目录 1
第1章 映射与等价关系 1
§1.1 映射 1
§1.2 映射的复合 3
§1.3 可逆映射 4
§1.4 笛卡儿积 5
§1.5 等价关系 6
第2章 代数预备知识 9
§2.1 线性空间与线性映射 10
§2.2 内积空间 13
§2.3 对偶空间 16
§2.4 多重线性函数 20
§2.5 非退化双线性函数 22
§2.6 外代数 24
§2.7 群 27
§2.8 同态 31
§2.9 商群 33
§2.10 环与域 36
§2.11 模 39
§2.12 自由模 41
§2.13 群在集合上的作用 42
第3章 Rn上的微分学 46
§3.1 Rn上的点集拓扑学 46
§3.2 可微映射 52
§3.3 Taylor公式 56
§3.4 反函数定理与隐函数定理 58
§3.5 同胚与微分同胚 60
§4.1 微分流形的概念 63
第4章 微分流形 63
§4.2 可微映射 68
§4.3 切空间 70
§4.4 二次超曲面 78
§4.5 切从 80
§4.6 应用：流形上的函数的极值 84
§4.7 子流形 85
§4.8 Riemann度量 86
第5章 流形上的向量场 87
§5.1 常微分方程组与向量场 87
§5.2 基本定理 89
§5.3 相流 90
§5.4 线性系统 92
§5.5 应用：非线性电路的微分方程 95
§5.6 Poisson括号 97
§5.7 单位分解 101
第6章 微分形式与积分 102
§6.1 余切空间 102
§6.2 微分形式 104
§6.3 外微分运算 108
§6.4 Poincaré引理 110
§6.5 定向 113
§6.6 链上的积分 115
§6.7 微分形式的应用（Ⅰ） 122
§6.8 微分形式的应用（Ⅱ） 124
§6.9 微分形式的应用（Ⅲ） 125
第7章 同调与上同调 130
§7.1 de Rham上同调 130
§7.2 同伦 132
§7.3 奇异同调群 135
§7.4 de Rham定理 138
§7.5 应用：Brouwer不动点定理 140
第8章 映射度 141
§8.1 正则值与映射度 141
§8.2 积分与映射度 147
§8.3 应用 151
第9章 Morse函数与奇异性 155
§9.1 Morse函数 155
§9.2 有关奇异性的一些基本概念 159
§9.3 余维数与有限决定性 161
§9.4 余维数不超过5的情形 164
§9.5 应用 166
第10章 流形上的力学 168
§10.1 位形空间与状态空间 168
§10.2 辛结构 170
§10.3 Hamilton力学 172
§10.4 首积分与对称性 176
参考文献 182
索引 183