上篇 3
1 行列式 3
1.1 基本概念 3
1.1.1 n阶行列式的定义 3
目录 3
1.1.2 转置行列式 4
1.1.3 余子式与代数余子式 4
1.2.1 行列式的性质 5
1.2.2 与行列式有关的结论 5
1.2 重要结论与公式 5
1.3 典型例题解析 7
1.3.1 具体行列式的计算 7
2.3.6 分块矩阵的有关运算 3 7
1.3.2 抽象矩阵行列式的计算 12
1.3.3 有关代数余子式的计算 14
1.3.4 其它 16
1.4 练习题 16
2 矩阵 18
2.1.6 方阵的行列式 19
2.1.5 转置矩阵 19
2.1.7 几类特殊矩阵 19
2.1.2 矩阵的相等 19
2.1.3 矩阵的线性运算 19
2.1.1 矩阵的概念 19
2.1 基本概念 19
2.1.4 矩阵乘法 19
2.1.8 可逆矩阵与逆矩阵 20
2.1.9 伴随矩阵 20
2.1.10 分块矩阵 20
2.2 重要结论与公式 21
2.2.1 矩阵的运算律与有关公式 21
2.1.13 正交矩阵 21
2.1.14 正（负）定矩阵 21
2.1.12 矩阵的初等变换 21
2.1.11 矩阵的秩 21
2.2.2 矩阵运算中可能不成立的结论 22
2.2.3 矩阵可逆的充要条件 23
2.2.4 矩阵的等价标准形 23
2.2.7 矩阵秩的有关结论 24
2.2.6 等价矩阵的充要条件 24
2.2.5 初等矩阵的性质 24
2.2.8 一些n阶特殊矩阵的有关结果 25
2.3 典型例题解析 26
2.3.1 求逆矩阵 26
2.3.2 求解矩阵方程 28
2.3.3 求方阵的幂 30
2.3.4 求矩阵的秩 32
2.3.5 初等变换与初等矩阵 35
2.3.7 其它 39
2.4 练习题 40
3 向量 42
3.1 基本概念 43
3.1.1 n维向量的概念 43
3.1.2 向量的运算 43
3.1.3 线性组合与线性表出 43
3.1.10 基变换、过渡矩阵 44
3.1.9 标准正交基 44
3.1.8 向量的长度与夹角 44
3.1.7 基、维数、坐标 44
3.1.5 向量组的秩与极大无关组 44
3.1.4 线性相关与线性无关 44
3.1.6 向量空间 44
3.2 重要结论与公式 45
3.2.1 向量的运算律及性质 45
3.2.2 线性表出与线性相关的关系 45
3.2.4 向量组的秩与矩阵秩的关系 46
3.2.5 等价向量组的性质 46
3.2.3 线性相关与线性无关的判别 46
3.2.6 生成子空间的有关结果 47
3.2.7 过渡矩阵、坐标变换公式 47
3.2.8 Schmidt正交化方法 47
3.2.9 正交矩阵的有关结果 47
3.3 典型例题解析 48
3.3.1 向量能否由向量组线性表出的判定 48
3.3.2 向量组线性相关与线性无关的判定 49
3.3.3 求向量组的秩与极大无关组 52
3.3.4 有关正交矩阵的判定与证明 54
8.2.15 最小多项式的有关结论 1 55
3.3.5 求向量空间的基与维数 55
3.3.6 求过渡矩阵与向量的坐标 57
3.4 练习题 59
4 线性方程组 61
4.1 基本概念 61
4.1.1 线性方程组的概念 61
4.1.5 线性方程组的初等变换 62
4.1.2 线性方程组的几种形式 62
4.1.3 线性方程组的相容性与通解 62
4.1.4 解空间与基础解系 62
4.2 重要结论与公式 63
4.2.1 克莱姆法则 63
4.2.2 线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组 63
4.2.3 齐次与非齐次线性方程组的有关结果 63
4.3 典型例题解析 64
4.3.1 求齐次线性方程组的基础解系 64
4.3.2 求解线性方程组的消元法 66
4.3.3 含参数线性方程组的求解 68
4.3.4 抽象线性方程组的求解 71
4.3.5 求线性方程组的公共解 74
4.3.6 有关平面、直线的综合题 75
4.3.7 有关矩阵秩的证明 77
4.4 练习题 78
5 矩阵的特征值与特征向量 80
5.1 基本概念 80
5.1.1 特征值与特征向量 80
5.1.2 特征多项式与特征方程 80
5.2.1 特征值与特征向量的性质 81
5.2 重要结论与公式 81
5.1.4 正交相似 81
5.1.3 相似矩阵 81
5.1.5 可对角化 81
5.2.2 相似矩阵的性质 82
5.2.3 矩阵可对角化的条件 82
5.3 典型例题解析 82
5.3.1 求矩阵的特征值与特征向量 82
5.3.2 方阵A能否对角化的判定与计算 87
5.3.3 实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算 89
5.3.4 由特征值和特征向量反求矩阵或矩阵中的参数 91
5.3.5 有关特征值与特征向量的证明 93
5.4 练习题 94
6 二次型 96
6.1 基本概念 96
