第一章 基础知识 1
1.1 误差 1
1.1.1 误差源 1
4.5.1 阿达？ 2
4.5.2 2
4.5 阿达姆斯方法 2
1.1.2 误差的初等分析 2
1.2 计算机的算术运算 3
1.2.1 定点数及其运算 3
1.2.2 浮点数及其运算 5
1.3.1 算术运算的误差传播 7
1.3 误差传播 7
1.3.2 函数计算的误差传播 9
1.5 切彼晓夫正交多项式 10
1.4 函数的模 10
1.6 正交多项式的一般性质 14
1.6.1 一般正交多项式的构成和？推关系 14
1.6.2 正交多项式的零点 16
1.6.3 函数的正交多项式展开 16
1.6.4 离散情况下的正交多项式 17
1.7 几种常用的正交多项式 18
1.7.1 第二类切彼晓夫多项式 18
1.7.2 勒让德多项式 19
1.7.3 拉盖尔多项式 20
1.7.4 埃尔米特多项式 20
小结 21
附录一 部分切彼晓夫多项式 21
习题一 22
第二章 插值 24
2.1 引言 24
2.2 拉格朗日插值多项式 24
2.3 差分、差商和牛顿插值多项式 28
2.4 埃尔米特插值多项式 33
2.5 样条插值 36
小结 41
习题二 41
3.1 数值微分 44
第三章 数值微分与数值积分 44
3.2 牛顿-柯特斯求积公式 49
3.2.1 闭型牛顿-柯特斯求积公式 49
3.2.2 开型牛顿-柯特斯求积公式 53
3.2.3 牛顿-柯特斯求积公式的舍入误差 54
3.2.4 牛顿-柯特斯求积公式的收敛性 55
3.3 组合型求积公式和自适应积分 56
3.3.1 组合型求积公式 56
3.3.2 自适应积分方法 58
3.3.3 龙贝格积分 60
3.4 高斯型积分 64
3.4.1 引言 64
3.4.2 一般的高斯型求积公式 64
3.4.3 用正交多项式表示高斯型求积公式的系数 67
3.4.4 几种常用的高斯型求积公式 69
3.5.2 样条积分 75
3.5 数值积分的进一步讨论 75
3.5.1 奇异积分 75
3.5.3 重积分的计算 76
小结 79
习题三 79
4.1 引言 82
第四章 常微分方程初值问题 82
4.2 尤拉方法 84
4.3 龙格-库塔方法 89
4.4 单步法的使用 95
4.4.1 李查逊加速和误差估计 99
4.4.2 误差控制和龙格-库塔-Fehlberg方法？ 99
4.4.2 误差控制和龙格-库塔-Fehlberg方法？ 99
4.4.2 误差控制和龙格-库塔-Fehlberg方法？ 99
4.5.3 阿达姆斯公式的使用和加速 103
4.5.4 预报-校正格式的收敛性 104
4.5.5 变步长阿达姆斯预报-校正算法 105
4.6 米尔尼方法和哈明方法 107
4.6.1 米尔尼方法 107
4.6.2 哈明方法 109
4.7 埃尔米特方法 110
4.8 例 112
4.9 常微分方程组的数值解 115
4.10 稳定性 118
4.10.1 齐次常系数线性差分方程 118
4.10.2 差分格式的稳定性 119
习题四 123
小结 123
第五章 函数逼近与计算 127
5.1 引言 127
5.2 函数的一致逼近 127
5.2.1 一致逼近的基本定理 127
5.2.2 里米兹算法 129
5.3 多项式展开的函数逼近方法 130
5.3.1 台劳多项式逼近的局限性 130
5.3.2 函数的切彼晓夫多项式逼近 131
5.3.3 多项式的计算 134
5.3.4 幂级数精简 134
5.4.1 最小二乘的一般原理 136
5.4 最小二乘曲线拟合 136
5.4.2 多项式的最小二乘逼近 139
5.4.3 正交多项式的最小二乘逼近 141
5.4.4 Gram多项式的最小二乘逼近 143
5.4.5 例 143
5.5 函数的有理分式逼近 145
5.5.1 Pade逼近 145
5.5.2 Pade逼近的几个例题 146
5.5.3 有理分式计算 148
5.5.4 用切彼晓夫级数构造有理分式逼近 149
5.6.3 离散付立叶变换与周期函数的最小二乘法 156
