一 你最熟悉的朋友——自然数 1
1.华生的第一个问题 2
2.巨轮的长 3
3.孩子与门牌号码 3
4.荷兰人买猪 4
5.创记录的因数分解 6
6.被2160整除的立方数 7
7.哪几盏灯亮着？ 8
8.何时重逢 9
9.丢番图的墓碑 10
10.请添三个数字 11
11.欧几里得永垂不朽 12
12.因数分解的妙法 13
13.十全数 15
14.十全数的韧性 17
15.分油问题 18
16.辗转相除法与裴蜀恒等式 19
17.货物的单价 21
18.能变成均等吗？ 21
19.素数的一个特征 22
20.最大公约数的性质 23
21.唯一分解定理的证明 24
1.三角形与三角数 27
二 多角数、完全数及其他 27
2.等差数列的求和 29
3.正方形与平方数 29
4.平方数与平方式 31
5.五边形与五角数 32
6.立体图形 33
7.一些不难证明的公式 35
8.一个不平凡的结论 36
9.什么数恰好有60个因数？ 38
10.因数的和 39
11.完全数——人们对它的认识并不完全 40
12.亲和数 42
13.高阶亲和数 43
三 素数——是永恒的谜吗？ 45
1.是合数还是素数？ 45
2.乘法公式大显身手 46
3.爱拉托斯散的筛子 47
4.殆素数与1+2的2 49
5.辛勤劳动的结晶——素数表 50
6.最大的素数 51
7.修道士的工作——梅森数 51
8.费尔马说错了 53
9.正十七边形的尺规作图 54
10.欧几里得的巧妙证明 55
11.费尔马教与素数的无限性 56
12.量与质 57
13.素数定理 58
14.算术级数中的素数 60
15.素数之间的间隙 61
16.一个容易的问题 62
17.几个无理数 62
18.“天造地设”的素数幻方 63
19.有表示素数的公式吗？ 64
20.哥德巴赫猜测 66
21.两个合数的和 67
22.李生素数 67
32.又一些猜测与问题 68
24.一个被推翻了的猜测 70
四 大师的发明——同余 71
1.华生的新把戏 72
2.同余 73
3.1+1=0 74
4.在费尔马失足的地方 76
5.整除的判别法 76
7.求余数 78
6.一个简单的数字问题 78
8.47的个位数字 79
9.1×3×5×…×1989的末三位数字 80
10.华生难倒了福尔摩斯 81
11.整除问题举例 82
12.三角数与偶完全数的末位数字 84
13.11…1不是平方数 85
14.平方数的末尾能有几个4？ 85
15.平方数的末位数字 86
16.用1、2、3、4、5、6、7作成的七位数 87
17.无相同项的两个数列 88
18.完全剩余系 89
19.有超韧性数吗？ 91
20.抽屉原则牛刀小试 91
21.在不定方程中的应用 92
22.在堆垒问题中的应用 94
五 欧拉的Φ函数 97
1.放石子 98
2.空格有了石子 99
3.染色问题 101
4.Φ(n)的计算公式 102
5.一个求和问题 103
7.30有惊人的性质 104
6.副产品 104
8.Φ(n)是积性函数 106
9.“我正是这样想的的!” 107
10.卡片上的数 108
11.欧拉定理 109
12.7的幂结尾能是0000001吗？ 110
13.数字全不为0的倍数 110
14.79999的末三位数字 111
15.费尔马小定理 111
16.伪素数 112
17.群、环、域 113
1.百鸡问题 115
六 一些不定方程的解 115
2.另有妙法 116
3.中国剩余定理 119
4.太阳神的牛 120
5.勾股数 122
6.换一换汤 124
7.复数与勾股数 125
8.x2+y2=(y+1)2的解 126
9.单位圆上的有理点 127
10.距离为整数的整点 128
11.成等差数列的三个平方数 129
12.弹子的个数 130
13.张冠李戴的沛尔方程 131
14.最小解与一般解 132
15.罗马军团问题 134
16.方程x2-2y2=±1 134
17.勾股为连续的自然数 136
18.小红家的号码 138
19.方程x2-dy2=n 140
七 机器人与坑 142
1.罗伯特落入坑里 142
2.重蹈覆辙 143
3.结论与问题 144
4.小心地雷! 144
5.罗伯特家族 145
6.狄利克雷定理 147
7.克罗内克尔定理 148
8.幂的前n位数字 149
9.马勒的定理 149
八 形形色色的初等问题 151
1.哥伦布式的问题 151
2.笛卡尔不敢动手 152
3.欧拉的恒等式 154
4.-1是平方和 155
5.递降法 156
6.威尔逊没有证明的威尔逊定理 157
7.两个完系相乘能是完系吗？ 159
8.平方和及其他 160
9.华林问题 163
10.任意的七个整数 164
11.剩余类相加 165
12.从7到2n-1 168
13.美国竞赛题 170
14.n1中P的次数 172
15.二项式系数中哪些是奇数？ 174
16.一道国际数学竞赛题 176
17.？+？+？+…+？不是整数 178
18.最小公倍数的上界 180
19.证明的完成 181
20.解题能手的问题 184
21.数论中三颗明珠 186
九 分析与数论缔结姻缘 189
1.张教授堆砖 189
2.收敛与发散 191
3.这里又出现了欧拉 193
4.黎曼ζ函数 194
5.“我证明了黎曼假设!” 196
6.几乎所有 197
7.圆法 200
十 固若金汤的城堡——费尔马大定理 202
1.x4+y4=z4无解 203
2.欧拉迈出了第一步 205
3.化名的女数学家 205
4.从欧拉到库麦尔 207
5.什么是整数 208
6.高斯整数 209
7.Z［i］中的唯一分解定理 211
8.再谈勾股数 212
9.1847年发生的事 214
10.唯一分解定理不一定成立 216
11.更通俗的例子 217
12.理想与青春之梦 218
13.伯努利数与正规素数 220
14.二次域 222
15.证实高斯猜测的历程 223
16.近年来的两大进展 226
17.猜测与反例 228
18.费尔马有没有找到证明 229