前言 1
引 言 1
1应力状态 2
1.1 应力张量及其不变量 2
1.1.1 应力张量 2
1.1.2 应力张量不变量 3
1.2 应力偏张量及其不变量 4
1.2.1 应力偏张量 4
1.2.2 应力偏张量不变量 5
1.3 应力强度 6
1.4 应力空间 8
1.5 应力 9
1.5.1 欧拉（Euler）应力 9
1.5.2 第一类Piola-Kirchhoff应力 10
1.5.3 第二类Piola-Kirchhoff应力 10
1.6 应力客观率 11
2应变状态 13
2.1 变形和应变的描述 13
2.1.1 欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）坐标 13
2.1.2 欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）描述 14
2.1.3 变形梯度 14
2.1.4 位移、位移梯度 15
2.1.5 应变的描述 15
2.2 应变张量及其不变量 16
2.2.1 应变张量 16
2.2.2 应变张量不变量 17
2.3 应变偏张量及其不变量 18
2.3.1 应变偏张量 18
2.3.2 应变偏张量不变量 19
2.4 应变强度 19
2.5 应变 20
2.5.1 应变的定义 20
2.5.2 线元的几何 21
2.5.3 工程应变 22
2.5.4 格林（Green）应变 23
2.5.5 阿尔芒斯（Almansi）应变 25
2.5.6 对数应变 26
2.6 应变之间的关系 27
2.7 应变率 28
2.7.1 物质导数和空间导数 28
2.7.2 速度梯度张量 29
3物理关系 31
3.1 塑性基础 31
3.1.1 概述 31
3.1.1.1 塑性分析理论概况 31
3.1.1.2 塑性初步 31
3.1.2 梁弯曲及回弹的概念 32
3.1.2.1 一般等截面直梁的纯弯曲及回弹 32
3.1.2.2 矩形截面梁的纯弯曲及回弹 35
3.1.3 屈服面 36
3.2 屈服条件 38
3.2.1 屈服条件 38
3.2.2 各向同性材料的屈服条件 38
3.2.2.1 特雷斯卡（Tresca）屈服条件 39
3.2.2.2 米赛斯（Mises）屈服条件 39
3.2.2.3 米赛斯（Mises）和特雷斯卡（Tresca）屈服条件 41
3.2.2.4 斯密特（Schmidt）屈服条件 42
3.2.3 其他各向同性材料的屈服条件 43
3.2.3.1 杜洛克-布朗哥（Drucker Prager）屈服条件 43
3.2.3.2 莫尔-库仑（Mohr-Coulomb）屈服条件 43
3.2.3.3 更精确的屈服条件 44
3.2.4 正交各向异性材料的屈服条件 46
3.2.5 后继屈服条件的基本概念 48
3.3 加载和卸载 48
3.3.1 加载方式和加载准则 49
3.3.2 加载准则 49
3.3.2.1 强化材料的加载准则 49
3.3.2.2 理想弹塑性材料的加载准则 51
3.3.3 按普朗特-路埃斯（Prandtl-Reuss）流动法则的加载准则 51
3.4 强化（硬化）理论 52
3.4.1 强化（硬化） 52
3.4.2 各向同性应变强化（硬化）理论 54
3.4.2.1 各向同性应变强化（硬化）模型 54
3.4.2.2 一维应力各向同性应变强化（硬化） 56
3.4.2.3 二维应力各向同性应变强化（硬化） 56
3.4.2.4 各向同性加工硬化 58
3.4.2.5 三维应力状态各向同性应变强化（硬化） 59
3.4.3 随动强化（硬化）理论 59
3.4.3.1 随动强化（硬化）模型 59
3.4.3.2 一维应力随动强化（硬化） 60
3.4.3.3 二维应力随动强化（硬化） 61
3.4.4 动态强化（硬化）理论 62
3.4.5 混合强化（硬化）理论 65
3.5 应力-应变关系 67
3.5.1 弹性介质应力-应变的一般关系 67
3.5.1.1 单向应力与应变关系 67
3.5.1.2 一般应力状态下弹性应力-应变模型（广义Hooke定律） 68
3.5.1.3 单向应力状态下塑性应力-应变模型 69
3.5.2 形变理论-弹塑性全量应力应变关系 71
3.5.2.1 形变理论一般概念 71
3.5.2.2 伊留申（Illyushin）理论 73
3.5.2.3 汉基（Hencky）的理论 77
3.5.2.4 那达依（Nadai）理论 78
3.5.3 流动理论-弹塑性增量应力应变关系 79
3.5.3.1 流动理论一般概念 79
3.5.3.2 加载过程中的做功 81
3.5.3.3 塑性势理论 82
3.5.3.4 应力与应变增量主轴方向重合判定 84
3.5.3.5 列维（Levy）-米赛斯（Mises）理论 84
3.5.3.6 普朗特（Prandtl）-路埃斯（Reuss）理论 86
3.5.3.7 强化材料增量应力-应变关系 87
3.5.3.8 Mises条件下各向同性强化材料增量应力-应变关系 87
3.5.3.9 特雷斯卡屈服函数为塑性势的流动理论 92