5.7.1 FFT的直观推导 157
5.7 快速付立叶变换（FFT） 157
5.7.2 N=2r的库利-图基算法推导 161
5.8 实数据的FFT算法 165
5.8.1 同时计算两个实函数的FFT算法 165
5.8.2 用N点FFT计算2N个实数的付立叶变换 167
小结 168
附录二一些常用的初等函数逼近 169
公式 169
习题五 172
第六章 非线性方程求根 175
6.1 二分法 175
6.2 函数迭代 176
6.2.1 一般单点迭代 176
6.2.2 多点迭代 177
6.3 弦截法和抛物线法 178
6.3.1 试位法 179
6.3.2 弦截法 181
6.3.3 抛物线法 184
6.4 牛顿迭代法 185
6.4.1 单根情况下的牛顿迭代公式 186
6.4.2 重根情况下的牛顿迭代公式 189
6.5 实多项式的求根方法 191
6.5.1 求多项式全部突根或复根的途经 191
6.5.2 用牛顿迭代法求多项式的根 193
6.5.3 劈因子迭代法 194
6.5.4 实多项式系数误差对根的影响 198
6.6 实多项式的实根分布 199
6.7 非线性方程组 202
6.7.1 解非线性方程组的牛顿迭代法 203
6.7.2 最速下降法 205
小结 207
习题六 207
第七章 解线性代数方程组的直接法 211
7.1 引言 211
7.2 线性代数的基本理论 212
7.2.1 解的存在性和唯一性 212
7.2.2 内积和向量空间 212
7.2.3 矩阵的特征佱和特征向量 213
7.2.4 标准型 216
7.3.1 向量模 217
7.3 向量、矩阵的模 217
7.3.2 矩阵模 218
7.4 高斯消去法 221
7.4.1 高斯消去法 222
7.4.2 高斯消去法与LU分解 225
7.5 选主元和加比例因子的高斯消去法 229
7.5.1 高斯主元消去法 229
7.5.2 加比例因子的高斯消去法 231
7.6 高斯消去法的变形 233
7.6.1 杜利特尔方法 233
7.6.2 对称正定矩阵的平方根法 235
7.6.3 三对角线矩阵的追赶法 237
7.7.2 求逆矩阵 241
7.7 行列式和逆矩阵 241
7.7.1 行列式的计算 241
7.7.3 分块法求逆矩阵 244
7.8 误差分析 246
7.8.1 自由项扰动对解的影响 248
7.8.2 矩阵的条件数 248
7.8.3 A？的估计 250
7.8.4 系数矩阵扰动对解的影响 251
7.8.5 舍入误差的影响 252
7.8.6 剩余、误差及迭代校正法 253
小结 255
习题七 255
8.1 向量和矩阵的极限 259
第八章 解线性代数方程组的迭代法 259
8.2 迭代法 262
8.2.1 迭代法的一般形式 262
8.2.2 迭代法的收敛性 263
8.2.3 迭代法的收敛速度 264
8.3 雅可比迭代 265
8.3.1 雅可比迭代 265
8.3.2 雅可比迭代的收敛性 267
8.4 赛德尔迭代 271
8.4.1 赛德尔迭代 271
8.4.2 赛德尔迭代的收敛性 272
8.5.1 松弛迭代的一般形式 275
8.5 松弛法 275
8.5.2 坐标松弛法 277
8.5.3 最优斜量法 279
小结 280
习题八 280
第九章 矩阵特征值和特征向量的解法 283
9.1 引言 283
9.2 幂法求按模最大特征值 283
9.3 幂法的变形与加速 290
9.3.1 简单移位法 290
9.3.2 幂法的加速 290
9.3.4 内积法 292
9.3.3 反幂法 292
9.4 雅可比方法 294
9.5 Givens方法和Householder方法 298
9.5.1 Givens方法 298
9.5.2 Householder方法 299
9.5.3 对称三对角阵的特征值 303
9.5.4 求特征向量 305
9.6 LR和QR算法 306
9.6.1 一般原理 306
9.6.2 收敛性 307
9.6.3 计算技术 309
小结 318
习题九 318
参考书目 321