1 绪论 1
1.1 数值分析的对象和特点 1
1.2 误差的基本概念 1
1.2.1误差的来源 1
1.2.2绝对误差 2
1.2.3相对误差 2
1.2.4有效数 3
1.2.5数据误差对函数值的影响 4
1.3 机器数系 6
1.3.1机器系数 6
1.3.2机器系数的运算及误差估计 8
1.4 数值稳定问题 11
1.4.1数值稳定性 11
1.4.2病态问题 14
1.4.3简化计算步骤，减少运算次数 16
习题1 17
2 非线性方程的解法 21
2.1 概述 21
2.1.1根的搜索 21
2.1.2二分法 22
2.2 简单迭代法 23
2.2.1迭代格式的构造 24
2.2.2迭代法的收敛性 25
2.2.3迭代法的收敛速度 29
2.2.4 Aitken加速法 31
2.3 Newton法 34
2.3.1Newton迭代格式及其几何意义 34
2.3.2局部收敛 35
2.3.3大范围收敛 36
2.3.4求重根的修正Newton法 40
2.3.5Newton法的变形 41
2.4 多项式方程的求根 43
2.4.1实系数多项式零点的分布 43
2.4.2劈因子法 46
2.5 应用实例：薄壳结构的静力计算 49
2.5.1问题的背景 49
2.5.2数学模型 50
2.5.3计算方法与结果分析 51
习题2 53
3 线性代数方程组数值解法 56
3.1 引言 56
3.2 消去法 57
3.2.1三角方程组的解法 57
3.2.2Gauss消去法 58
3.2.3追赶法 63
3.2.4列主元Gauss消去法 64
3.3 矩阵的直接分解法 66
3.3.1矩阵的直接分解法 66
3.3.2对称矩阵的直接分解法 70
3.3.3列主元的三角分解法 73
3.4 方程组的性态与误差分析 75
3.4.1向量范数 76
3.4.2矩阵范数 78
3.4.3方程组的性态及条件数 85
3.4.4方程组近似解可靠性的判别 88
3.5 迭代法 90
3.5.1迭代格式的一般形式 90
3.5.2几个常用的迭代格式 90
3.5.3迭代格式的收敛性 94
3.6 三对角方程组的并行算法 99
3.7 应用实例：纯电阻型立体电路分析 103
3.7.1问题的背景 103
3.7.2数学模型 103
3.7.3计算方法与结果分析 105
习题3 107
4 插值与逼近 115
4.1 Lagrange插值 115
4.1.1基本插值多项式 115
4.1.2Lagrange插值多项式 116
4.1.3插值多项式的存在唯一性 117
4.1.4插值余项 117
4.2 差商、差分和Newton插值 120
4.2.1差商及Newton插值多项式 121
4.2.2差分及等距节点Newton插值多项式 125
4.3 Hermite插值 127
4.3.1Lagrange型Hermite插值多项式 128
4.3.2Newton型Hermite插值多项式 131
4.4 高次插值的缺点及分段插值 134
4.4.1高次插值的误差分析 134
4.4.2分段线性插值 137
4.4.3分段Hermite插值 138
4.5 3次样条插值 139
4.5.1 3次条样条插值函数 139
4.5.2 3次条样条插值函数的求法 140
4.5.3 3次条样条插值函数的收敛性 144
4.6 有理函数插值 147
4.7 最佳一致逼近 153
4.7.1线性赋范空间 153
4.7.2最佳一致逼近多项式 154
4.7.3 Chebyshev多项式 158
4.7.4近似最佳一致逼近多项式 160
4.8 最佳平方逼近 162
4.8.1内积空间 163
4.8.2离散数据的最佳平方逼近 164
4.8.3超定方程组的最小二乘解 167
4.8.4连续函数的最佳平方逼近 169
4.9 周期函数的逼近与快速Fourier变换 171
4.9.1最佳平方三角逼近与三角插值 171
4.9.2快速Fourier变换 172
4.10 应用实例：用样条函数设计公路平面曲线 175
4.10.1问题的背景 175
4.10.2数学模型 175
4.10.3计算方法与结果分析 176
习题4 178
5 数值积分与数值微分 183
5.1 数值积分的基本概念 183
5.2 插值型求积公式 184
5.2.1插值型求积公式 184
5.2.2代数精度 187
5.2.3梯形公式、Simpson公式和Cotes公式的截断误差 190
5.3 复化求积公式 191
5.3.1复化梯形公式 191
5.3.2复化Simpson公式 195
5.3.3复化Cotes公式 196
5.3.4复化求积公式的阶 197
