目录 3
第一篇 线性代数 3
第一章 n阶行列式 3
第一节 n阶行列式的定义 3
第二节 n阶行列式的性质 5
第三节 克莱姆法则 11
习题 13
内容小结 14
复习思考题一 15
第二章 矩阵 17
第一节 线性变换与矩阵的概念 17
第二节 矩阵的运算 20
一、矩阵的和与差数与矩阵的乘积 20
二、矩阵与矩阵的乘积 22
三、矩阵的分块运算 27
第三节 矩阵的逆 29
一、逆阵的概念 29
二、逆阵存在的条件及其求法 31
一、矩阵的初等变换 36
第四节 矩阵的初等变换与初等矩阵 36
二、初等矩阵 38
习题二 42
内容小结 44
复习思考题二 46
测验作业题一 47
第三章 向量的线性相关性与矩阵的秩 49
第一节 n维向量及其线性运算 49
一、n维向量 49
二、向量的线性运算 50
一、向量的线性相关与线性无关概念 51
第二节 向量的线性相关性 51
二、向量的线性相关性的判别定理 53
第三节 向量组的秩 55
一、等价向量组 55
二、向量组的秩 57
第四节 矩阵的秩 58
一、矩阵的秩 58
二、用矩阵的初等变换求矩阵的秩 61
第五节 n维向量空间 63
一、n维向量空间的概念 63
二、基底坐标 64
习题三 66
内容小结 66
复习思考题三 68
第四章 线性方程组 70
第一节 线性方程组的相容性 70
第二节 非齐次线性方程组 73
一、解的讨论 73
二、用行的初等变换求解 78
一、有非零解的充要条件及其解法 84
第三节 齐次线性方程组 84
二、基础解系 87
三、非齐次方程组解的结构 91
习题四 94
内容小结 95
复习思考题四 96
测验作业题二 97
第五章 二次型 98
第一节 二次型和它的标准形 98
一、二次型及其矩阵表示 98
二、二次型的标准形 99
第二节 用矩阵的合同变换化二次型为标准形 100
一、矩阵合同的概念 100
二、用矩阵的合同变换化对称方阵为对角方阵 102
三、用初等合同变换化对称矩阵为对角矩阵 104
四、化二次型为标准形 107
第三节 正交矩阵和正交向量组 108
一、正交矩阵和正交变换 108
二、正交向量组和正交化方法 110
一、方阵的特征值和特征向量 114
第四节 方阵的特征值和特征向量 114
二、实对称矩阵的特征值和特征向量 116
第五节 用正交变换化二次型为标准形 118
一、化实对称矩阵为对角矩阵 118
二、用正交变换化二次型为标准形 123
第六节 正定二次型 127
习题五 128
内容小结 129
复习思考题五 132
测验作业题三 133
第一节 振动方程的推导 137
一、弦的微小横振动方程 137
第六章 典型方程和定解问题 137
第二篇 数理方程 137
二、杆的纵振动方程 139
三、薄膜的微小横振动方程 141
第二节 热传导方程与拉普拉斯方程的推导 142
一、杆的热传导方程 142
二、空间物体的热传导 144
三、恒稳热场的热传导与拉普拉斯方程 146
第三节 初始条件和边界条件 147
一、初始条件 147
二、边界条件 148
第四节 定解问题 152
第五节 二阶线性偏微分方程的一些基本知识 155
一、方程的分类 155
二、二阶线性偏微分方程解的一些性质 156
第六节 无界弦的自由振动初值问题的达朗贝尔解法 157
一、无界弦的自由振动方程的通解 157
二、无界弦自由振动初值问题解的达朗贝尔公式 158
三、达朗贝尔解的物理意义 161
习题六 162
内容小结 164
复习思考题六 165
第一节 有界弦的自由横振动 168
第七章 振动方程的分离变量解法 168
第二节 有界弦的强迫横振动 178
第三节 非齐次边界条件的处理 186
第四节 矩形膜的自由横振动 192
第五节 简支梁的自由横振动 196
习题七 199
内容小结 202
复习思考题七 203
测验作业题四 205
第一节 有限长杆的热传导 207
第八章 热传导方程与拉普拉斯方程的分离变量解法 207
第二节 带有非齐次方程或非齐次边界条件的热传导问题举例 214
第三节 矩形域上拉普拉斯方程的狄里赫莱问题 220
第四节 圆域上拉普拉斯方程的狄里赫莱问题 224
习题八 231
内容小结 233
复习思考题八 235
第九章 贝塞尔函数及其在分离变量法中的应用 237
第一节 贝塞尔方程及其求解 237
一、递推公式 242
第二节 贝塞尔函数的递推公式 242
二、递推公式的应用 244
第三节 贝塞尔函数的渐近公式与零点 247
一、贝塞尔函数的渐近公式 247
二、贝塞尔函数的零点 249
第四节 把函数展开成贝塞尔函数的级数 250
一、贝塞尔函数的正交性 250
二、把函数展开为傅立叶－贝塞尔级数 255
第五节 贝塞尔函数的应用举例 256
习题九 262
内容小结 263
复习思考题九 265
测验作业题五 266
第十章 积分变换法 267
第一节 傅立叶积分和傅立叶变换 267
一、傅立叶积分和傅立叶积分定理 267
二、傅立叶变换及其逆变换 268
第二节 傅立叶变换的基本性质 271
一、傅立叶变换的运算性质 271
二、卷积和它的性质 272
三、卷积定理 274
第三节 应用傅立叶变换解微分方程 275
第四节 拉普拉斯变换 280
一、拉普拉斯变换的概念 280
二、拉普拉斯变换的存在定理 281
三、拉普拉斯变换的计算举例 282
第五节 拉普拉斯变换的基本性质 283
一、拉普拉斯变换的运算性质 283
二、卷积及其性质 286
三、卷积定理 286
第六节 海维赛特展开式 288
一、解线性常微分方程的初值问题 293
第七节 拉普拉斯变换在解微分方程中的应用 293
二、解线性偏微分方程的定解问题 296
习题十 300
内容小结 302
复习思考题十 305
测验作业题六 306
附录一 贝塞尔函数J0(x)和J1(x)的函数值表 308
附录二 傅立叶交换简表 314
附录三 拉普拉斯变换简表 315
习题及复习思考题答案 318
“数理方程”主要参考书目 345