目录序言第一编萌芽中的数学思想第一章数的起源——概念、语言和符号 5
第一节早期毕达哥拉斯学派的数本原学说 5
第二节数的概念的形成 7
一、数觉（8） 二、计数（9） 三、变革 12
第三节数的语言、符号的产生和演变 14
一、数的语言 14
二、数的符号——数字 16
第二章算法考察——历史及影响 21
第一节算法历史的语言和算器的考察 21
第二节算法历史的笔算考察 23
一、巴比伦和埃及数制（24） 二、罗马数制（26） 三、中国甲骨文数制（27） 四、希腊序数制 28
第三章原始数论——关系的探究 31
第一节神数术 31
第二节原始数论 33
第四章数的扩展——自然数的变种和负效应 40
第一节分数 40
第二节无理数 47
第五章图形的思想 49
第一节 图形的起源——崇拜和摹写 49
第二节图形的演变——几何化 52
第三节图形的度量——尼罗河的赠礼 55
第四节 几何证明的诞生 59
第二编古代希腊的数学思想第六章古典数学演绎体系的产生 67
第一节古代希腊的社会和文化 67
第二节泰勒斯和毕达哥拉斯 70
第三节 演绎体系的设计——柏拉图和亚里士多德 71
一、柏拉图（71） 二、亚里士多德 75
第四节演绎体系的建立——欧几里得 78
第七章几何作图和无穷小分析 83
第一节几何作图 83
一、几何作图的兴起（83） 二、三大作图问题和尺规作图 86
第二节无穷小分析 89
一、原子论和无穷小量（90） 二、原子论的疑难（91） 三、比例论和穷竭法 92
第一节亚历山大里亚时期希腊的社会和文化 96
第八章亚历山大里亚时期希腊的数学思想——哲学的数学向科学的数学的转变 96
第二节数学概况 98
一、阿基米德——力学分析和无穷小原理 99
二、阿波罗尼斯——圆锥曲线理论 102
三、希帕恰斯、梅内劳斯和托勒密——三角学的发明（103） 四、海伦、尼寇马克、丢番图——不依附于几何的算术与代数 104
第三节科学的数学化 106
一、数理天文学（107） 二、占星术 108
三、数学地理学（109） 四、力学和光学 112
第四节 总结——亚历山大里亚时期希腊数学的特征 113
第三编 古代东方的数学思想第九章中国古代的数学思想 120
第一节筹算形式下的数形理论 120
一、筹算形式下的数的理论（121） 二、筹算形式下的形的理论 123
第二节理论体系——《九章算术》论析 127
一、《九章算术》的内容（127） 二、《九章算术》的体系（129） 三、《九章算术》中的思想方法 130
第三节 中国古代数学的思维特征 140
一、概念及其定义 141
二、算法形成 148
三、推理和证明 158
第十章印度和阿拉伯的数学思想 168
第一节古代印度的社会和文化 168
第二节古代印度的数学思想 171
一、宗教的影响（171） 二、代数化倾向 174
第三节阿拉伯文化的特征 178
第四节阿拉伯数学的特征 182
第四编 中世纪和文艺复兴时期欧洲的数学思想第十一章中世纪欧洲的数学思想 190
第一节中世纪欧洲的学术概况 190
第二节科学精神和数学方法的复活 193
一、科学精神的复活（194） 二、数学方法的强调 195
第三节准数学分析 197
一、关于连续和无限的哲学思辨 198
二、关于运动和变化的定量考察 200
第十二章文艺复兴前后欧洲的数学思想 203
第一节柏拉图主义的复活 203
第二节科学和技术的数学化倾向 207
第三节科学方法的定向——实验方法和数学方法 212
第五编十七、十八世纪的数学思想第十三章十七、十八世纪欧洲科学的背景 220
第一节十七世纪 220
一、社会经济背景（220） 二、文化土壤——新教主义 223
第二节十八世纪 227
第十四章解析几何——数学新方法的出现 231
第一节解析几何产生前的数学状况 231
一、数学观的变化 231
二、各门数学的状况 234
第二节费尔玛的解析几何——数学方法的统一性 235
第三节 笛卡儿的解析几何——科学方法论的产物 240
一、笛卡儿及其科学方法论 241
二、笛卡儿解析几何的内容 244
第十五章微积分学说 248
第一节牛顿和莱布尼兹之前 248
一、极限、不可分量和无穷小方法 250
二、切线的构造 273
第二节牛顿和莱布尼兹的微积分学说 282
一、牛顿的微积分学说 283
二、莱布尼兹的微积分学说 297
第十六章分析学的形成 313
第一节微积分学说的完善和充实 314
一、贝克莱的挑战（314） 二、微积分的形式化（317） 三、严密微积分的尝试 319
第二节多元微积分和无穷级数 322
一、多元微积分（322） 二、无穷级数 322
第三节微分方程 325
一、物理学的挑战（325） 二、方法和理论 329
第四节变分法 333
第五节微分几何 337
一、曲线理论（337）二、曲面理论 340
第十七章概率论、方程论和数论 343
第一节概率论 343
第二节方程论 347
第三节数论 354
第六编 十九世纪的数学思想第十八章十九世纪数学思想形成和发展的背景 375
第一节两个革命的影响 375
第二节科学和哲学 382
第十九章几何学的革命 391
第一节几何学的非欧几里得化 392
一、关于第五公设的思索（392） 二、非欧几何的创建 397
第二节几何学观念的扩展 401
一、曲面的内蕴几何（401） 二、黎曼几何 404
三、非欧几何的相容性 408
第三节射影几何 413
一、先驱性工作（413） 二、彭色列（414） 三、施泰纳（417） 四、施陶特和普吕克等 420
五、克莱因——几何学的统一和分类（425） 六、几何学的基础 429
第二十章代数学观念的变革 436
第一节群的理论 437
一、代数方程的可解性（437） 二、置换群理论（441） 三、抽象群概念的形成（444） 四、域和环 447
第二节数以及代数的新概念 451
一、对代数结构存在性的认识 452
二、超复数 454
第二十一章分析学的变化 463
第一节复变函数的创立 463
一、关于复变量函数的认识（463） 二、柯西的基础性研究（467） 三、外尔斯托拉斯和黎曼的新思想 473
第二节分析学的严密化 478
一、关于函数及其性质的审视（479） 二、柯西的分析严密化设计——极限及其它 486
三、黎曼积分和外尔斯托拉斯的极限定义 492
第二十二章实数理论和集合论 499
第一节实数理论 500
一、康托尔之前（500） 二、康托尔的实数理论（501） 三、戴得金的实数理论 504
第二节集合论 508
一、背景——围绕傅立叶级数的工作 508
二、可数性概念（513） 三、超穷数理论 517
四、关于集合论的争论 523
人名索引 528
名词索引 534