第Ⅰ部分 数学与自然科学相互作用总览 3
第1章 什么是应用数学？ 3
1.1 应用数学的本质 3
1.1.1 应用数学的范围、目的与实践 4
1.1.2 应用数学与纯粹数学的对比 5
1.1.3 应用数学与理论科学的对比 6
1.1.4 工程学中的应用数学 7
1.1.5 本卷计划 7
1.1.6 把应用数学统一起来的某些概念 8
1.2 星系结构分析导引 8
1.2.1 支配星系行为的物理定律 9
1.2.2 宇宙的构造组元 9
1.2.3 星系分类 10
1.2.4 星系的组成 11
1.2.5 恒星体系的动力学 12
1.2.6 横越银盘的恒星分布 14
1.2.7 星系螺旋的密度波理论 17
1.3 黏菌阿米巴的聚集 19
1.3.1 关于黏菌阿米巴的一些事实 19
1.3.2 数学模型的表述 20
1.3.3 精确解：均匀态 24
1.3.4 把聚集的开始当作失稳问题来分析 24
1.3.5 对于分析进行解释 26
附录1.1 关于应用数学的某些见解 27
第2章 确定性系统和常微分方程 32
2.1 行星轨道 32
2.1.1 开普勒定律 33
2.1.2 万有引力定律 34
2.1.3 反问题：行星与彗星的轨道 35
2.1.4 根据广义相对论求得的行星轨道 36
2.1.5 关于方法选择的评论 37
2.1.6 N个粒子：一个确定性的体系 37
2.1.7 线性 38
2.2 扰动理论初步，包括关于周期轨道的庞加莱方法 40
2.2.1 扰动理论：初步考虑 40
2.2.2 单摆 43
2.2.3 关于单摆运动的逐次逼近法 44
2.2.4 应用于单摆问题的扰动级数 46
2.2.5 庞加莱的扰动理论 47
2.2.6 庞加莱方法的推广 48
2.3 常微分方程组 50
2.3.1 初值问题：定理的陈述 51
2.3.2 唯一性定理的证明 53
2.3.3 存在性定理的证明 54
2.3.4 对于一个参数或初始条件的连续依赖关系 56
2.3.5 可微性 57
2.3.6 非唯一性的例子 59
2.3.7 有限差分法 59
2.3.8 关于“纯粹”与“应用”数学之间关系的进一步评论 61
第3章 随机过程与偏微分方程 63
3.1 一维随机走动模型；朗之万方程 64
3.1.1 一维随机走动模型 64
3.1.2 显解 66
3.1.3 均值，方差与母函数 67
3.1.4 使用随机微分方程，通过观察布朗运动来求得玻耳兹曼常数 69
3.2 渐近级数、拉普拉斯方法、伽玛函数及Stirling公式 72
3.2.1 一个例子：借助于分部积分的渐近展开 73
3.2.2 渐近展开理论中的定义 74
3.2.3 拉普拉斯方法 75
3.2.4 伽玛函数的渐近Stirling级数展开 77
3.2.5 逐项积分法的合法性 80
3.3 差分方程及其极限 81
3.3.1 概率函数的差分方程 82
3.3.2 以微分方程来逼近差分方程 82
3.3.3 概率分布函数的微分方程的解 84
3.3.4 关于极限过程的进一步考察 85
3.3.5 反射与吸收势垒 86
3.3.6 凝固作用：首次穿越理论的应用 87
3.4 有关概率和偏微分方程之间关系的进一步考虑 89
3.4.1 关于扩散方程及其与随机走动之间关系的进一步讨论 90
3.4.2 基本解的叠加：镜像法 92
3.4.3 作为一种流量的首次穿越时间 93
3.4.4 扩散问题中的广义初值问题 93
3.4.5 把一根杆扭曲是如何给出了关于DNA分子的信息的 95
3.4.6 布朗运动的递归性质 97
附录3.1 符号O和0 100
第4章 叠加法、热流动和傅里叶分析 102
4.1 热传导 103
4.1.1 定态热传导 103
4.1.2 一维热传导的微分方程 104
4.1.3 一维热传导的初始边值问题 105
4.1.4 过去、现在和将来 106
4.1.5 三维空间中的热传导 107
4.1.6 唯一性定理的证明 108
4.1.7 极大值原理 109