3.5.4 正交各向异性材料的流动理论 92
3.5.5 流动理论与形变理论的关系 93
4大变形、大转动和塑性 95
4.1 大转动的基本概念 95
4.1.1 非线性向量大转动 95
4.1.2 转动矩阵R 95
4.1.2.1 小转动的转动矩阵 95
4.1.2.2 大转动的转动矩阵 96
4.1.2.3 转动矩阵的指数形式 99
4.1.2.4 转动矩阵的修正形式 99
4.1.2.5 转动矩阵的近似形式 100
4.2 复合转动 100
4.3 求虚拟速度向量和四元数 102
4.3.1 由转动矩阵R获得虚拟速度向量 102
4.3.2 四元数和欧拉参数 103
4.3.3 由转动矩阵R获得四元数 104
4.4 转动矩阵增量 104
4.4.1 增加和非增加的转动矩阵增量 104
4.4.2 转动矩阵的导数 106
4.5 三维体的旋转 107
4.6 变形梯度乘法分解 108
4.6.1 变α形梯度FeFp乘法分解 108
4.6.2 传统焦曼率和基于FeFp分解的解法 110
4.7 大变形中全应变率和算法及极分解 112
4.7.1 大变形中全应变率和Hughes-Winget算法 112
4.7.2 极分解（Polar Decomposition） 115
4.8 中间和现时构形变形梯度乘法分解 119
4.8.1 基于中间构形运用FeFp分解 119
4.8.2 基于现时构形的应力更新 122
5 固体和结构的变形关系 124
5.1 概论 124
5.1.1 概述 124
5.1.2 结构理论中的基本假定 125
5.1.2.1 小挠度及小应变假定 125
5.1.2.2 理想次弹性材料假定 125
5.1.2.3 单向应力假定 126
5.1.2.4 欧拉-伯努利（Euler-Bernoulli）假定 126
5.1.2.5 静力等效及圣维南（Saint-Venant）原理 126
5.1.2.6 叠加原理 127
5.1.2.7 拉压、弯、剪和扭耦合作用及P-△效应 128
5.2 处于三维应力状态的固体的几何关系 129
5.2.1 固体中任意一点的位移 129
5.2.2 固体中任意一点的应变 130
5.3 处于二维应力状态的固体的几何关系 132
5.3.1 二维应力状态的固体中任意一点位移 132
5.3.2 二维应力状态的固体中任意一点应变 132
5.4 板-壳的几何关系 134
5.4.1 概论 134
5.4.1.1 板-壳及其应力状态 134
5.4.1.2 板-壳的基本假定 135
5.4.2 板-壳的位移 135
5.4.3 剪切变形的影响 137
5.4.3.1 考虑剪切变形影响的位移一般表达式 137
5.4.3.2 引入剪切位移 138
5.4.3.3 关于板中位移模式的讨论 139
5.4.4 板-壳中任意一点应变 140
5.4.4.1 板-壳中任意一点应变的一般表达式 140
5.4.4.2 板-壳中任意一点的线性应变 141
5.4.4.3 板-壳中任意一点的非线性应变 141
5.4.4.4 关于板-壳中应变讨论 144
5.5 空间杆的几何关系 145
5.5.1 一维问题中任意一点位移 145
5.5.2 直线空间杆中任意一点应变 145
5.5.3 曲线元中任意一点应变 146
5.5.3.1 两端不等高曲线元的几何 146
5.5.3.2 曲线元微元长度 148
5.5.3.3 曲线元的应变 148
5.5.4 空间杆中任意一点位移 149
5.5.5 空间杆中任意一点应变 149
5.5.5.1 空间杆工程应变及Green应变表达式 149
5.5.5.2 空间杆Almansi应变及对数应变表达式 150
5.6 空间梁-柱的变形 151
5.6.1 经典梁理论 151
5.6.1.1 伯努利-欧拉（Bernoulli-Euler）梁理论 151
5.6.1.2 铁木辛柯（Timoshenko）梁理论 151
5.6.1.3 分析空间梁-柱的基本假定 151
5.6.1.4 梁变形曲线的曲率及相应的符号规定 152
5.6.2 空间梁-柱中任意一点位移 153
5.6.2.1 轴向力作用下的位移 154
5.6.2.2 弯矩作用下的位移 154
5.6.2.3 剪力作用下的位移 155
5.6.2.4 轴向力的二阶效应产生的位移 161
5.6.2.5 薄壁杆件的基本理论 164
5.6.2.6 薄壁杆件的自由扭转产生的位移 165
5.6.2.7 薄壁杆件的约束扭转产生的位移 167
5.6.3 空间梁-柱的位移 171
5.7 伯努利-欧拉（Bernoulli-Euler）假定的修正 173
5.7.1 梁截面纵向变形的分析研究 174
5.7.2 转角模型及位移修正 176
5.7.2.1 转角模型 176
5.7.2.2 位移修正 178
5.8 基于修正的伯努利-欧拉（Bernoulli-Euler）假定的梁-柱位移 178
5.9 空间梁-柱的应变 179
5.9.1 空间梁-柱的正应变 179
5.9.1.1 空间梁-柱正应变的线性部分 180
5.9.1.2 空间梁-柱正应变的非线性部分 181
