目录 1
第1章绪论 1
1.1科学与工程计算 1
1.2误差的产生和分类 2
1.3误差和有效数字 4
1.3.1绝对误差和绝对误差限 4
1.3.2有效数字 5
1.3.3相对误差和相对误差限 7
1.3.4有效数字与相对误差 8
1.4运算误差分析 11
1.4.1函数运算误差 11
1.4.2算术运算误差 12
1.5数值稳定性和减小运算误差 13
1.5.1数值稳定性 13
1.5.2减小运算误差 15
1.6数学基础 19
1.6.1微积分的若干定理 19
1.6.2高等代数的若干概念和结论 20
习题 26
思考题 26
第2章方程求根 29
2.1二分法 29
2.1.1初始值的搜索 30
2.1.2区间二分法 30
2.2迭代法的一般理论 32
2.2.1不动点迭代 32
2.2.2迭代法的收敛性 34
2.2.3迭代法的收敛阶 42
2.2.4迭代过程的加速 44
2.3.1牛顿迭代公式 48
2.3牛顿迭代法 48
2.3.2局部收敛和收敛阶 51
2.3.3改进牛顿迭代公式 52
2.4弦位法 57
2.5多项式方程求根 59
2.5.1牛顿法求根 59
2.5.2劈因子法 61
思考题 66
习题 67
第3章解线性代数方程组的直接法 69
3.1.1基本思想 70
3.1高斯消去法 70
3.1.2计算步骤 71
3.1.3使用条件 75
3.1.4计算量 77
3.1.5矩阵描述 78
3.2列主元高斯消去法 82
3.2.1数值不稳定 82
3.2.2选主技术 83
3.2.3计算矩阵行列式 87
3.2.4 高斯－约当消去法 88
3.3.1杜里特尔分解法 91
3.3直接三角分解法 91
3.3.2三对角方程组的追赶法 99
3.3.3对称正定阵的乔累斯基分解法 103
3.4向量和矩阵的范数 107
3.4.1向量的范数 107
3.4.2矩阵的范数 111
3.5病态方程组和误差估计 114
3.5.1病态方程组和矩阵的条件数 114
3.5.2误差估计 118
习题 119
思考题 119
第4章解线性代数方程组的迭代法 123
4.1迭代法 123
4.1.1迭代格式的构造 123
4.1.2雅可比迭代 124
4.1.3高斯－塞德尔迭代 125
4.1.4松弛法 127
4.1.5迭代公式的矩阵形式 128
4.2迭代的收敛性 130
4.2.1收敛的充分必要条件 130
4.2.2用迭代矩阵的充分条件 133
4.2.3用特殊系数矩阵的充分条件 139
4.2.4松弛法的收敛性 143
思考题 144
习题 144
第5章插值和最小二乘法 147
5.1 引言 147
5.1.1 多项式插值 147
5.1.2多项式插值的唯一性 148
5.2拉格朗日插值 149
5.2.1线性插值和抛物线插值 149
5.2.2基函数和拉格朗日插值公式 152
5.2.3反插值 155
5.2.4插值余项及误差估计 157
5.2.5迭代插值 161
5.3牛顿插值 164
5.3.1差商及其性质 164
5.3.2牛顿插值公式 167
5.3.3差商和导数 170
5.3.4差分 172
5.3.5等距节点牛顿插值公式 175
5.4.1埃尔米特插值多项式的构造 177
5.4埃尔米特插值 177
5.4.2埃尔米特插值的唯一性及余项 178
5.4.3带不完全导数埃尔米特插值多项式 179
5.5分段插值法 180
5.5.1高次插值的龙格现象 180
5.5.2分段线性插值 181
5.5.3分段三次埃尔米特插值 183
5.6三次样条 184
5.6.1三次样条插值 184
5.6.2三弯矩方程 186
5.7.1预备知识 192
5.7正交多项式 192
5.7.2正交多项式 193
5.7.3勒让德多项式 194
5.7.4切比雪夫多项式 197
5.8最小二乘曲线拟合 198
5.8.1线性最小二乘拟合 198
5.8.2可线性化模型的最小二乘拟合 202
5.8.3多项式拟合 204
5.8.4用正交多项式作最小二乘拟合 206
思考题 207
习题 208
第6章数值积分和数值微分 211
6.1引言 212
6.1.1数值积分 212
6.1.2代数精确度 213
6.1.3插值求积公式 215
6.1.4待定系数法 218
6.2梯形公式和辛卜生公式 221
6.2.1牛顿－柯特斯公式 221
6.2.2低阶求积公式的代数精度 226
6.2.3低阶求积公式的余项 228
6.2.4求积公式的稳定性 232
6.2.5复化求积法 233
6.3外推原理和龙贝格算法 237
6.3.1 变步长梯形公式 237
6.3.2外推原理 239
6.3.3龙贝格算法 241
6.4高斯型求积公式 243
6.4.1 引言 243
6.4.2高斯－勒让德求积公式 246
6.4.3带权的高斯型求积公式 249
6.4.4高斯－切比雪夫求积公式 251
6.4.5数值稳定性 252
6.5数值微分 252
6.5.1差商求导 252
6.5.2插值求导 254
思考题 257
习题 257
第7章常微分方程数值解 260
7.1欧拉法和改进欧拉法 261
7.1.1欧拉法 261
7.1.3隐式欧拉法和两步法 264
7.1.2局部截断误差和阶 264
7.1.4梯形法 266
7.1.5改进欧拉法 266
7.2龙格－库塔法 269
7.2.1 引言 269
7.2.2龙格－库塔法的基本思想 269
7.2.3二阶龙格－库塔法的推导 271
7.2.4经典龙格－库塔法 274
7.3误差和稳定性 278
7.3.1误差和方法的阶 278
7.3.2单步法的稳定性 280
7.4线性多步法 282
7.4.1 引言 282
7.4.2亚当斯法 284
7.4.3预报－校正公式 287
7.5微分方程组和高阶微分方程 289
思考题 292
习题 293
习题参考答案 296
参考文献 302