第一章 绪论 1
1.1 非线性偏微分方程的基本概念 1
1.1.1 偏微分方程及其阶和解 1
1.1.2 线性偏微分方程及其叠加原理 2
1.2 非线性发展方程及其相关特性 2
1.2.1 KdV方程与孤立子 2
1.2.2 非线性发展方程的精确解 3
1.3 非线性发展方程的解的激发 4
1.3.1 孤子的激发 4
1.3.2 孤子、混沌与分形的关系 5
第二章 非线性发展方程的典型求解方法 6
2.1 B？cklund变换法 6
2.1.1 B？cklund变换法的起源 6
2.1.2 B？cklund变换的定义 6
2.1.3 Sine-Gordon方程的B？cklund变换法求解 7
2.1.4 KdV方程的B？cklund变换法求解 8
2.2 齐次平衡法 10
2.2.1 齐次平衡法的主要思想及步骤 10
2.2.2 KdV方程的齐次平衡法求解 11
2.3 Hirota双线性法 13
2.3.1 Hirota双线性算子及其性质 13
2.3.2 Hirota双线性法 14
2.3.3 KdV方程多孤立波解与Hirota双线性法 14
2.3.4 改进的Hirota双线性法求解 18
2.3.5 扩展的广义Vakhnenko方程多孤立波解与Hirota双线性法 19
2.4 多线性分离变量法 24
2.4.1 多线性分离变量法 27
2.4.2 （2+1）维长波色散系统的多线性分离变量法求解 29
2.5 Riccati映射法 32
2.5.1 Tanh函数展开法 33
2.5.2 KdV方程的Tanh函数展开法求解 33
2.5.3 Riccati映射法 34
2.5.4 （1+1）维Burgers方程的Riccati映射法求解 35
2.6 F-展开法 36
2.6.1 F-展开法的求解步骤 36
2.6.2 修正的广义Vakhnenko方程的F-展开法求解 39
2.6.3 修正的广义Vakhnenko方程的行波解的性状 43
2.7 本章小结 46
第三章 （G′/G）展开法的基本原理与求解步骤 47
3.1 二阶线性常微分方程 47
3.1.1 常微分方程的基本概念 47
3.1.2 二阶线性常微分方程及其解的结构 48
3.1.3 二阶常系数齐次线性常微分方程 49
3.2 （G′/G）展开法 52
3.2.1 （1+1）维方程的（G′/G）展开法求解步骤 52
3.2.2 高维方程的（G′/G）展开法求解步骤 54
3.3 （G′/G）展开法与其他方法的比较 54
第四章 （G′/G）展开法构造行波解 55
4.1 KdV方程的（G′/G）展开法求解 55
4.1.1 KdV方程的（G′/G）展开法求解 55
4.1.2 KdV方程解的性状 57
4.2 耦合mKdV方程组的（G′/G）展开法求解 60
4.2.1 耦合mKdV方程组的（G′/G）展开法求解 60
4.2.2 耦合mKdV方程组行波解的性状 63
4.3 修正的广义Vakhnenko方程的（G′/G）展开法求解 65
4.3.1 修正的广义Vakhnenko方程的行波解 65
4.3.2 修正的广义Vakhnenko方程解的性状 69
4.4 （2+1）维广义浅水波方程的（G′/G）展开法求解 72
4.4.1 （2+1）维广义浅水波方程的行波解 72
4.4.2 （2+1）维广义浅水波方程行波解的性状 74
4.5 （2+1）维ANNV系统的（G′/G）展开法求解 75
4.5.1 （2+1）维ANNV系统的行波解 75
4.5.2 （2+1）维ANNV系统行波解的性状 81
4.6 广义Burgers-Fisher方程的（G′/G）展开法求解 82
4.6.1 广义Burgers-Fisher方程的行波解 82
4.6.2 广义Burgers-Fisher方程行波解的性状 85
4.7 本章小结 85
第五章 （G′/G）展开法构造行波解的扩展 87
5.1 （G′/G）展开法构造行波解的扩展 87
5.1.1 解的对称延拓 87
5.1.2 解的带根号项扩展 87
5.2 ITO方程组的（G′/G）展开法求解 88