5.9.2 空间梁-柱的剪切应变 184
5.9.2.1 空间梁-柱弯曲剪切应变的线性部分 184
5.9.2.2 空间梁-柱扭转剪切应变的线性部分 186
5.9.2.3 空间梁-柱弯曲剪切应变的非线性部分 187
6 固体和结构的物理关系 192
6.1 三维应力状态的物理关系 192
6.1.1 三维应力状态的应力-应变关系和弹性矩阵 192
6.1.2 三维应力状态的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵 192
6.2 二维应力状态的物理关系 193
6.2.1 二维应力状态的应力-应变关系和弹性矩阵 193
6.2.1.1 二维应力状态的弹性矩阵 193
6.2.1.2 二维应力状态中正交异性材料的弹性矩阵 194
6.2.1.3 正交异性材料的弹性矩阵 194
6.2.1.4 膜材的弹性矩阵 195
6.2.2 二维应力状态的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵 196
6.3 空间板壳的物理关系 197
6.3.1 空间板壳的应力-应变关系和弹性矩阵 197
6.3.2 空间板壳的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵 198
6.4 空间杆的物理关系 198
6.4.1 空间杆的应力-应变关系和弹性矩阵 198
6.4.2 空间杆的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵 199
6.5 空间梁-柱的物理关系 199
6.5.1 空间梁-柱的应力-应变关系和弹性矩阵 199
6.5.2 空间梁柱的增量应力-应变关系和弹塑性矩阵 200
6.5.3 空间梁-柱的材料加工硬化特性参数H′的计算 202
7接触和摩擦 203
7.1 概论 203
7.1.1 接触与摩擦的分类 203
7.1.2 接触面积 204
7.2 接触和摩擦理论 205
7.2.1 古典和现代摩擦理论 205
7.2.2 库仑（Coulomb）摩擦定律和粘着理论 206
7.2.3 影响摩擦的因素 208
8有限单元法基础 210
8.1 有限单元法的数学基础——变分法 210
8.1.1 变分法 210
8.1.1.1 边值和初值问题 210
8.1.1.2 泛函和变分 211
8.1.2 边值问题的变分公式 211
8.1.3 近似变分法 213
8.1.3.1 李兹（Ritz）法 213
8.1.3.2 伽辽金（Galerkin）法 214
8.1.4 加权余量法 215
8.1.5 标准伽辽金（Standard Galerkin，简称SG）法 216
8.1.6 时间离散问题 217
8.2 有限单元法的物理基础——能量原理 219
8.2.1 功和能 219
8.2.1.1 外力功和外力势能 219
8.2.1.2 内力功和内力势能 220
8.2.2 虚位移状态 223
8.2.2.1 虚位移 223
8.2.2.2 外力的虚功和虚势能 224
8.2.2.3 内力的虚功和虚应变能 225
8.2.2.4 位移变分方程 225
8.2.3 虚功原理和最小总势能原理 227
8.2.4 位移变分法的解法——李兹法和伽辽金法 228
8.2.5 虚应力状态、余功和余能 230
8.2.6 最小总余能原理 232
8.3 有限元基本方程和单元刚度矩阵 234
8.3.1 利用虚功原理推导有限元基本方程和单元刚度矩阵 234
8.3.2 利用总势能驻值（极值）原理推导有限元基本方程和单元刚度矩阵 235
8.3.3 利用卡斯提也诺定理推导有限元基本方程和单元刚度矩阵 236
8.3.4 利用能量泛函变分原理推导有限元基本方程和单元刚度矩阵 237
8.4 位移协调元的变分原理 239
8.4.1 协调元的势能泛函及变分 239
8.4.2 协调元的平衡方程 240
8.5 拉格朗日（Lagrange）格式 241
8.5.1 完全的拉格朗日（TL）格式 241
8.5.2 更新的拉格朗日（UL格式 242
8.5.3 增量形式的TL和UL公式的比较 243
8.6 动力问题的有限元基本方程 243
8.6.1 利用达朗贝尔（D′Alembert）原理建立运动方程 244
8.6.1.1 达朗贝尔原理和动力学平衡微分方程 244
8.6.1.2 基于伽辽金法的有限元动力方程 244
8.6.2 利用虚位移原理建立运动方程 245
8.6.2.1 基本概念 245
8.6.2.2 基于虚位移原理的有限元动力方程 245
8.6.3 利用哈密尔顿（Hamilton）原理建立运动方程 246
8.6.3.1 基本概念 246
8.6.3.2 拉格朗日方程 246
9 固体和结构分析的有限单元法 248
9.1 有限单元法的建模 248
9.2 单元的形态和坐标系及变换 248
9.2.1 单元的形状和剖分 248
9.2.2 坐标系 250
9.2.3 固体和结构的整体坐标系及向量定义 251
9.2.3.1 整体坐标系及向量定义 251