5.4 Romberg求积法 198
5.4.1 Romberg求积公式 198
5.4.2 Romberg求积法的一般公式 201
5.5 Gauss求积公式 202
5.5.1 Gauss求积公式 203
5.5.2正交多项式 206
5.5.3区间［-1，1］上的Gauss公式 208
5.5.4区间［a，b］上的Gauss公式 209
5.5.5 Gauss公式的余项 210
5.5.6 Gauss公式的稳定性和收敛性 211
5.5.7带权积分 213
5.6 振荡函数的积分 215
5.7 重积分的近似计算 220
5.8 数值微分 225
5.8.1数值微分问题的提出 225
5.8.2插值型求导公式 226
5.8.3样条求导 229
5.9 应用实例：混频器中变频损耗的数值计算 230
5.9.1问题的背景 230
5.9.2数学模型 231
5.9.3计算方法与结果分析 232
习题5 233
6 常微分方程数值解法 237
6.1 微分方程数值解法概述 237
6.1.1问题及基本假设 237
6.1.2离散化方法 238
6.2 Euler方法 238
6.2.1Euler公式 238
6.2.2后退Euler公式 241
6.2.3梯形公式 242
6.2.4预测校正系统与改进Euler公式 243
6.2.5整体截断误差 245
6.3 Runge-Kutta方法 246
6.3.1Runge-Kutta方法的基本思想 246
6.3.2 2阶Runge-Kutta公式 248
6.3.3高阶Runge-Kutta公式 250
6.3.4隐式Runge-Kutta公式 252
6.4 单步方法的收敛性和稳定性 253
6.4单步方法的收敛性 253
6.4单步方法的稳定性 256
6.4单步方法的自适应算法 256
6.4单步方法的加速 257
6.5 线性多步法 258
6.5.1基于数值积分的构造方法 259
6.5.1.1Adams显示公式 259
6.5.1.2Adams隐式公式 261
6.5.1.3Adams预测校正方法 263
6.5.1.4Adams公式的加速 264
6.5.2基于Taylor展开的特定系数方法 265
6.5.3多步法的收敛性和稳定性 267
6.5.4绝对稳定性和绝对稳定域 269
6.6 1阶微分方程组与高阶微分方程 270
6.6.1 1阶微分方程组 270
6.6.2高阶微分方程 271
6.6.3刚性问题 273
6.7 边值问题的数值解法 275
6.7.1试射法 276
6.7.2差分法 277
6.8 应用实例：磁流体发电通道的数值计算 280
6.8.1问题的背景 280
6.8.2数学模型 280
6.8.3计算方法与结果分析 281
习题6 282
7 矩阵特征计算 286
7.1 引言 286
7.2 幂法及反幂法 288
7.2.1求主特征值的幂法 288
7.2.2幂法的加速技巧 294
7.2.3反幂法 297
7.3 实对称矩阵的Jacobi法 299
7.3.1Jacobi法 300
7.3.2Jacobi法的变形 305
7.4 Givens 法和Housholde法r 306
7.4.1把实对称矩阵约化为三对角阵 306
7.4.2 Sturm序列与二分法 311
7.5 QR算法 313
7.5.1基本算法 313
7.5.2具有位移的QR算法 314
习题7 316
8 偏微分方程的数值解法 318
8.1 抛物型方程的差分解法 318
8.1.1网格剖分 319
8.1.2古典显格式 320
8.1.3古典隐格式 322
8.1.4Crank-Nicolson格式 323
8.1.5Richardson格式 326
8.2 差分格式的稳定性和收敛性 331
8.2.1差分格式的稳定性 331
8.2.2差分格式的收敛性 338
8.3 双曲型主程的差分解法 339
8.3.1显格式 340
8.3.2隐格式 343
8.4 椭圆型方程的差分解法 346
8.4.1差分方程的建立 346
8.4.2差分格式解的先验估计及其收敛性 349
8.5 变分原理 352
8.5.1 2次函数的极值 352
8.5.2边值问题的变分原理 354
8.6 Ritz-Galerkin方法 357
8.7 有限元法 360
8.7.1三角形剖分 360
8.7.2试探函数空间的构造 361
8.7.3试探函数空间的基函数 362
8.7.4有限元方程 363
8.8 应用实例：水污染方程的有限差分解法 365
8.8.1问题的背景 365
8.8.2数学模型 366
8.8.3计算方法与结果分析 367
习题8 367
参考文献 371