5.2.1 ITO方程组的行波解 88
5.2.2 ITO方程行波解的性状 93
5.3 （2+1）维广义Sasa-Satsuma方程组的（G′/G）展开法求解 93
5.3.1 （2+1）维广义Sasa-Satsuma方程组的行波解 93
5.3.2 （2+1）维广义Sasa-Satsuma方程组行波解的性状 101
5.4 本章小结 101
第六章 （G′/G）展开法在构造非行波解中的应用 103
6.1 （G′/G）展开法构造非行波解 103
6.1.1 （G′/G）展开法构造非行波解的基本思想 103
6.1.2 （G′/G）展开法构造非行波解的主要步骤 103
6.2 （1+1）维变系数耦合KdV系统的非行波解 104
6.3 （2+1）维变系数色散长波系统的非行波解 109
6.4 （2+1）维变系数Broer-Kaup系统的非行波解 114
6.5 （3+1）维Burgers系统的非行波解 117
6.6 本章小结 121
第七章 （G′/G）展开法构造非行波解的扩展 122
7.1 （G′/G）展开法构造非行波解的进一步扩展 122
7.1.1 （G′/G）展开法构造非行波解的扩展的基本思想 122
7.1.2 （G′/G）展开法构造非行波解的扩展及主要步骤 122
7.2 （2+1）维BLP系统的非行波解 123
7.3 （2+1）维ANNV系统的非行波解 129
7.4 本章小结 136
第八章 非线性发展方程的局域孤子激发 137
8.1 孤子结构的激发 138
8.1.1 单向线性孤子 138
8.1.2 Lump孤子与环孤子 138
8.1.3 Dromion孤子 142
8.1.4 振动Dromion孤子 142
8.1.5 呼吸孤子 145
8.1.6 Solitoff孤子 145
8.1.7 Peakon孤子 145
8.1.8 Compacton孤子 148
8.1.9 方孤子 149
8.1.10 内嵌孤子 150
8.1.11 锥孤子 155
8.1.12 柱孤子 155
8.2 折叠孤子 155
8.2.1 折叠孤子基础 156
8.2.2 单向折叠孤子 156
8.2.3 单向双折叠孤子 158
8.2.4 单向上下折叠孤子 158
8.2.5 双层凹状折叠孤子 158
8.2.6 双向折叠孤子 158
8.2.7 单向多折叠孤子 161
8.2.8 双向双层折叠孤子 162
8.2.9 其他折叠孤子 163
8.3 孤子间的相互作用 164
8.3.1 孤子的非弹性碰撞 167
8.3.2 孤子的弹性碰撞 169
8.4 孤子的裂变与聚变 169
8.4.1 孤子的裂变 169
8.4.2 孤子的聚变 169
8.5 狐子的湮灭 173
8.6 周期波背景的孤子 173
8.7 本章小结 176
第九章 非线性发展方程的混沌结构激发 178
9.1 混沌系统 178
9.1.1 混沌的基本概念 178
9.1.2 Lorenz混沌系统 178
9.1.3 Duffing混沌系统 181
9.2 单向混沌结构 181
9.3 双向混沌结构 184
9.4 混沌结构的演化 187
9.5 本章小结 187
第十章 非线性发展方程的分形结构激发 192
10.1 分形的基本概念 192
10.2 十字型分形结构 192
10.3 Dromion分形结构 193
10.4 Lump分形结构 196
10.5 复合分形结构 196
10.6 本章小结 199
附录一 Jacobi椭圆函数及其基本公式 204
A.1 Jacobi椭圆函数的定义 204
A.2 Jacobi椭圆函数的基本公式 204
附录二 F-展开法求解修正的广义Vakhnenko方程中的公式推导 206
附录三 （G′/G）展开法求解修正的广义Vakhnenko方程中的公式推导 211
附录四 部分局域结构激发的MatLab作图程序 213
D.1 折叠孤子激发的MatLab作图程序 213
D.2 混沌结构激发的MatLab作图程序 215
D.3 分形结构激发的MatLab作图程序 216
参考文献 219