9.2.3.2 四面体单元的整体坐标 252
9.2.3.3 空间三角形平面单元的整体坐标 253
9.2.3.4 空间线元的整体坐标 253
9.2.4 四面体单元的局部坐标系及向量定义 253
9.2.4.1 四面体单元的局部和材料坐标系及向量定义 253
9.2.4.2 四面体单元的体积坐标 254
9.2.4.3 四面体单元局部和材料坐标系的构造及变换矩阵 256
9.2.5 三角形平面单元的局部坐标系及向量定义 258
9.2.5.1 三角形平面单元的局部和材料坐标系及向量定义 258
9.2.5.2 三角形平面单元的面积坐标 259
9.2.5.3 三角形平面单元局部和材料坐标系的构造及变换矩阵 261
9.2.6 空间杆单元的局部坐标系及向量定义 263
9.2.6.1 空间杆单元的局部坐标系及向量定义 263
9.2.6.2 空间杆单元局部坐标系的构造及变换矩阵 263
9.2.7 空间梁-柱单元的局部坐标系及向量定义 263
9.2.7.1 空间梁-柱单元的局部和材料坐标系及向量定义 263
9.2.7.2 空间梁-柱单元局部和材料坐标系的构造及变换矩阵 264
9.2.8 固体及结构的斜边界坐标系 266
9.2.9 向量变换 267
9.3 位移插值函数 268
9.3.1 选择位移函数的准则 268
9.3.2 位移插值函数及其基（形）函数 270
9.3.3 Laglange偏插值函数及Hermite插值函数 271
9.4 单元形函数的微分 273
9.4.1 函数微分之间的变换 273
9.4.2 体积微元、面积微元的变换 275
9.4.3 四面体和三角形单元形函数的微分 276
9.5 单元的几何关系 277
9.5.1 单元的位移函数 277
9.5.2 单元的应变 278
9.5.2.1 应变矩阵 278
9.5.2.2 应变的变分 279
9.6 静、动力问题的有限元基本方程 280
9.6.1 固体和结构中单元的虚功方程 280
9.6.2 局部坐标系中单元有限元方程 281
9.6.3 局部坐标系中单元动力有限元方程 282
9.6.4 局部坐标系中单元刚度矩阵 283
9.6.5 整体坐标系中单元有限元方程及刚度矩阵和荷载 284
9.6.6 节点自由度及自由度凝聚 285
9.7 刚度矩阵的计算 286
9.7.1 自然坐标系下空间四面体单元的数值积分 286
9.7.2 自然坐标系下三角形单元的数值积分 289
9.7.3 四面体单元外法线向量 290
9.7.4 空间梁-柱单元的数值积分 294
9.8 系统有限元基本方程及总刚度矩阵 294
9.8.1 系统有限元基本方程 294
9.8.2 总刚度矩阵的集成 295
9.8.3 刚度矩阵的特点和物理意义 297
9.9 边界条件 297
9.9.1 弹性约束 297
9.9.2 强迫位移 297
9.9.3 斜边界 298
9.9.3.1 斜边界的基本概念 298
9.9.3.2 壳体的斜边界 301
9.10 结构病态 302
9.10.1 问题的病态和良态 302
9.10.2 病态问题的病态度及其度量 303
9.10.3 结构病态 304
9.11 单元的应力和内力 305
10三维和二维应力问题的有限单元法 307
10.1 三维应力单元 307
10.1.1 三维Lagrange四面体和六面体单元 307
10.1.2 三维线性Lagrange四面体单元的向量定义 308
10.1.3 三维二次Lagrange四面体单元的向量定义 310
10.1.4 四面体单元的向量变换 312
10.1.4.1 四面体单元的向量在材料坐标系与局部坐标系之间的变换 312
10.1.4.2 四面体单元的向量在局部坐标系与整体坐标系之间的变换 312
10.1.4.3 四面体单元节点在局部坐标系中的坐标 313
10.1.5 三维Lagrange六面体单元 313
10.2 三维Lagrange四面体和六面体单元的位移插值函数 314
10.2.1 三维线性Lagrange位移插值函数 314
10.2.2 三维二次Lagrange位移插值函数 316
10.2.3 三维三次Lagrange位移插值函数 316
10.2.4 三维偏线性Lagrange位移插值函数 317
10.3 三维应力单元的应变矩阵 319
10.3.1 三维应力单元的应变 319
10.3.2 4节点四面体单元的线性应变矩阵 320
10.3.3 4节点四面体单元的非线性应变矩阵 321
10.4 4节点四面体单元刚度矩阵 323
10.4.1 局部坐标系中4节点四面体单元的线性刚度矩阵 323
10.4.2 局部坐标系中4节点四面体单元的初应力刚度矩阵 324
10.4.3 整体坐标系中4节点四面体单元的刚度矩阵 325
10.4.4 4节点四面体单元的质量矩阵 325
10.4.5 4节点四面体单元的荷载移置 325
10.5 四面体单元的内力 325
10.5.1 4节点四面体单元的内力 325
10.5.2 4节点四面体单元的等效节点力向量 326
10.6 二维应力单元 326
10.6.1 二维Lagrange三角形和矩形单元 326