6.1.1 二次型 96
6.1.2 二次型的矩阵表示 96
6.1.9 顺序主子式 97
6.1.8 负定二次型与负定矩阵 97
6.1.7 正定二次型与正定矩阵 97
6.1.4 正、负惯性指数 97
6.1.3 二次型的标准形与规范形 97
6.1.6 合同矩阵 97
6.1.5 可逆变换与正交变换 97
6.2.1 合同矩阵的性质 98
6.2.2 二次型变换的矩阵 98
6.2.3 二次型的化简 98
6.2.4 主轴定理 98
6.2.5 惯性定理 98
6.2 重要结论与公式 98
6.2.7 判断正定二次型与正定矩阵的充要条件 99
6.2.6 矩阵的等价、相似与合同 99
6.2.8 判断负定二次型与负定矩阵的充要条件 100
6.2.9 正定矩阵的性质 101
6.2.10 二次曲面类型表 101
6.3 典型例题解析 101
6.3.1 二次型的矩阵 101
6.3.2 用正交变换化二次型为标准形 102
6.3.3 用配方法化二次型为标准形 104
6.3.4 用初等变换化二次型为标准形 106
6.3.5 正定矩阵的判定与证明 107
6.3.6 有关正定矩阵命题的证明 109
6.3.7 矩阵相似与合同的判定 109
6.4 练习题 111
附录1 历届全国考研数学试题中线性代数试题分数分布表 113
附录2 模拟试题 117
线性代数试题（1） 117
线性代数试题（2） 118
线性代数试题（3） 119
线性代数试题（4） 120
7.1.1 数域 125
7.1.2 线性空间 125
7.1 基本概念 125
7 线性空间 125
下篇 125
7.1.3 线性表出、元素组的等价 126
7.1.4 线性相关与线性无关 126
7.1.5 秩与极大无关组 126
7.1.6 基、维数与坐标 126
7.1.7 基变换公式、过渡矩阵 126
7.1.11 映射的相等、乘积和逆映射 127
7.1.9 子空间的交、和与直和 127
7.1.8 子空间、生成子空间 127
7.1.10 映射 127
7.2.1 线性空间的基本性质 128
7.2.2 线性相关性的有关结论 128
7.2.3 一些常见的线性空间 128
7.1.12 线性空间的同构、同构映射 128
7.2 重要结论与公式 128
7.2.4 过渡矩阵、坐标变换公式 129
7.2.5 线性子空间的有关结果 129
7.2.6 一些常用的线性子空间 129
7.2.7 直和的充要条件 130
7.2.8 映射的有关结论 130
7.2.9 同构映射的基本性质 130
7.2.10 同构线性空间的有关结论 131
7.3 典型例题解析 131
7.3.1 线性空间的判定 131
7.3.2 线性子空间的判定 132
7.3.3 线性相关性的判别和秩与极大无关组的求法 134
7.3.4 线性（子）空间的基与维数的求法 137
7.3.5 求过渡矩阵及坐标 142
7.3.6 子空间直和的判定与证明 145
7.3.7 线性空间同构的判定与证明 146
7.4 练习题 147
8 λ-矩阵 149
8.1 基本概念 149
8.1.1 λ-矩阵的概念 149
8.1.2 λ-矩阵的秩 149
8.1.6 初等λ-方阵 150
8.1.7 λ-矩阵的Smith标准形、不变因子 150
8.1.5 λ-矩阵的等价 150
8.1.4 λ-矩阵的初等变换 150
8.1.3 可逆矩阵与逆矩阵 150
8.1.8 λ-矩阵的行列式因子 151
8.1.9 λ-矩阵的初等因子 151
8.1.10 Jordan矩阵 151
8.1.11 Frobenius矩阵 151
8.1.12 矩阵的零化多项式与最小多项式 151
8.2.3 初等λ-方阵的性质 152
8.2.4 λ-矩阵在初等变换下的标准形 152
8.2.1 λ-矩阵可逆的充要条件 152
8.2.2 λ-矩阵的逆矩阵 152
8.2 重要结论与公式 152
8.2.5 行列式因子与不变因子的关系 153
8.2.6 初等因子的有关结果 153
8.2.7 λ-矩阵等价的充要条件 153
8.2.8 矩阵相似的充要条件 154
8.2.9 方阵的不变因子与初等因子的有关结果 154
8.2.10 Jordan矩阵的初等因子 154
8.2.11 Jordan标准形 154
8.2.14 Hamilton-Cayley定理 155
8.2.12 Frobenius矩阵的不变因子 155
8.2.13 有理标准形 155
8.2.16 矩阵可对角化的充要条件 156
8.3 典型例题解析 156
8.3.1 λ-矩阵的有关概念与计算 156
8.3.2 求λ-矩阵的行列式因子 159
8.3.3 求λ-矩阵的Smith标准形、不变因子和初等因子 160
8.3.4 λ-矩阵的等价与矩阵相似的判断与证明 163
8.3.5 求矩阵的Jordan标准形和有理标准形 164
8.3.6 求相似变换矩阵 169
8.3.7 Jordan标准形应用举例 172
