目 录 1
序 1
第一章代数预备知识 1
§1.1张量代数 1
§1.2张量 11
§1.3外代数 16
§1.4Hodgθ星号算子* 26
§1.5李代数的基本概念 28
第二章微分流形 33
§2.1微分流形的定义 33
§2.2光滑流形之间的映射 40
§2.3切空间 43
§2.4子流形 50
§2.5嵌入定理 61
§2.6 Frobθnius定理 70
第三章外微分 80
§3.1切丛和外微分形式 80
§3.2外微分 86
§3.3单位的剖分定理 98
§3.4微分流形的定向 111
§3.5微分流形上的积分 117
§3.6 Dθ Rham群 134
§4.1李群的定义 139
第四章李群初步 139
§4.2 Maurer-Cartan形式 142
§4.3右不变矢量场的局部表示 148
§4.4李群的基本问题 152
§4.5单参数子群和指数映射 160
§4.6李群上的积分 167
§4.7李群的闭子群 171
§4.8李氏变换群 180
§4.9李导数，李代数的伴随表示 190
§4.10主丛 201
§4.11活动标架法 207
§5.1主丛上的连络 213
第五章连络论 213
§5.2线性标架丛上的连络 220
§5.3流形上的仿射连络 230
§5.4仿射连络的局部性质 236
§5.5矢量丛上的连络 247
§5.6和乐群和Ambrose-Singer定理 253
第六章黎曼流形 267
§6.1黎曼尺度 267
§6.2黎曼流形上的连络和曲率 275
§6.3欧几里德空间的子流形 287
§6.4测地线 297
§6.5黎曼流形上的凸邻域 309
§6.6黎曼流形的完备性 314
§6.7黎曼流形上的余微分算子 324
§6.8黎曼流形容许的变换群 334
§6.9对称的黎曼流形 348
§6.10黎曼流形的子流形 359
第七章复流形 372
§7.1实矢量空间的复结构 372
§7.2厄密特尺度 379
§7.3殆复流形 383
§7.4殆复结构的挠率张量 389
§7.5殆复结构的无穷小自同构 399
§7.6殆复流形上的连络 407
§7.7厄密特流形与凯勒流形 411
§7.8相对于局部坐标系的凯勒尺度 420
§7.9全纯截面曲率 423
§7.10凯勒流行的实例 429
§7.11算子L,？及其应用 437
§7.12陈示性类 449
第八章Jacobi场和比较定理 464
§8.1 Jacobi场 464
§8.2第一、第二变分公式 476
§8.3第一比较定理 491
§8.4焦点，第二比较定理 507
§8.5 Toponogov定理 519
§8.6黎曼曲率的几何意义 530
§8.7 Morse指标定理 533
第九章层论和de Rham定理 545
§9.1层的定义 545
§9.2预层 549
§9.3好层 555
§9.4上链复形 561
§9.5层上同调论的公理化定义 567
§9.6层上同调论的唯一性 573
§9.7 de Rham上同调论 581
§9.8奇异上同调论 583
§9.9 de Rham定理的证明 598
§9.10 Cech上同调论 600
§9.11 Dolbeault定理 609
第十章Hodge分解定理的证明 621
10.1前言 621
10.2分析上的预备知识和符号 629
10.3 Sobolev空间 633
10.4 Sobolev引理的证明 641
10.5线性微分算子 644
10.6椭圆算子 646
10.7定理A的证明 650
10.8定理B的证明 657
10.9 定理A,B在Laplace-Beltrami算子上的应用 661
参考书目 668
名词索引 669