10.6.2 二维线性Lagrange三角形单元的向量定义 327
10.6.3 二维二次Lagrange三角形单元的向量定义 329
10.6.4 三角形单元的向量变换 332
10.6.4.1 三角形单元的向量在材料坐标系与局部坐标系之间的变换 332
10.6.4.2 三角形单元的向量在局部坐标系与整体坐标系之间的变换 332
10.6.4.3 三角形单元节点在局部坐标系中的坐标 332
10.6.5 二维偏线性Lagrange矩形单元 333
10.7 二维Lagrange三角形和矩形单元的位移插值函数 334
10.7.1 二维线性Lagrange位移插值函数 334
10.7.2 二维二次Lagrange位移插值函数 335
10.7.3 二维偏线性Lagrange位移插值函数 335
10.8 二维应力单元的应变矩阵 338
10.8.1 二维应力单元的应变 338
10.8.2 3节点三角形单元的线性应变矩阵 338
10.8.3 3节点三角形单元的非线性应变矩阵 339
10.9 3节点三角形单元刚度矩阵 341
10.9.1 局部坐标系中3节点三角形单元的线性刚度矩阵 341
10.9.2 局部坐标系中3节点三角形单元的初应力刚度矩阵 341
10.9.3 局部坐标系中3节点三角形膜单元的刚度矩阵 342
10.9.4 整体坐标系中3节点三角形单元的刚度矩阵 342
10.9.5 3节点三角形单元的质量矩阵 342
10.10 二维应力单元的节点力 343
10.10.1 3节点三角形单元的等效节点力 343
10.10.2 3节点三角形单元等效温变节点力向量 344
10.10.3 3节点三角形单元的不平衡力 345
10.11 二维应力单元的应力 345
10.11.1 3节点三角形单元的弹性应力 345
10.11.2 3节点三角形单元的温变应力 346
11板壳的有限单元法 347
11.1 板壳单元 347
11.1.1 二维Hermite板壳单元 347
11.1.2 空间三角形板壳单元的向量定义 348
11.1.2.1 二维三角形平板单元的向量定义 348
11.1.2.2 二维三角形壳单元的向量定义 350
11.1.3 空间三角形板壳单元的向量变换 351
11.1.3.1 空间三角形板壳单元的材料坐标系与局部坐标系之间的向量变换 351
11.1.3.2 空间三角形板壳单元的局部坐标系与整体坐标系之间的向量变换 352
11.1.3.3 空间三角形板壳单元内插点法向坐标系与局部坐标系之间的向量变换 354
11.2 空间板壳单元的位移插值函数 356
11.2.1 协调板元 357
11.2.2 二维不完全三次Hermite位移插值函数 357
11.2.2.1 非协调板元 357
11.2.2.2 采用面积坐标的插值函数 358
11.2.2.3 非协调板壳元 360
11.2.3 Mindlin板单元 361
11.2.4 基于离散Kirchhoff理论（DKT）的二维Lagrange位移插值函数 362
11.2.4.1 DKT板元 362
11.2.4.2 DKT板壳元 367
11.3 空间板壳单元的应变矩阵 368
11.3.1 空间板壳单元的应变 368
11.3.2 空间板壳单元的线性应变矩阵 371
11.3.3 空间板壳单元的非线性应变矩阵 373
11.4 空间板壳单元刚度矩阵 375
11.4.1 局部坐标系中空间板壳单元的线性刚度矩阵 375
11.4.2 局部坐标系中空间板壳单元的初应力刚度矩阵 377
11.4.3 局部坐标系中空间板壳单元的质量矩阵 377
11.4.4 整体坐标系中空间板壳单元的刚度矩阵 377
11.4.5 荷载的移置 378
11.5 空间板壳单元的应力和内力 378
11.5.1 空间板壳单元的不平衡力 378
11.5.2 空间板壳单元的应力 379
12空间杆的有限单元法 380
12.1 空间杆单元 380
12.1.1 一维Lagrange空间杆单元 380
12.1.2 空间杆单元的向量定义及变换 380
12.1.2.1 整体坐标系中单元位移向量和节点力向量 380
12.1.2.2 局部坐标系中单元位移向量和节点力向量 381
12.1.2.3 空间杆单元的局部坐标系与整体坐标系之间的向量变换 382
12.2 空间直线杆单元的几何关系 382
12.2.1 空间直线杆单元位移的一维线性Lagrange插值函数 382
12.2.2 空间直线杆单元的应变矩阵 383
12.3 空间直线杆单元刚度矩阵 384
12.3.1 局部坐标系中空间直线杆单元的线性刚度矩阵 384
12.3.2 局部坐标系中空间直线杆单元的初应力刚度矩阵 384
12.3.3 整体坐标系中空间直线杆单元的刚度矩阵 384
12.3.4 空间直线杆单元的质量矩阵 385
12.4 空间直线杆单元的内力 386
12.4.1 空间直线杆单元的不平衡力 386
12.4.2 空间直线杆单元的内力 386
12.5 空间曲线杆单元 387
12.5.1 空间曲线杆单元的向量定义及变换 387