8.3.8 最小多项式的求法 173
8.3.9 Hamilton-Cayley定理及最小多项式应用举例 175
8.4 练习题 176
9 线性变换 178
9.1 基本概念 178
9.1.1 线性变换的概念 178
9.1.2 单位变换与零变换 178
9.1.3 线性变换的运算 178
9.1.6 线性变换的特征值与特征向量、特征子空间 179
9.1.7 不变子空间 179
9.1.5 线性变换的矩阵 179
9.1.4 线性变换的值域与核 179
9.2 重要结论与公式 180
9.2.1 线性变换的基本性质 180
9.2.2 线性变换运算的性质 180
9.2.3 线性变换的值域与核的有关结果 181
9.2.4 线性变换的矩阵的有关结果 181
9.2.5 线性变换在不同基下矩阵之间的关系 181
9.2.10 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系 182
9.2.8 Jordan定理 182
9.2.9 Hamilton-Cayley定理 182
9.2.6 线性变换的特征值与特征向量的性质 182
9.2.7 判定线性变换在某个基下的矩阵为对角矩阵的条件 182
9.3 典型例题解析 183
9.3.1 线性变换的判定与证明 183
9.3.2 求线性变换的矩阵 185
9.3.3 线性变换的运算及相应的矩阵 190
9.3.4 线性变换的值域与核的求法 191
9.3.5 求线性变换的特征值与特征向量 193
9.3.6 线性变换的矩阵化简 195
9.3.7 不变子空间 196
9.4 练习题 198
10 欧氏空间 200
10.1 基本概念 200
10.1.1 内积及欧氏空间 200
10.1.2 元素的长度、夹角与正交 200
10.1.7 对称变换 201
10.1.6 正交变换 201
10.1.8 欧氏空间的同构 201
10.1.4 正交基与标准正交基 201
10.1.3 度量矩阵 201
10.1.5 正交子空间与正交补 201
10.1.9 元素的距离、元素到子空间的距离 202
10.1.10 矩阵的列空间与零空间 202
10.1.11 最小二乘法 202
10.1.12 酉空间 202
10.1.13 酉空间中的有关概念 202
10.2.2 长度的基本性质 203
10.2.3 一些常见的欧氏空间 203
10.2.1 内积的性质 203
10.2 重要结论与公式 203
10.2.4 度量矩阵的有关结论 204
10.2.5 正交元素组的性质 204
10.2.6 Schmidt正交化方法 204
10.2.7 标准正交基的有关结果 204
10.2.8 正交子空间的有关结果 204
10.2.9 正交变换的充要条件 205
10.2.10 对称变换的有关结果 205
10.2.11 同构欧氏空间的有关结论 205
10.2.12 距离的基本性质 205
10.2.17 酉空间中标准正交基的有关结果 206
10.2.16 酉空间中度量矩阵的有关结论 206
10.2.15 酉空间中内积的有关性质 206
10.2.14 最小二乘解的有关结果 206
10.2.13 矩阵列空间与零空间的性质 206
10.2.18 酉矩阵的性质 207
10.2.19 Hermite矩阵的性质 207
10.2.20 酉变换的充要条件 207
10.2.21 Hermite变换的有关结果 207
10.2.22 Hermite二次型的主轴定理 207
10.2.23 欧氏空间与酉空间的比较 208
10.3.1 内积的构造与判定 209
10.3 典型例题解析 209
10.3.2 内积及度量矩阵的有关证明和计算 210
10.3.3 标准正交基的求法 213
10.3.4 正交补空间的计算与证明 216
10.3.5 正交变换与对称变换的判定与证明 218
10.3.6 酉空间的有关结果 220
10.4 练习题 223
附录3 理科模拟试题 225
西北工业大学1999年硕士研究生入学试题 225
西北工业大学2000年硕士研究生入学试题 226
西北工业大学2001年硕士研究生入学试题 227
西北工业大学2002年硕士研究生入学试题 228
附录4 习题及模拟题精解 230
习题精解 230
第1章习题解答 230
第2章习题解答 231
第3章习题解答 234
第4章习题解答 238
第5章习题解答 242
第6章习题解答 247
第7章习题解答 250
第8章习题解答 254
第9章习题解答 257
第10章习题解答 261
模拟题精解 264
线性代数试题（1）解答 264
线性代数试题（2）解答 265
线性代数试题（3）解答 267
线性代数试题（4）解答 269
西北工业大学1999年硕士研究生入学试题解答 271
西北工业大学2000年硕士研究生入学试题解答 273
西北工业大学2001年硕士研究生入学试题解答 276
西北工业大学2002年硕士研究生入学试题解答 279