4.1.8 分离变量求解法 110
4.1.9 解释；无量纲表示式 113
4.1.10 对于扩散到某一给定距离所需时间的估计 114
4.2 傅里叶定理 116
4.2.1 傅里叶正弦级数的加法 116
4.2.2 引理的证明 118
4.2.3 一个形式变换 120
4.2.4 全范围中的傅里叶级数 120
4.2.5 傅里叶级数的加法 121
4.2.6 半范围级数 122
4.3 傅里叶级数的性质 122
4.3.1 常值函数的傅里叶级数 122
4.3.2 线性函数的傅里叶级数 123
4.3.3 二次函数的傅里叶级数 124
4.3.4 傅里叶级数的积分和微分 124
4.3.5 吉布斯现象 126
4.3.6 具有最小二乘误差的近似 128
4.3.7 贝塞尔不等式和Parseval定理 131
4.3.8 Riesz-Fischer定理 131
4.3.9 Parseval定理的应用 132
第5章 傅里叶分析的进一步讨论 135
5.1 热传导的其他方面 135
5.1.1 地下温度的变化 135
5.1.2 传热方程的数值积分 138
5.1.3 非均匀介质中的热传导 140
5.2 Sturm-Liouville系统 143
5.2.1 本征值和本征函数的性质 144
5.2.2 正交性和正规化 144
5.2.3 按本征函数展开 146
5.2.4 本征函数与本征值的渐近近似 147
5.2.5 计算本征函数与本征值的其他方法 149
5.3 傅里叶变换的简短导引 150
5.3.1 傅里叶变换公式与傅里叶恒等式 150
5.3.2 用傅里叶变换求解传热方程 153
5.4 广义调和分析 154
5.4.1 关于不能用标准傅里叶方法分析的函数的评注 155
5.4.2 截断正弦函数的傅里叶级数分析 155
5.4.3 截断正弦函数的傅里叶积分分析 156
5.4.4 推广到稳态时间序列 159
5.4.5 自相关函数和功率谱 160
5.4.6 功率谱与自相关之间的余弦变换关系的核验 161
5.4.7 应用 162
第Ⅱ部分 用常微分方程说明的一些基本过程 167
第6章 简化，量纲分析和尺度化 167
6.1 基本简化步骤 167
6.1.1 基本简化步骤示例 168
6.1.2 两个惩戒性的例子 169
6.1.3 调节和灵敏度 170
6.1.4 函数的零点 171
6.1.5 二阶微分方程 172
6.1.6 建议 175
6.2 量纲分析 176
6.2.1 把一个微分方程化成无量纲形式 177
6.2.2 函数关系的无量纲化 179
6.2.3 几何相似模型的应用 181
6.2.4 总结 183
6.3 尺度化 188
6.3.1 尺度化的定义 190
6.3.2 抛射问题的尺度化 190
6.3.3 数量级 192
6.3.4 已知函数的尺度化 193
6.3.5 正统性 197
6.3.6 尺度化和扰动理论 200
6.3.7 尺度化未知函数 200
第7章 正则扰动理论 203
7.1 应用于单摆问题的级数方法 203
7.1.1 预备知识 203
7.1.2 级数方法 205
7.1.3 至此所得结果的讨论 208
7.1.4 高阶项 209
7.2 用扰动理论求解抛射问题 211
7.2.1 级数方法 211
7.2.2 参数微商法 215
7.2.3 逐次逼近法（迭代方法） 216
7.2.4 关于正则扰动理论的总评述 219
第8章 一个生理流动问题的求解及其所示明的技巧 222
8.1 一个靠渗透驱赶的固定梯度流动模型的物理表述和量纲分析 222
8.1.1 一些生理学事实 222
8.1.2 渗透作用和渗透压克分子 224
8.1.3 影响固定梯度流动的因素 225
8.1.4 函数关系的量纲分析 227
8.1.5 建立按比例放大的固定梯度流动模型的可能性 230
8.2 一个数学模型及其量纲分析 230
8.2.1 流体质量的守恒 230
8.2.2 溶质质量的守恒 231