12.5.2 局部坐标系中曲线杆单元位移向量和节点力向量 388
12.5.3 空间曲线杆单元的局部坐标系与整体坐标系之间的向量变换 388
12.6 空间曲线杆单元的几何关系 388
12.6.1 空间曲线杆单元位移的一维线性Lagrange插值函数 388
12.6.2 空间曲线杆单元的应变矩阵及其变分 389
12.6.2.1 空间曲线杆单元的应变矩阵 389
12.6.2.2 空间曲线杆单元应变的变分 390
12.6.3 局部坐标系中空间曲线杆单元的线性刚度矩阵 391
12.6.4 局部坐标系中空间曲线杆单元的初应力刚度矩阵 392
12.6.5 整体坐标系中空间曲线杆单元的刚度矩阵 392
12.6.6 空间曲线杆单元的初应力向量与不平衡力向量 393
12.7 只拉杆单元 393
12.8 一维三次Hermite空间直线杆单元 394
13空间梁-柱的有限单元法 395
13.1 空间梁-柱单元 395
13.1.1 一维三次Hermite空间梁单元 395
13.1.2 空间梁-柱单元的向量定义 395
13.1.2.1 整体坐标系中单元位移向量和节点力向量 395
13.1.2.2 局部坐标系中单元位移向量和节点力向量 398
13.1.2.3 材料坐标系中单元位移向量和节点力向量 400
13.1.3 空间梁-柱单元主、从节点局部坐标系及向量定义 403
13.1.4 空间梁-柱单元的向量变换 404
13.1.4.1 空间梁-柱单元的材料坐标系与局部坐标系之间的向量变换 404
13.1.4.2 空间梁-柱单元的局部坐标系与整体坐标系之间的向量变换 405
13.1.4.3 空间梁-柱单元主、从节点向量的变换 406
13.2 空间梁-柱单元的几何关系 410
13.2.1 空间梁-柱单元的位移插值函数 410
13.2.1.1 一维三次Hermite插值函数 410
13.2.1.2 空间梁-柱单元的位移插值函数 411
13.2.1.3 薄壁空间梁-柱单元的位移插值函数 413
13.2.2 空间梁-柱单元的应变矩阵 414
13.2.2.1 2节点6自由度空间梁-柱单元的应变矩阵 414
13.2.2.2 2节点8自由度薄壁空间梁-柱单元的应变矩阵 416
13.2.2.3 2节点10自由度薄壁空间梁-柱单元的应变矩阵 419
13.2.2.4 薄壁空间梁-柱单元的扭转剪切应变矩阵 423
13.3 空间梁-柱单元刚度矩阵 424
13.3.1 局部坐标系中空间梁-柱单元的线性刚度矩阵 424
13.3.1.1 2节点6自由度空间梁-柱单元的线性刚度矩阵 425
13.3.1.2 2节点8自由度薄壁空间梁-柱单元的线性刚度矩阵 427
13.3.1.3 2节点10自由度薄壁空间梁-柱单元的线性刚度矩阵 428
13.3.2 局部坐标系中空间梁-柱单元的初应力刚度矩阵 430
13.3.2.1 2节点6自由度空间梁-柱单元的初应力刚度矩阵 430
13.3.2.2 2节点8自由度薄壁空间梁-柱单元的初应力刚度矩阵 433
13.3.2.3 2节点10自由度薄壁空间梁-柱单元的初应力刚度矩阵 434
13.3.3 整体坐标系中空间梁-柱单元的刚度矩阵 435
13.3.4 荷载的移置 436
13.3.5 局部坐标系中空间梁-柱单元的质量矩阵 436
13.3.6 局部坐标系中空间梁-柱单元温度变化、初应变的等效荷载 438
13.4 空间梁-柱单元的应力和内力 439
13.4.1 空间梁-柱单元的不平衡力 439
13.4.2 空间梁-柱单元的应力 439
13.4.3 空间梁-柱单元的内力 442
13.5 空间梁-柱分析模型的讨论 445
14 自锁 446
14.1 自锁概述 446
14.2 剪力自锁 446
14.2.1 Timoshenko梁单元 446
14.2.1.1 线性Timoshenko梁单元和缩减积分形式 447
14.2.1.2 二次Timoshenko梁单元 448
14.2.2 Mindlin板单元 449
14.2.2.1 板的自锁现象 449
14.2.2.2 线性Mindlin板单元和缩减积分形式 450
14.2.3 实体单元 452
14.3 薄膜力自锁和不可压缩自锁 453
14.3.1 经典曲线薄梁单元和薄膜力自锁 453
14.3.2 Mindlin曲梁单元和薄膜力自锁 455
14.3.3 不可压缩自锁 456
14.3.3.1 一维不可压缩空心球体 456
14.3.3.2 不可压缩三维实体 458
14.4 防止自锁的方法 458
14.4.1 选择性缩减积分技术 458
14.4.2 “B-Bar”方法 459
14.4.3 控制沙漏的缩减积分技术 460
15有限单元法的实施 461
15.1 总刚矩阵和方程组求解中的图及其算法 461
15.1.1 图的基本概念和算法 461
15.1.2 有限元分析中的图 463
15.1.3 减小带宽的重排序 464
15.1.4 减小填充率的重排序 465
15.1.5 对称高斯消去法中的图 465
15.1.6 最小度 467
15.1.7 嵌套剖分 468
