第一章 绪论 1
§1 数值计算方法研究的对象与特点 1
§2 误差的基本概念及误差分析 2
2．1 误差的来源 2
2．2 误差的基本概念 2
2．3 误差分析 6
§3 数值运算中误差分析的若干原则 8
习题一 12
2．1 基本概念 14
§1 引言 15
第二章 解线性方程组的直接法 15
2．1 Gauss消去法 16
§2 Gauss消去法 16
2．2 Gauss 消去法的计算量 19
§3 Gauss主元素消去法 19
3．1 主元素及其选取问题 19
3．2 列主元素消去法 20
3．3 完全主元素消去法 23
§4 直接三角分解法 26
4．1 LU分解 26
4．2 Cholesky分解法 36
4．3 追赶法 42
§5 Gauss-Jordan消去法 45
5．1 Gauss-Jordan消去法 45
5．2 Gauss-Jordan消去法求逆矩阵 48
§6 向量范数与矩阵范数 49
6．1 向量范数 49
6．2 矩阵范数 51
§7 误差分析 55
习题二 60
第三章 解线性方程组的迭代法 66
§1 引言 66
§2 Jaccobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法 68
2．1 Jaccobi迭代法 68
2．2 Gauss-Seidel迭代法 69
§3 迭代法的收敛性 71
§4 超松弛迭代法和对称超松弛迭代法 81
4．1 超松弛迭代法 81
4．2 对称超松弛迭代法 85
习题三 87
1．1 插值问题 93
第四章 插值法 93
§1 引言 93
1．2 代数插值多项式的存在唯一性 94
§2 Lagrange插值 95
2．1 线性插值 95
2．2 二次（抛物线）插值 97
2．3 Lagrange插值多项式 100
2．4 Lagrange插值余项 100
§3 差商与Newton插值 102
3．1 差商及其性质 103
3．2 Newton插值公式 105
§4 差分与等距节点插值公式 108
4．1 差分及其性质 108
4．2 等距节点的Newton插值公式 110
§5 Hermite插值 112
§6 分段低次插值 116
6．1 分段线性插值 117
6．2 分段三次Hermite插值 121
§7 三次样条插值 124
7．1 样条函数的概念 124
7．2 三次样条插值多项式 125
习题四 134
第五章 函数逼近 140
§1 引言 140
§2 正交多项式 141
2．2 常用的正交多项式 142
§3 最佳平方逼近 150
3．1 函数的最佳平方逼近 150
3．2 用正交多项式作函数的平方逼近 156
3．3 函数按正交多项式展开 158
§4 曲线拟合的最小二乘法 160
4．1 一般的最小二乘法 160
4．2 用正交函数作最小二乘拟合 166
§5* 最佳一致逼近多项式 168
5．1 最佳一致逼近的概念 168
5．2 最佳一次逼近多项式 172
5．3 Remes算法 173
5．4 Chebyshev插值法 175
习题五 177
§1 二分法 181
第六章 非线性方程的数值解法 181
§2 简单迭代法 184
2．1 简单迭代法 184
2．2 局部收敛性、收敛阶 189
2．3 迭代公式的加速 191
§3 Newton法及其变形 194
§4 弦截法与抛物线法 198
4．1 弦截法 198
4．2 抛物线法 200
5．1 解代数方程的Newton法 201
§5 解代数方程和非线性方程组的Newton法 201
5．2 解非线性方程组的Newton法 203
习题六 206
第七章 数值积分和数值微分 210
§1 Newton-Cotes求积公式 211
1．1 Newton-Cotes公式的导出 211
1．2 Newton-Cotes公式的误差分析 216
§2 复化求积公式及其误差分析 218
2．1 复化梯形公式 218
2．2 复化Simpson公式 219
2．3 复化公式的误差分析 221
§3 Romberg积分 224
3．1 数值方法中的加速收敛技巧——外推算法 224
3．2 Romberg积分 226
§4 Gauss求积公式 229
4．1 Gauss求积公式 230
4．2 Gauss求积公式的误差估计 234
4．3 一般情况下Gauss型求积公式的构造 237
§5 样条求积公式 239
6．1 插值型求导公式 240
§6 数值微分 240
6．2样条求导公式 244
习题七 246
第八章 常微分方程数值解 250
§1 引言 250
§2 Euler方法 251
2．1 Euler方法 251
2．2 梯形公式 254
§3 Runge-Kutta方法 257
3．1 Taylor级数法 257
3．2 Runge-Kutta方法 258
§4 线性多步方法 262
4．1 Adams外插法 262
4．2 Adams内插法 265
4．3 一般的线性多步方法 267
§5 数值方法的收敛性和稳定性 270
5．1 收敛性 270
5．2 稳定性 271
5．3 步长的选择 273
§6 一阶方程组 274
7．1 差分方法 276
§7 边值问题的数值解法 276
7．2 试射法 279
习题八 279
第九章 矩阵特征值与特征向量的计算 283
§1 特征值问题的性质及正交相似变换 283
1．1 特征值的范围 283
1．2 特征值的扰动 285
1．3 Householder变换 286
1．4 Givens变换 288
1．5 矩阵的QR分解 289
2．1 乘幂法 292
§2 乘幂法 292
2．2 收缩方法 295
2．3 加速方法 296
2．4 反幂法 297
§3 用正交相似变换化矩阵为Hessenberg矩阵 298
3．1 矩阵的Schur分解 298
3．2 化矩阵为Hessenberg阵 299
§4 QR方法 301
4．1 QR方法 302
4．2 Hessenberg矩阵的QR方法 304
4．3 带位移的QR方法 305
§5 对称矩阵特征值问题 306
5．1 Jacobi方法 306
5．2 过关Jacobi方法 311
5．3 对称QR方法 312
5．4 求对称三对角矩阵的二分法 313
习题九 316
中英文人名对照表 319
参考文献 320
部分练习答案 322