8.2.3 边界条件 232
8.2.4 无量纲变量的引进 234
8.2.5 量纲分析的物理方法和数学方法的比较 236
8.3 求得最终尺度化了的无量纲形式的数学模型 238
8.3.1 尺度化 238
8.3.2 无量纲参数大小的估算 240
8.3.3 一个失败的正则扰动计算 240
8.3.4 参数之间的关系 241
8.3.5 最终的表述 243
8.4 解答和解释 244
8.4.1 解的一级近似 244
8.4.2 数值计算的比较 245
8.4.3 解释：无量纲参数的物理意义 247
8.4.4 结束语 249
第9章 奇异扰动理论引论 251
9.1 高次方程的根 252
9.1.1 一个简单问题 252
9.1.2 一个比较复杂的问题 254
9.1.3 尺度化的应用 257
9.2 常微分方程的边值问题 258
9.2.1 对一个模型问题的精确解的研究 258
9.2.2 用奇异扰动法求近似解 263
9.2.3 匹配 265
9.2.4 进一步的例子 266
第10章 奇异扰动理论在生化动力学问题中的一个应用 273
10.1 关于一种酶——一个底物的化学反应初值问题的表述 273
10.1.1 质量作用定律 273
10.1.2 酶催化 275
10.1.3 尺度化以及问题的最终表述 277
10.2 用奇异扰动方法求得的近似解 278
10.2.1 作为外部解的Michaelis-Menten动力学 278
10.2.2 内部解 279
10.2.3 一致近似 280
10.2.4 关于已知结果的评论 281
10.2.5 高阶近似 282
10.2.6 对于长时间的进一步分析 286
10.2.7 关于近似解的进一步讨论 287
第11章 应用于单摆问题的三种技巧 291
11.1 单摆正常平衡和倒置平衡的稳定性 291
11.1.1 确定平衡的稳定性 291
11.1.2 结果的讨论 293
11.2 多重尺度展开 294
11.2.1 把一个双尺度级数代入摆方程 296
11.2.2 求解最低阶方程 297
11.2.3 较高阶的近似，排除共振项 298
11.2.4 提要和讨论 299
11.3 相平面 303
11.3.1 非阻尼单摆的位相图 304
11.3.2 分离线 305
11.3.3 临界点 306
11.3.4 极限环 307
11.3.5 轨道在临界点附近的性质 307
第Ⅲ部分 连续介质场理论引论 315
第12章 杆的纵向运动 315
12.1 基本方程的推导 315
12.1.1 几何形状 315
12.1.2 物质导数和雅可比 318
12.1.3 质量守恒 321
12.1.4 力和应力 323
12.1.5 线动量的平衡 324
12.1.6 应变和应力-应变关系 327
12.1.7 初始条件和边界条件 330
12.1.8 线性化 332
12.2 一维弹性波的传播 339
12.2.1 波动方程 339
12.2.2 波动方程的通解 339
12.2.3 解的物理意义 341
12.2.4 解的复数形式 341
12.2.5 正弦波分析 342
12.2.6 一个属性间断面的影响 343
12.3 间断解 349
12.3.1 间断面的运动 350
12.3.2 间断面的性质 356
12.4 功、能量和振动 360
12.4.1 功和能量 360
12.4.2 一个振动问题 363
12.4.3 瑞利商 363
12.4.4 本征值和本征函数的性质 364
12.4.5 属性不变时的一个精确解 365
12.4.6 把最低的本征值表征为瑞利商的极小值 366
12.4.7 对一个楔的最低本征值的估算 366
第13章 连续介质 370
13.1 连续介质模型 371
13.1.1 分子平均 372
13.1.2 质量分布函数 373
13.1.3 连续介质作为一个独立的模型 375
13.2 可变形介质的运动学 376
13.2.1 点和微团 376
