曲线、曲面的光顺处理 348
18.1.2 光顺处理的方法 350
18.2 曲线的光顺处理 352
18.2.1 选点修改法 352
18.2.2 整体优化法 355
18.2.3 局部优化法 361
18.2.4 带约束条件的光顺处理 363
18.2.5 对型值点光顺的离散能量法 364
18.3 曲面的光顺处理 366
18.3.1 曲面光顺的能量法 366
18.3.2 网格能量法 370
18.4 曲面的光顺性检查 372
18.4.1 基于曲率的方法 372
18.4.2 基于光照模型的方法 373
18.4.3 等高线法 375
18.4.4 基于线性变换的方法(构造辅助曲面) 375
18.4.5 各种方法的比较 376
参考文献 376
附录A 追赶法 379
附录B 差分、差商及其性质 381
附录C 英汉CAD/CAM词汇对照 387