15.2 总刚度矩阵的一维变带宽紧密储存 469
15.3 有限元线性代数方程组的求解 470
15.3.1 算法的数值稳定性 470
15.3.2 因子分解法 471
15.3.3 Cholesky（平方根）法 473
15.3.4 三重因子分解法 473
15.3.5 减少长操作的方法 474
15.3.6 剔除了与零元素相乘的三重因子分解法 476
15.3.7 大型线性方程组的分块解法 478
15.4 广义特征值问题 479
15.4.1 概述 479
15.4.2 特征向量的性质 480
15.4.3 广义特征问题和标准特征问题之间的变换 482
15.4.4 移位 483
15.4.5 零质量 484
15.4.6 矩阵收缩和Gram-Schmidt正交化 484
15.4.7 Sturm序列性质 487
15.5 特征问题的解法 487
15.5.1 Rayleigh-Ritz法 487
15.5.2 静力凝聚 489
15.5.3 逆迭代法 492
15.5.4 广义雅可比（Jacobi）法 493
15.6 大型特征问题的解法 497
15.6.1 行列式搜索法 497
15.6.2 子空间迭代法 499
15.6.3 兰索斯（Lanczos）法 501
15.7 快速有限元（FFE）概述 502
15.8 快速有限元中大型稀疏矩阵的数据结构 504
15.8.1 Coordinate储存 504
15.8.2 列（行）压缩储存 505
15.8.3 分块列（行）压缩储存 505
15.9 快速有限元直接求解 506
15.9.1 快速有限元直接求解过程 506
15.9.2 数值分解 507
15.9.2.1 基本分解算法 507
15.9.2.2 改进的分解算法 507
15.10 快速有限元迭代求解 508
15.10.1 概述 508
15.10.2 预条件共轭梯度（PCG）迭代法 508
15.10.2.1 基本的共轭梯度迭代法 508
15.10.2.2 预条件共轭梯度迭代算法 509
15.10.3 预条件技术 510
15.10.3.1 概述 510
15.10.3.2 不完全Cholesky分解预条件器 510
15.10.4 多重网格预条件器 513
15.10.5 终止迭代 513
16固体和结构几何非线性分析 515
16.1 非线性方程及解法 515
16.1.1 荷载增量法 515
16.1.2 荷载增量法的一般过程 515
16.1.3 平衡路线 517
16.2 牛顿法 518
16.2.1 牛顿-拉斐逊（Newton-Raphson）法 518
16.2.2 修正的牛顿-拉斐逊法 521
16.2.3 修正的牛顿-拉斐逊法的加速迭代 522
16.2.4 发散处理 523
16.2.5 BFGS法 524
16.2.6 纯粹增量近似与牛顿-拉斐逊近似的关系 526
16.3 Riks法（弧长法） 527
16.3.1 弧长法的概念及方法 528
16.3.2 球面弧长法 530
16.3.3 增量迭代型球面显式弧长法进行几何非线性分析过程 532
16.3.4 球面显式弧长法中增量长度S的确定及软化曲线法 534
16.3.5 改进的弧长法 535
16.4 松弛分析 535
16.5 屈曲分析 536
16.6 算例 537
17 固体和结构材料非线性分析 539
17.1 固体和结构弹塑性分析一般过程 539
17.1.1 弹塑性分析一般过程 539
17.1.2 弹塑性有限元中的本构分析 541
17.1.2.1 过渡阶段的折算弹塑性矩阵 541
17.1.2.2 硬化性能参数H′的计算 542
17.2 应力更新 543
17.2.1 应力更新的方案 543
17.2.2 集成应变率方程 544
17.2.3 贯穿屈服面和返回到屈服面 545
17.2.4 分离出偏部分 548
17.3 Euler公式 549
17.3.1 基本Euler公式 549
17.3.2 后Euler返回算法 550
17.3.2.1 返回算法 550
17.3.2.2 两相交屈服面的后Euler公式的返回算法 551
17.3.2.3 Mohr-Coulomb屈服函数的后Euler公式的返回算法 552
17.3.2.4 单向量返回和双向量返回 553
17.3.2.5 角点或顶点返回 554
17.3.3 径向返回算法 555
17.4 一致切线模量矩阵 556
17.4.1 径向返回的一致切线模量矩阵 556
17.4.2 一般形式的一致切线模量矩阵 557
17.5 弹塑性分析中应修正基本假定 558
18固体和结构动力分析 559
18.1 振型叠加法解运动方程 559
18.1.1 振型叠加法 559
18.1.2 忽略阻尼的分析 560
18.1.3 有阻尼分析 561
18.2 直接积分法解运动方程 562
18.2.1 Wilson-θ法 562
18.2.2 Newmark法 566
19 固体和结构中接触和摩擦的分析 569
19.1 概述 569
19.2 二维接触问题的罚方法 569
19.2.1 引言 569