13.2.2 物质描述和空间描述 377
13.2.3 流线和微团的轨道 379
13.2.4 一个简单的运动学边界条件 382
13.3 物质导数 383
13.4 雅可比及其物质导数 386
附录13.1 390
附录13.2 392
附录13.3 393
第14章 连续介质力学的场方程 396
14.1 质量守恒 396
14.1.1 积分方法：任意物质区域 397
14.1.2 积分方法：任意空间区域 400
14.1.3 小盒方法 400
14.1.4 大盒方法 402
14.2 线动量平衡 409
14.2.1 局部应力平衡 411
14.2.2 作用和反作用 412
14.2.3 应力张量 413
14.2.4 微分方程形式的牛顿第二定律 415
14.3 角动量平衡 418
14.3.1 扭矩和角动量 418
14.3.2 极性流体 419
14.3.3 应力张量的对称性 420
14.3.4 局部力矩平衡原则 420
14.3.5 一个立方体的局部力短平衡 421
14.4 能量和熵 424
14.4.1 理想气体 424
14.4.2 平衡热力学 427
14.4.3 非均匀性和运动的影响 428
14.4.4 能量平衡 428
14.4.5 熵、温度和压力 430
14.4.6 内能和形变率 432
14.4.7 流体中的能量和熵 433
14.5 本构方程、协变性和连续介质模型 436
14.5.1 场方程的扼要再述 437
14.5.2 本构方程引论 438
14.5.3 协变性原则 438
14.5.4 经典连续介质力学的有效性 441
附录14.1 空间均匀物质的热力学 442
附录14.2 一些历史记注 450
第15章 无黏性流体的流动 453
15.1 静止流体和无黏性流体中的应力 453
15.1.1 分子观点 453
15.1.2 连续介质观点 454
15.1.3 流体静力学 455
15.1.4 无黏性流体 457
15.2 分层流体的稳定性 460
15.2.1 基本方程及其精确平衡解 462
15.2.2 扰动的线化方程 463
15.2.3 把增长率σ表征为一个本征值 466
15.2.4 定性的一般推导 468
15.2.5 一个特殊分层问题的详细结果 469
15.2.6 正态模的叠加 473
15.2.7 非线性效应 474
15.2.8 已解得的例子：一个黏性流动失稳的模型 475
15.3 气体中的压缩波 482
15.3.1 完全气体的无黏等熵流动 482
15.3.2 小振幅波 483
15.3.3 声速 485
15.3.4 球面波 485
15.3.5 一维非线性波 486
15.3.6 激波 489
15.4 绕圆柱的均匀流动 493
15.4.1 表述 493
15.4.2 用变量分离法求解 494
15.4.3 解的解释 497
附录15.1 三维情况下达朗伯佯谬的一种证明 501
附录15.2 极坐标和柱坐标 504
第16章 位势理论 506
16.1 拉普拉斯方程和泊松方程 506
16.1.1 离散质量分布的引力位势 506
16.1.2 连续介质分布区的引力位势 507
16.1.3 关于调和函数的定理 509
16.1.4 泊松方程解的积分表达式 511
16.1.5 唯一性 512
16.2 格林函数 513
16.2.1 狄利克雷问题的格林函数 513
16.2.2 利用格林函数表示调和函数 514
16.2.3 格林函数的对称性 514
16.2.4 简单区域的显公式 515
16.2.5 源、像以及倒易概念的广泛应用 516
16.2.6 诺伊曼问题的格林函数 517
16.2.7 霍姆亥兹方程的格林函数 518
16.3 小孔对声波的衍射 519
16.3.1 表述 519
16.3.2 选择合适的格林函数 521
16.3.3 衍射积分的推导 522
16.3.4 衍射积分的近似计算 523
参考书目 526
提示和答案 532