第一章 偏微分方程的经典理论 1
1 偏微分方程的一般概念 1
1.概念、记号 1
2.与常微分方程的比较 3
2 一阶拟线性方程的几何理论 5
1.特征线 6
2.Cauchy问题 7
3.n个自变量的情形 10
3 一阶非线性方程的几何理论 14
1.Monge锥、特征带 14
2.Cauchy问题 18
3.Hamilton-Jacobj方程 21
1.弱间断 27
4 特征理论 27
2.二阶方程的特征理论 28
3.高阶方程与方程组的特征理论 32
4.双特征、间断的传播 38
5 Cauchy-KoBaЛeBCKaЯ定理 42
1.Cauchy-KOBaЛeBCKaЯ方程组 42
2.Cauchy-KobaЛeBCKaЯ定理的证明 46
3.附注 52
6 Holmgren定理 56
1.Holmgren定理 56
2.应用 60
7 适定性 62
1.适定性概念 62
2.不适定问题的例子 64
1.引言 69
第二章 广义函数与Fourier变换 69
1 基本空间 69
2.基本空间C∞(Rn)，C？(Rn) 73
3.函数的正则化、平均算子 75
4.基本空间？(Rn) 79
2 广义函数空间 83
1. ？′(Rn)，？′(Rn)，？′(Rn)广义函数 83
2.广义函数的支集 87
3.广义函数的极限 90
3 广义函数的运算 94
1.广义函数的导数 94
2.广义函数的乘子 97
3.广义函数的自变量变换 98
5.广义函数的卷积 100
4.广义函数视为连续函数的导数 100
4 Fourier变换 112
1.？(Rn)空间上的Fourier变换 112
2.？′(Rn)空间上的Fourier变换 116
3.紧支集广义函数的Fourier变换 122
5 CoбoЛeB空间 127
1.整指数CoбoЛeB空间 127
2.实指数CoбoЛeB空间 133
3.嵌入定理 138
4.迹定理 140
6 周期广义函数 144
1.基本空间C∞(Tn)与广义函数空间？′(Tn) 144
2.空间H？(Tn) 147
1.基本解的概念 153
7 基本解 153
2.乘积空间中的广义函数 155
3.偏微方程的基本解 162
4.基本解在解的定性研究中的应用 168
5.Cauchy问题的基本解 170
第三章 椭圆型方程 175
1 周期区域上的椭圆型方程 175
1.Càrding不等式 176
2.第二基本不等式 181
3.正则性定理 184
4.两择性定理 186
2 高阶椭圆型方程的Dirchlet问题 190
1.问题的提法 190
2.Lax-Milgram定理 198
3.Dirichlet问题解的两择性定理 199
3 椭圆型方程解的正则性 206
1.内正则性 206
2.Banach-Saks定理 210
3.边界正则性定理，一些准备 213
4.边界正则性定理的证明 219
第四章 对称双曲组与正对称组 227
1 对称双曲组 227
1.对称双曲组 227
2.强解与弱解 231
4.对称双曲组Cauchy问题的能量不等式 234
4.初边值问题的情形 240
5.对称双曲组Cauchy问题解的存在性 242
1.正对称型方程组与合格边界条件 247
2 正对称型方程组 247
2.强解唯一性与弱解的存在性 254
3 强解与弱解的一致性 257
1.问题的演化 257
2.内部区域强弱解的一致性 264
3.边界区域强弱解的一致性(非特征情形) 266
4.边界区域强弱解的一致性(正则特征情形) 275
5.边界有角点的情形 279
4 正对称型方程组理论的应用 284
1.二阶自共轭椭圆型方程 285
2.Tricomi方程 287
3.Busemann方程 291
1 拟微分算子的定义 299
1.定义 299
第五章 拟微分算子 299
2.讨论对象的扩充 303
3.恰当支拟微分算子 309
2 象征的渐近展开 313
1.渐近展开 313
2.恰当支拟微分算子的象征 319
3 拟微分算子的运算与性质 324
1.转置与复合 324
2.拟微分算子代数 328
3.自变量的坐标变换 331
4.关于连续性的讨论 335
4 拟微分算子的一些应用 339
1.拟逆、准椭圆性 339
2.Gàrding不等式 343
3.严格双曲型方程的Cauchy问题 348
参考文献 359