19.2.2 切向自由（无摩擦）的法向接触问题 570
19.2.3 减小接触力跳跃的修正 572
19.2.4 切向粘性摩擦的法向接触问题 573
19.2.5 Coulomb滑移摩擦 574
19.3 三维接触问题的罚方法 576
19.3.1 切向无摩擦的法向接触问题 576
19.3.2 切向初应力刚度矩阵 578
19.3.3 考虑滑移摩擦 579
19.3.4 考虑Coulomb滑移摩擦 582
19.3.5 避免刚度的突然改变 583
19.3.6 求解过程的扩展 584
19.4 Lagrange乘子法 585
19.4.1 概述 585
19.4.2 增量Lagrange法 586
19.4.3 有Coulomb滑移摩擦的Lagrange法 588
20 固体和结构中的几何位移分析 590
20.1 概述 590
20.1.1 几何软化和现象 590
20.1.2 广义失稳问题 590
20.1.3 结构和机构 590
20.1.4 结构松弛和松弛结构 591
20.1.5 弹性位移和几何位移 591
20.1.6 临界平衡状态 592
20.2 结构体系的平衡和协调 592
20.2.1 体系节点的平衡方程和平衡矩阵 592
20.2.2 体系的协调方程和协调矩阵 593
20.2.3 几何方程 593
20.2.4 物理方程 594
20.2.5 杆系结构平衡方程、协调方程和物理方程 594
20.2.6 梁的平衡方程、协调方程 595
20.2.6.1 整体坐标系下平面梁的平衡方程、协调方程 595
20.2.6.2 整体坐标系下空间梁的协调方程和平衡方程 596
20.2.7 采用力的平衡方法分析结构 598
20.3 几何体系中几何位移的正交原理和分析方法 599
20.3.1 几何位移的求解 599
20.3.2 体系的控制方程 599
20.3.3 平衡方程 600
20.3.4 耦合方程及临界平衡方程 600
20.3.5 正交原理和几何体系的不平衡方程 600
20.3.6 几何体系的协调方程 601
20.4 几何体系控制方程的求解 601
20.4.1 几何位移向量的构造 601
20.4.2 方程的求解 602
20.4.3 定解约束条件 602
20.4.4 迭代中的条件判断 603
20.4.5 初始条件 603
20.4.6 体系几何位移计算 604
20.4.7 几何应力 606
20.5 几何体系分析 606
20.5.1 降落伞的下降模拟 606
20.5.2 钟摆 608
20.5.3 强迫位移 612
20.5.4 松弛分析 612
20.5.5 单元伸缩 612
21 随动有限元法 614
21.1 随动描述基本理论 614
21.1.1 随动有限元法的起源和发展 614
21.1.2 空间向量的刚体转动 616
21.1.2.1 转动矩阵 616
21.1.2.2 转动矩阵的自然对数形式 617
21.1.2.3 通过转动矩阵近似获得转角虚向量 618
21.1.2.4 转动矩阵与坐标转换矩阵之间的关系 618
21.1.2.5 变形转动 618
21.1.2.6 空间向量的连续转动 620
21.2 转动矩阵的变分 620
21.2.1 转动矩阵的变分形式 620
21.2.2 坐标转换矩阵的变分 621
21.2.3 可叠加转角虚向量与其不可叠加形式之间变分关系 621
21.3 随动描述中的运动学 622
21.3.1 随动坐标描述中的构形 622
21.3.2 坐标系 622
21.3.3 变形位移 623
21.3.4 随动坐标描述中的变分 623
21.3.4.1 转动矩阵及转角的变分 623
21.3.4.2 位移变分 624
21.4 杆单元的随动有限元方程 624
21.4.1 平面杆单元随动有限元方程 624
21.4.2 三维杆单元随动有限元方程 627
21.5 梁单元的随动有限元方程 629
21.6 随动有限元方程 630
21.6.1 壳单元随动有限元方程 630
21.6.2 薄壁杆件翘曲自由度的引入 632
21.7 Γ矩阵的推导 633
21.7.1 梁单元Γ矩阵 633
21.7.2 壳单元Γ矩阵 635
21.7.2.1 一般方法 635
21.7.2.2 节点位移的极小值法 636
21.7.2.3 中心转动置零法 637
21.8 随动有限元法在动力学问题中的应用 638
21.8.1 动力学中的数值方法概述 638
21.8.1.1 直接积分法 639
21.8.1.2 中心差分法 639
21.8.1.3 Wilson-θ法 640
21.8.1.4 Newmark法 642
21.8.2 预测-校正隐式求解算法 643
21.8.2.1 预测步 644
21.8.2.2 校正步 645
21.8.2.3 直接积分法的稳定性和精度分析 645
21.8.3 随动梁单元和壳单元的动力分析 646
21.8.3.1 动力平衡方程 646
21.8.3.2 惯性项 646
21.8.3.3 内力矩阵 646
21.8.3.4 阻尼矩阵 646
21.8.3.5 非线性求解 646
参考文献 647